6 利用相似三角形测高-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

九年级上册 （北师大版）数学 6 利用相似三角形测高 1. 4.8 2. 4.4 3. 15 4. 14 5. C 6. C 7. 100 m. 8. 解： ∵ AE∥BD ， ∴ ∠AEC=∠BDC． 又 ∵∠C=∠C ， ∴ △AEC∽△BDC． ∴ 1.8+BC 8.7 = BC 8.7-2.7 ． ∴ BC=4 m． 9. 解 ： ∵BC∥DE ， ∴∠ABC= ∠ADE, ∠BAC= ∠DAE ， ∴△ABC∽△ADE. ∴ BC DE = AB AD . ∴BC · AD=DE · AB ， 即 AB+8.5=1.5×AB. ∴AB=17. 答： 河宽 AB 的长为 17 m． * 10. 解： （ 1 ） 皮尺、 标杆 （ 2 ） 如图所示 . （ 3 ） 如图， 测得标杆 DE=a ， 树和标杆的 影长分别为 AC=b ， EF=c. ∵△DEF∽△BAC ， ∴ DE BA = FE CA ， a x = c b . ∴x＝ ab c . 11. 18.2 12. A 13. 解： ∵AD∥EG ， ∴∠ADO=∠EGF. ∵AO⊥OD ， EF⊥FG ， ∴∠AOD=∠EFG=90°. ∴△AOD∽△EFG. ∴ AO EF = OD FG ， 即 AO 1.8 = 20 2.4 . ∴AO=15. ∵AD∥BC ， ∴∠ADO=∠BCO. ∵∠AOD=∠BOC=90° ， ∴△BOC∽△AOD. ∴ BO AO = OC OD ， 即 BO 15 = 16 20 . ∴BO=12. ∴AB=AO－BO=15-12=3 （ m ） . ∴ 旗杆的高 AB 为 3 m. 7 相似三角形的性质 （第 1 课时） 1. 2 ∶ 1 2. 6 3. 6 5 cm 4. 5 7 5. 3 或 4 3 6. D 7. B 8. D 9. 解： （ 1 ） 在 Rt△ABC 中， AB＝ AC 2 +CB 2 姨 = 9 2 +12 2 姨 =15. ∵CM 是斜边 AB 的中线， ∴CM＝ 1 2 AB=7.5 cm. ∵Rt△ABC∽Rt△DFE ， ∴ DE AC = DF AB . ∴ 3 9 = 1 3 = DF 15 . ∴DF＝5 cm. ∵EN 为斜边 DF 上的中线， ∴EN＝ 1 2 DF=2.5 cm. （ 2 ） ∵ CM EN = 7.5 2.5 = 3 1 ， 相似比为 AC DE = 9 3 = 3 1 ， ∴ CM EN 的值与相似比相等 . 结论： 相似三角形对应中线的比等于相似比 . 10. 解： （ 1 ） △ASR 与 △ABC 相似 . 理由： ∵ 四边形 SRQP 是正方形， ∴SR∥BC. ∴△ASR∽△ABC. （ 2 ） ∵SR ∥BC ， AD⊥BC ， ∴AE⊥SR. ∵△ASR∽△ABC ， ∴ SR BC = AE AD . 设正方形 PQRS 的边长为 x cm ， 则 x 120 = 80-x 80 . 解得 x=48. １1. 解： 如图， 延长 BF 交 CD 于点 H ， 连接 EH. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB∥CD ， ∠D＝∠DAB＝90° ， AD＝CD＝AB＝1. ∴AC＝ AD 2 +CD 2 姨 ＝ 1 2 +1 2 姨 ＝ 2 姨 . 由轴对称性质， 得 AE＝ EF ， ∠EAB＝∠EFB＝90° ， ∠AEB＝∠FEB. ∵ 点 E 是 AD 的中点， ∴AE＝DE＝EF. ∵∠D＝∠EFH＝ 90° ， EH=EH ， ∴Rt△EHD≌Rt△EHF （ HL ） . ∴∠DEH＝∠FEH. ∵∠DEF+∠AEF＝180° ， ∴2∠DEH+2∠AEB＝180° . ∴∠DEH+∠AEB＝90° . ∴∠HEB＝90° . ∵∠AEB+∠ABE＝90° ， ∴∠DEH＝∠ABE. ∵∠D＝∠DAB＝90° ， ∴△EDH∽△BAE. ∴ ED AB ＝ DH EA ＝ 1 2 . ∴DH＝ 1 4 ， CH＝ 3 4 . ∵CH∥AB ， ∴∠HCG＝∠BAG ， ∠CHG＝∠ABG. ∴△CHG∽△ABG. ∴ CG GA ＝ CH AB ＝ 3 4 . ∴CG＝ 3 7 AC＝ 3 2 姨 7 . 12. 