5 相似三角形判定定理的证明-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

参考答案与提示 ∴∠AED＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°. ∵ 点 F ， H 分别是 DE ， BC 的中点， ∴AH⊥BC ， AF⊥DE ， ∠CAH＝∠EAF＝ 1 2 × 120°=60°. ∴∠HAF＝∠EAC ， AH AC = AF AE = 1 2 . ∴△AHF∽△ACE. ∴ FH CE = AH AC = 1 2 . ∴CE＝2FH. ∵ 点 F ， G 分别是 DE ， DC 的中点， ∴CE＝2FG. ∴FH＝FG. 4 探索三角形相似的条件 （第 3 课时） 1. 相似 三边对应成比例的两个三角形相似 2. E 3. 8 ， 10 4. C 5. D 6. C 7. A 8. 相似 . 理由略 . 9. 两种截法是 10 cm ， 25 cm ， 30 cm 或 12 cm ， 30 cm ， 36 cm. 10. △DEF∽△ABC 提示： 利用三角形中位线可推出三条边对应成比例 . 11. 解： ∵ AB AD = BC DE = AC AE ， ∴△ABC∽△ADE. ∴∠BAC=∠DAE ， ∠E=∠C. ∴∠BAD=∠CAE. ∵∠AFE=∠BFC ， ∴∠BAD=∠CBE. 12. 解： （ 1 ） 2 5 姨 2 10 姨 （ 2 ） BC= 4 2 +2 2 姨 =2 5 姨 ． 又由 （ 1 ） 知， AC=2 5 姨 ， AB=2 10 姨 ， ∴AC 2 + BC 2 =AB 2 =40. ∴∠ACB=90°． （ 3 ） △CAB 和 △DEF 相似 ． 理由： ∵DE=DF= 1 2 +2 2 姨 = 5 姨 ， EF= 1 2 +3 2 姨 = 10 姨 ． 则 AC DE = BC DF = AB EF =2. ∴△CAB∽△DEF． * 13. 解： （ 1 ） 相似， 理由略 . （ 2 ） 答案不唯一， 下面 6 个三角形中的任意两个均可： △DP 2 P 5 ， △P 5 P 4 F ， △DP 2 P 4 ， △P 5 P 4 D ， △P 4 P 5 P 2 ， △FDP 1 . 14. 解： （ 1 ） CD C′D′ = AC A′C′ = AD A′D′ ∠A=∠A′ （2 ） △ABC∽△A′B′C′. 如图， 过点 D ， D′ 分别作 DE∥BC ， D′E′∥B′C′ ， DE 交 AC 于点 E ， D′E′ 交 A′C′ 于点 E′. ∵DE∥BC ， ∴△ADE∽△ABC. ∴ AD AB = DE BC = AE AC . 同理， 得 A′D′ A′B′ = D′E′ B′C′ = A′E′ A′C′ . ∵ AD AB = A′D′ A′B′ ， ∴ DE BC = D′E′ B′C′ . ∴ DE D′E′ = BC B′C′ . 同理， 得 AE AC = A′E′ A′C′ ， ∴ AC-AE AC = A′C′-A′E′ A′C′ ， 即 EC AC = E′C′ A′C′ . ∴ EC E′C′ = AC A′C′ . ∵ CD C′D′ = AC A′C′ = BC B′C′ ， ∴ CD C′D′ = DE D′E′ = EC E′C′ . ∴△DCE∽△D′C′E′. ∴∠CED=∠C′E′D′. ∵DE∥BC ， ∴∠CED+∠ACB=180°. 同理， ∠C′E′D′+∠A′C′B′=180° ， ∴∠ACB=∠A′C′B′. ∵ AC A′C′ = CB C′B′ ， ∴△ABC∽△A′B′C′. 4 探索三角形相似的条件 （第 4 课时） 1. 黄金分割 2. 5 （ 5 姨 -1 ） cm 3. 3- 5 姨 4. 5 姨 +1 2 5. S 1 =S 2 6. A 7. D 8. 略 9. 6 5 姨 -12 10. 解： （ 1 ） 略 （ 2 ） 提示： 证明 △ABC∽△BDC ， 得 AD 2 =AC · DC. * 11. 解： （ 1 ） 略 （ 2 ） 是 . 提示： 先证明四边形 EBCF 是矩形 . 然后设 CD＝a ， AD＝b ， 则 b a = 5 姨 -1 2 ， ∴ CF EF = a-b b = 5 姨 -1 2 . ∴ 矩形 EBCF 是黄金矩形 . （ 3 ） 归纳： 在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后， 所得到 的另外一个四边形是矩形， 而且是黄金矩形 . 12. （ 80 5 姨 -160 ） １3. D 14. C * 5 相似三角形判定定理的证明 1. 5 2. 8 3 或 3 2 3. 3 姨 4. D 5. A 6. A 7. 相似， 原因略 . 8. 略 9. 相似， 证明略 . 10. 证明： ∵ AB AD = AC AE = BC DE ， ∴△ABC∽△ADE. ∴∠EAD=∠CAB. ∴∠EAC=∠DAB. ∵ AB AD = AC AE ， ∴△AEC∽ △ADB. ∴ AB AC = BD EC . ∴AB · EC＝AC · BD. 11. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 为正方形 ， ∴AD=AB=DC=BC ， ∠A=∠D=90° . ∵AE=ED ， ∴ AE AB = 1 2 . ∵DF＝ 1 4 DC ， ∴ DF DE = 1 2 ， AE AB = DF DE . ∴△ABE∽△DEF. （ 2 ） BG=10. 