4 探索三角形相似的条件(第4课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

参考答案与提示 ∴∠AED＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°. ∵ 点 F ， H 分别是 DE ， BC 的中点， ∴AH⊥BC ， AF⊥DE ， ∠CAH＝∠EAF＝ 1 2 × 120°=60°. ∴∠HAF＝∠EAC ， AH AC = AF AE = 1 2 . ∴△AHF∽△ACE. ∴ FH CE = AH AC = 1 2 . ∴CE＝2FH. ∵ 点 F ， G 分别是 DE ， DC 的中点， ∴CE＝2FG. ∴FH＝FG. 4 探索三角形相似的条件 （第 3 课时） 1. 相似 三边对应成比例的两个三角形相似 2. E 3. 8 ， 10 4. C 5. D 6. C 7. A 8. 相似 . 理由略 . 9. 两种截法是 10 cm ， 25 cm ， 30 cm 或 12 cm ， 30 cm ， 36 cm. 10. △DEF∽△ABC 提示： 利用三角形中位线可推出三条边对应成比例 . 11. 解： ∵ AB AD = BC DE = AC AE ， ∴△ABC∽△ADE. ∴∠BAC=∠DAE ， ∠E=∠C. ∴∠BAD=∠CAE. ∵∠AFE=∠BFC ， ∴∠BAD=∠CBE. 12. 解： （ 1 ） 2 5 姨 2 10 姨 （ 2 ） BC= 4 2 +2 2 姨 =2 5 姨 ． 又由 （ 1 ） 知， AC=2 5 姨 ， AB=2 10 姨 ， ∴AC 2 + BC 2 =AB 2 =40. ∴∠ACB=90°． （ 3 ） △CAB 和 △DEF 相似 ． 理由： ∵DE=DF= 1 2 +2 2 姨 = 5 姨 ， EF= 1 2 +3 2 姨 = 10 姨 ． 则 AC DE = BC DF = AB EF =2. ∴△CAB∽△DEF． * 13. 解： （ 1 ） 相似， 理由略 . （ 2 ） 答案不唯一， 下面 6 个三角形中的任意两个均可： △DP 2 P 5 ， △P 5 P 4 F ， △DP 2 P 4 ， △P 5 P 4 D ， △P 4 P 5 P 2 ， △FDP 1 . 14. 解： （ 1 ） CD C′D′ = AC A′C′ = AD A′D′ ∠A=∠A′ （2 ） △ABC∽△A′B′C′. 如图， 过点 D ， D′ 分别作 DE∥BC ， D′E′∥B′C′ ， DE 交 AC 于点 E ， D′E′ 交 A′C′ 于点 E′. ∵DE∥BC ， ∴△ADE∽△ABC. ∴ AD AB = DE BC = AE AC . 同理， 得 A′D′ A′B′ = D′E′ B′C′ = A′E′ A′C′ . ∵ AD AB = A′D′ A′B′ ， ∴ DE BC = D′E′ B′C′ . ∴ DE D′E′ = BC B′C′ . 同理， 得 AE AC = A′E′ A′C′ ， ∴ AC-AE AC = A′C′-A′E′ A′C′ ， 即 EC AC = E′C′ A′C′ . ∴ EC E′C′ = AC A′C′ . ∵ CD C′D′ = AC A′C′ = BC B′C′ ， ∴ CD C′D′ = DE D′E′ = EC E′C′ . ∴△DCE∽△D′C′E′. ∴∠CED=∠C′E′D′. ∵DE∥BC ， ∴∠CED+∠ACB=180°. 同理， ∠C′E′D′+∠A′C′B′=180° ， ∴∠ACB=∠A′C′B′. ∵ AC A′C′ = CB C′B′ ， ∴△ABC∽△A′B′C′. 4 探索三角形相似的条件 （第 4 课时） 1. 黄金分割 2. 5 （ 5 姨 -1 ） cm 3. 3- 5 姨 4. 5 姨 +1 2 5. S 1 =S 2 6. A 7. D 8. 略 9. 6 5 姨 -12 10. 解： （ 1 ） 略 （ 2 ） 提示： 证明 △ABC∽△BDC ， 得 AD 2 =AC · DC. * 11. 解： （ 1 ） 略 （ 2 ） 是 . 提示： 先证明四边形 EBCF 是矩形 . 然后设 CD＝a ， AD＝b ， 则 b a = 5 姨 -1 2 ， ∴ CF EF = a-b b = 5 姨 -1 2 . ∴ 矩形 EBCF 是黄金矩形 . （ 3 ） 归纳： 在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后， 所得到 的另外一个四边形是矩形， 而且是黄金矩形 . 12. （ 80 5 姨 -160 ） １3. D 14. C * 5 相似三角形判定定理的证明 1. 5 2. 8 3 或 3 2 3. 3 姨 4. D 5. A 6. A 7. 相似， 原因略 . 8. 略 9. 相似， 证明略 . 10. 证明： ∵ AB AD = AC AE = BC DE ， ∴△ABC∽△ADE. ∴∠EAD=∠CAB. ∴∠EAC=∠DAB. ∵ AB AD = AC AE ， ∴△AEC∽ △ADB. ∴ AB AC = BD EC . ∴AB · EC＝AC · BD. 11. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 为正方形 ， ∴AD=AB=DC=BC ， ∠A=∠D=90° . ∵AE=ED ， ∴ AE AB = 1 2 . ∵DF＝ 1 4 DC ， ∴ DF DE = 1 2 ， AE AB = DF DE . ∴△ABE∽△DEF. （ 2 ） BG=10. 第 14 题答图 DA B C E A′ B′ C′ D′ E′ 229 九年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 点 C 是线段 AB 的黄金分割点， BC>AC ， 点 D ， E 分别是 AC ， BC 的中 点， 那么点 C 是线段 DE 的黄金分割点吗？ 