4 5 13. C 14. （ 1 ） 解： ∵△ABC ， △CDE 是两个等腰直角三角形， ∴EC=DC ， ∴∠ACB=∠ABC= 45° ， ∠CED=∠CDE=45° ， ∠ECD＝90° . ∴∠CFE＝180°-∠ACB-∠CED＝90° . ∴∠FCD＝ ∠ECD-∠ACB＝45°. ∴EF=DF. ∴BC 是 DE 的垂直平分线 . ∴BE=BD. ∵BH＝DH ， EH⊥BD ， ∴ EH 是 BD 的垂直平分线 . ∴BE＝DE. ∴BE=BD＝DE. ∴∠BED＝60°. （ 2 ） 证明： 由 （ 1 ） 知， ∠ACB＝∠CED＝45° ， ∴∠EFG＝∠BFD＝∠CFE＝90°. ∵∠DBF+ ∠BDF＝90° ， ∠BDF+∠DEG＝90° ， ∴∠DBF＝∠FEG. ∴△EFG∽△BFD. （ 3 ） 证明 ： 如图 ， 作 BQ∥AC ， 交 EH 的延长线于点 Q ， ∴∠Q＝∠CEG. ∵∠QGB＝ ∠CGE ， ∴△BQG∽△CEG. ∴ QG GE = BG GC . ∴ QE GE = BC GC . 由 （ 1 ） 知， BC 是 DE 的垂直平分线， ∴BE＝BD ， ∠EBF＝∠DBF. ∴∠AEB＝∠ACB+∠EBF ， ∠CEQ＝∠CED+∠FEG. 由 （ 1 ） ∠ACB=∠CED=45° ， ∠DBF＝ ∠FEG. ∴∠AEB＝∠CEQ. ∵BQ∥BC ， ∴∠AEB＝∠QBE ， ∠CEQ＝∠Q. ∴∠Q＝∠QBE. ∴BE＝EQ. ∴ BC GC = BE GE . 第 11 题答图 G E F A B CD H 第 14 题答图 A B C D E F G H Q E F B A C D 第 10 题答图 230 九年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 某水平地面上建筑物的高度为 AB ， 在点 D 和点 F 处分别竖立高是 2 m 的标杆 CD 和 EF ， 两标杆相隔 52 m ， 并且建筑物 AB 、 标杆 CD 和 EF 在同一竖直平面内， 从 标杆 CD 后退 2 m 到点 G 处， 在 G 处测得建筑物顶端 A 和标 杆顶端 C 在同一条直线上； 从标杆 FE 后退 4 m 到点 H 处， 在 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一条直线上， 则建筑物的高 AB 是多少米？ 【分析】 根据题意可得出 △CDG∽△ABG ， △EFH∽△ABH ， 再根据相似三角形的对应 边成比例， 结合比例的性质计算求出建筑物的高 AB． 【解答 】 ∵AB⊥BH ， CD⊥BH ， EF⊥BH ， ∴∠ABG=∠CDG=∠EFH=90° . 又 ∵∠AGB= ∠CGD ， ∠AHB =∠EHF ， ∴△CDG∽△ABG ， △EFH∽△ABH. ∴ CD AB = DG DG+BD ， EF AB = FH FH+DF+BD . ∵CD=DG=EF=2 ， DF=52 ， FH=4 ， ∴ 2 AB = 2 2+BD ， 2 AB = 4 4+52+BD . ∴ 2 2+BD = 4 4+52+BD . ∴ 解得 BD=52. ∴ 2 AB = 2 2+52 . 解得 AB=54． 答： 建筑物的高是 54 m． 【点拨】 本题考查的是相似三角形的判定及性质， 求解此题的第一步是找到并判定三角 形相似， 第二步是结合相似三角形的对应边成比例性质计算 . 列比例式时， 要利用图形中共 有的边进行转化计算， 问题便会解决 ． 基础巩固 达标闯关 1. 某同学的身高为 1.6 m ， 某一时刻他在阳光下的影长为 1.2 m ， 与他相邻的一棵树的 影长为 3.6 m ， 则这棵树的高度为 m. 2. 如图， AB 是斜靠在墙壁上的长梯， 梯脚 B 距离墙脚 1.6 m ， 梯上点 D 距墙 1.4 m ， BD 长 0.55 m ， 则梯子的长为 m. 3. 如图， 小李在地面上放置一个平面镜 E 来测量铁塔 AB 的高度， 镜子与铁塔的距离 EB=20 m ， 镜子与小李的距离 ED=2 m 时， 小李刚好从镜子中看到铁塔顶点 A. 已知小李的 6 利用相似三角形测高 E F A B C D G H 例题图 A B C D 第 2 题图 第 3 题图 E A B C D 96 图形的相似 第四章 眼睛距地面的高度 CD=1.5 m ， 则铁塔 AB 的高度是 m. 4. 如图， 设在小孔口前 24 cm 处有一支长 21 cm 的蜡烛 AB ， AB 经小孔 O 形成的像 A′B′ 恰好落在距小孔后面 16 cm 处的屏幕上， 则像 A′B′ 的长是 cm. 5. 如图， 为了测量学校旗杆的高度， 小李用长为 3.2 m 的竹竿做测量工具， 移动竹竿， 使竹竿、 旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点， 此时， 竹竿与这一点相距 8 m ， 与旗杆相 距 22 m ， 则旗杆的高为 （ ） A. 10 m B. 11 m C. 12 m D. 13 m 6. 