第 14 题答图 DA B C E A′ B′ C′ D′ E′ 229 图形的相似 第四章 自主导学 典例精析 例题 已知 △ABC 和 △DEF 是两个等腰直角三角形， ∠A=∠D=90° ， △DEF 的顶点 E 位于 BC 的中点处 ． （ 1 ） 如图 1 ， 设 DE 与 AB 交于点 M ， EF 与 AC 交于点 N ， 求证： △BEM∽△CNE. （ 2 ） 如图 2 ， 将 △DEF 绕点 E 旋转， 使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M ， EF 与 AC 交于 点 N． 求证： △ECN∽△MEN． 【分析】 （ 1 ） 首先由等腰直角三角形的性质， 得 ∠B=∠C=∠3=45° ， 再结合 △BME 中角 的性质得 ∠2=∠4 ， 根据两个三角形的两个对应角相等， 即可证得 △BEM∽△CNE. （ 2 ） 由 （ 1 ） 中相似得到 BE CN = EM NE ， 又已知 BE=EC ， 所以 EC CN = EM NE ， 然后由 ∠ECN=∠MEN=45° ， 根 据两个三角形的两条对应边成比例且夹角相等， 证得 △ECN∽△MEN． 【解答】 （ 1 ） ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°. ∴∠1+∠2=135°. 又 ∵△DEF 是等腰直角三角形， ∴∠3=45°. ∴∠1+∠4=135°. ∴∠2=∠4. ∴△BEM∽△CNE. （ 2 ） 与 （ 1 ） 同理得 △BEM∽△CNE ， ∴ BE CN = EM NE . 又 ∵BE=EC ， ∴ BC CN = EM NE . ∴ BC EM = NC NE . 又 ∵∠ECN=∠MEN=45° ， ∴△ECN∽△MEN． 【点拨】 此题结合等腰直角三角形性质考查了相似三角形的判定 ． 解此类题时， 要抓住图 形中的特殊角度和三角形角的性质得出三角形相似的条件； 更要仔细观察图形， 发现图形中 有关线段的特殊关系， 找到并转化， 灵活运用判定三角形相似的方法 ． 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 在 △ABC 中， ∠C=90° ， 点 D 是 AC 上一点， DE⊥AB 于点 E ， 若 AC=8 ， BC=6 ， DE=3 ， 则 AD 的长为 . 2. 在 △ABC 中， AB=8 ， AC=6 ， 点 D 在 AC 上， 且 AD=2 ， 若要在 AB 上 找一点 E ， 使 △ADE 与原三角形相似， 那么 AE= . * 5 相似三角形判定定理的证明 E F M A B C D N 1 2 3 4 图 1 E F M A B C D N 图 2 例题图 E A B C D 第 1 题图 93 九年级上册 （北师大版）数学 3. △ABC 的三边长分别为 5 姨 ， 10 姨 ， 15 姨 ， △A′B′C′ 的两边长分别为 1 和 2 姨 ， 则当 △A′B′C′ 的第三边长为 时， △ABC 与 △A′B′C′ 相似 . 4. △ABC 和 △A′B′C′ 符合下列条件， 其中不能使 △ABC 和 △A′B′C′ 相似的是 （ ） A. ∠A=∠A′=45° ， ∠B=26° ， ∠B′=109° B. AB=1 ， AC=1.5 ， BC=2 ， A′B′=4 ， A′C′=2 ， B′C′=3 C. ∠A=∠B′ ， AB=2 ， AC=2.4 ， A′B′=3.6 ， B′C′=3 D. AB=3 ， AC=5 ， BC=7 ， A′B′= 3 姨 ， A′C′= 5 姨 ， B′C′= 7 姨 5. 如图， 在 荀ABCD 中， 点 E 为 AD 的中点， 连接 BE ， 交 AC 于点 F ， 则 AF ∶ CF= （ ） A. 1 ∶ 2 B. 1 ∶ 3 C. 2 ∶ 3 D. 2 ∶ 5 6. 如图 ， 在等边三角形 ABC 中 ， 点 D 为 BC 边上一点 ， 点 E 为 AC 边上一点 ， 且 ∠ADE=60° ， BD=3 ， CE=2 ， 则 △ABC 的边长为 （ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 7. 如图， 下面每组图中的两个三角形是否相似？ 为什么？ 8. 如图， 点 D ， E 在 BC 上， 且 FD∥AB ， FE∥AC. 求证： △ABC∽△FDE. 第 6 题图 E F A B C D 第 5 题图 A B C 5 6 10 E F D 32.5 5 E A B C D 2 4 3.6 1.8 图 1 第 7 题图 图 2 E A B C D E F A B C D 第 8 题图 94 图形的相似 第四章 能力提升 综合拓展 9. 如图， 在四边形 ABCD 中， 对角线 BD 平分 ∠ABC ， 且 AB=2 ， BD=4 ， BC=8 ， 试判断 △ABD 与 △DBC 是否相似， 并说明理由 . 10. 如图， 已知 AB AD = AC AE = BC DE ， 求证： AB · EC＝AC · BD. 11. 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 E ， F 分别是边 AD ， CD 上的点， AE＝ED ， DF＝ 1 4 DC ， 连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G. （ 1 ） 求证： △ABE∽△DEF. （ 2 ） 若正方形的边长为 4 ， 求 BG 的长 . A B C D 第 9 题图 E A B C D 第 10 题图 第 11 题图 E F A B C D G 95