【分析】 要判断点 C 是不是 DE 的黄金分割点， 可以看 CE DE 是否等于 CD CE . 【解答】 ∵ 点 D ， E 分别是 AC ， BC 的中点 ， ∴CD= 1 2 AC ， CE= 1 2 BC． ∴DE=CD+CE= 1 2 （ AC+BC ） = 1 2 AB． 又 ∵ 点 C 是线段 AB 的黄金分割点 , BC>AC ， ∴ BC AB = AC BC . ∴BC 2 =AB · AC. ∴CE 2 = 1 4 BC 2 ＝ 1 4 AB · AC= 1 2 AB · 1 2 AC=DE · CD. ∴ CE DE = CD CE . ∴ 点 C 是线段 DE 的黄金分割点 . 【点拨】 判断线段上一点是不是黄金分割点， 要直接根据定义来判定 . 本题结论较有趣， 仿照此法， 点 C 始终是得到新线段的黄金分割点 . 基础巩固 达标闯关 1. 点 C 是线段 AB 上一点 （ AC>BC ）， 且满足 AC 2 =AB · BC ， 则点 C 是线段 AB 的 点 . 2. 线段 AB 的长为 10 cm ， 点 C 是 AB 的黄金分割点， 且 AC= AB · BC 姨 ， 则 AC= . 3. 如图， 顶角为 36° 的等腰三角形称为黄金三角形， △ABC ， △BDC ， △DEC 都是黄金 三角形， 已知 AB=2 cm ， 则 DE= cm. 4. 如图 ， 在 荀ABCD 中 ， 点 E 是边 BC 上的黄金分割点， 且 BE＞CE ， AE 与 BD 相交 于点 F ， 那么 FD ∶ BF 的值为 . 5. 如图， 已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点， 且 PA＞PB ， 若 S 1 表示以 PA 为边的正方形 的面积， S 2 表示长为 AB 、 宽为 PB 的矩形的面积， 那么 S 1 与 S 2 的关系为 . 6. 在如图所示的五角星中， AC AB 与 BC AC 的关系是 （ ） A. AC AB = BC AC B. AC AB > BC AC C. AC AB < BC AC D. AC AB ≠ BC AC 4 探索三角形相似的条件 （第 4课时） EA BCD 例题图 E A B C D 第 3 题图 第 4 题图 F A B C D E A BCD 第 6 题图 第 5 题图 A B P S 1 S 2 90 图形的相似 第四章 7. 矩形的长与宽分别为 a ， b ， 下列数据能构成黄金矩形的是 （ ） A． a=4 ， b= 5 姨 +2 B． a=4 ， b= 5 姨 -2 C． a=2 ， b= 5 姨 +1 D． a=2 ， b= 5 姨 -1 8. 如图， AB 是一根木棍， 为使打造的东西更美观， 需找到 AB 的一个黄金分割点， 以 便截开， 请你完成这项任务 . 能力提升 综合拓展 9. 已知 AB=6 ， 点 C 为 AB 的黄金分割点 （ AC>BC ）， 求 AC－BC 的值 . 10. 如图， 已知 △ABC 中， 点 D 是 AC 边上一点， ∠A=36° ， ∠C=72° ， ∠ADB=108°. 试 说明： （ 1 ） AD=BD=BC. （ 2 ） 点 D 是线段 AC 的黄金分割点 . A 第 8 题图 B A B C D 第 10 题图 91 九年级上册 （北师大版）数学 * 11. 若一个矩形的短边与长边的比值为 5 姨 -1 2 （黄金分割数）， 我们把这样的矩形叫作 黄金矩形 . （ 1 ） 操作： 请你在如图所示的黄金矩形 ABCD （ AB＞AD ） 中， 以短边 AD 为一条边作正 方形 AEFD. （ 2 ） 探究： 在 （ 1 ） 中的四边形 EBCF 是不是黄金矩形？ 若是， 请予以证明； 若不是， 请说明理由 . （ 3 ） 归纳： 通过上述操作及探究， 请概括出具有一般性的结论 （不需要证明） . 中考链接 真题演练 12. （ 2023 ·绵阳） 如图， 乐器上的一根弦 AB＝80 cm ， 两个端点 A ， B 固定在乐器面板 上， 支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点， 支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点， 则支撑点 C ， D 之间的距离为 cm． （结果保留根号） 13. （ 2023 ·绵阳） 黄金分割由于其美学性质， 受到摄影爱好者和艺术家的喜爱， 摄影中 有一种拍摄手法叫黄金构图法 ． 其原理是： 如图， 将正方形 ABCD 的底边 BC 取中点 E ， 以 E 为圆心， 线段 DE 长为半径作圆， 其与底边 BC 的延长线交于点 F ， 这样就把正方形 ABCD 延伸为矩形 ABFG ， 称其为黄金矩形 ． 若 CF＝4a ， 则 AB＝ （ ） A． （ 5 姨 -1 ） a B． （ 2 5 姨 -2 ） a C． （ 5 姨 +1 ） a D． （ 2 5 姨 +2 ） a 14. （ 2022 ·济南） 如图， 在 △ABC 中， AB＝AC ， ∠BAC＝36° ， 以点 C 为圆心， 以 BC 长 为半径作弧交 AC 于点 D ， 再分别以 B ， D 为圆心， 以大于 1 2 BD 的长为半径作弧， 两弧相交 于点 P ， 作射线 CP 交 AB 于点 E ， 连接 DE． 以下结论不正确的是 （ ） A． ∠BCE＝36° B． BC＝AE C． BE AC = 5 姨 -1 2 D． S △AEC S △BEC = 5 姨 +1 2 A B D C 第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 A D C B A B C D E F G B C D E A P 92