如图， 数学兴趣小组的小张想测量教学楼前一棵树的高度， 下午课外活动时她测得一 根长为 1 m 的竹竿的影长是 0.8 m ， 但当她马上测量树高时， 发现树的影子不全落在地面 上， 有一部分影子落在教学楼的墙壁上 （如图）， 她先测得留在墙壁上的影高为 1.2 m ， 又测 得地面的影长为 2.6 m ， 请你帮她算一下， 树高是 （ ） A. 3.25 m B. 4.25 m C. 4.45 m D. 4.75 m 7. 为了估算河的宽度， 我们可在河的对岸选定一个目标作为 A 点， 再在河的这一边选 点 B 和点 C ， 使 AB⊥BC ， 如图， 然后再选点 E ， 使 EC⊥BC ， 用视线确定 BC 和 AE 的交点 D ， 此时若测得 BD=120 m ， DC=60 m ， EC=50 m ， 求两岸间的大致距离 . 16 cm O A B A′ B′ 24 cm 第 4 题图 8 m 22 m 第 5 题图 第 6 题图 A B C D E 第 7 题图 97 九年级上册 （北师大版）数学 能力提升 综合拓展 8. 如图， 阳光通过窗口 AB 照射到室内 （太阳光线是平行光线）， 在地面上留下 2.7 m 宽 的亮区 ED ， 已知亮区到窗口下墙脚的距离 EC=8.7 m ， 窗口高 AB=1.8 m ， 求窗口底边离地 面的高 BC． 9. 周末， 小张和小李想用所学的数学知识测量家门前小河的宽 ． 测量时， 他们选择了河 对岸岸边的一棵大树， 将其底部作为点 A ， 在他们所在的岸边选择了点 B ， 使得 AB 与河岸 垂直， 并在 B 点竖起标杆 BC ， 再在 AB 的延长线上选择点 D ， 竖起标杆 DE ， 使得点 E 与点 C ， A 共线 ． 已知 CB⊥AD ， ED⊥AD ， 测得 BC=1 m ， DE=1.5 m ， BD=8.5 m． 测量示意图如图所示 ． 请根据相关测量信息求河宽 AB． * 10. 阳光明媚的一天， 数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到 达， 顶部不易到达）， 他们带了以下测量工具： 皮尺、 标杆、 一副三角尺、 小平面镜 . 请你在 他们提供的测量工具中选出所需工具， 设计一种测量方案 . （ 1 ） 所需的测量工具是 . （ 2 ） 请在下图中画出测量示意图 . （ 3 ） 设树高 AB 的长度为 x ， 请用所测数据 （用小写字母表示） 求出 x. E A B C D 第 9 题图 第 10 题图 B A 第 8 题图 E A B C D 1.8 m 2.7 m 98 图形的相似 第四章 中考链接 真题演练 11. （ 2023 ·潍坊） 在 《数书九章》 （宋·秦九韶） 中记载了一个测量塔高的问题： 如图所 示， AB 表示塔的高度， CD 表示竹竿顶端到地面的高度， EF 表示人眼到地面的高度， AB ， CD ， EF 在同一平面内， 点 A ， C ， E 在一条水平直线上 ． 已知 AC=20 m ， CE=10 m ， CD= 7 m ， EF=1.4 m ， 人从点 F 远眺塔顶 B ， 视线恰好经过竹竿的顶端 D ， 可求出塔的高度 ． 根据 以上信息， 塔的高度为 m． 12. （ 2023 ·南京） 如图， 不等臂跷跷板 AB 的一端 A 碰到地面时， 另一端 B 到地面的高 度为 60 cm ； 当 AB 的一端 B 碰到地面时， 另一端 A 到地面的高度为 90 cm ， 则跷跷板 AB 的支撑点 O 到地面的高度 OH 是 （ ） A． 36 cm B． 40 cm C． 42 cm D． 45 cm 13. （ 2022 ·陕西） 小张和小李利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高 ． 如图所 示， 在某一时刻， 他们在阳光下， 分别测得该建筑物 OB 的影长 OC 为 16 m ， OA 的影长 OD 为 20 m ， 小明的影长 FG 为 2.4 m ， 其中 O ， C ， D ， F ， G 五点在同一直线上， A ， B ， O 三 点在同一直线上， 且 AO⊥OD ， EF⊥FG． 已知小明的身高 EF 为 1.8 m ， 求旗杆的高 AB． 第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 G E F O A B C D A B A B O H A B C D E F 99