4 探索三角形相似的条件(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

九年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 在边长为 9 的正三角形 ABC 中， BD=3 ， ∠ADE=60° ， 试求线段 AE 的长 . 【分析】 要先根据边长为 9 ， BD=3 ， 求出 CD 的长， 然后根据 ∠ADE= 60° 和 △ABD 的外角 ∠ADC 的性质得到 ∠DAB=∠EDC ， 可证 △ABD∽ △DCE ， 再结合相似三角形对应边成比例即可求出 AE 的长 ． 【解答】 ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=∠C=60° ， AB=BC. ∴CD=BC-BD=9-3=6 ， ∠ADC=∠BAD+∠B. ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC ， ∠ADE=60° ， ∴∠DAB=∠EDC. 又 ∵∠B=∠C=60° ， ∴△ABD∽△DCE. ∴ AB DC = BD CE ， 即 9 6 = 3 CE . ∴CE=2. ∴AE=AC-CE=9-2=7． 【点拨】 解此类题时要观察图形， 找到相似的三角形， 而正确利用等边三角形内角是 60° 及三角形外角的性质得到 ∠DAB=∠EDC 是得出相似的关键 ． 基础巩固 达标闯关 1. 三角形三边之比为 3 ∶ 5 ∶ 7 ， 与它相似的三角形最长边为 21 cm ， 则其余两边长的和 为 . 2. 如图， 若 △ABC∽△DEF ， 则 ∠D 的度数为 . 3. 如图， ∠C=∠E=90° ， AD=10 ， DE=8 ， AB=5 ， 则 AC= . 4. 如图， ∠BAD=∠CAE ， ∠B=∠D ， AB=2AD ， 则 △ABC∽△ADE 的相似比为 . 5. 如图， 已知 AB⊥BD ， ED⊥BD ， C 是线段 BD 的中点， 且 AC⊥CE ， ED=1 ， BD=4 ， 那么 AB= . 6. 如图， AB∥EF∥DC ， AD∥BC ， EF 与 AC 交于点 G ， 则图中相似三角形共有 （ ） A． 3 对 B． 5 对 C． 6 对 D． 8 对 7. 如图， 已知 AB∥CD ， AD 与 BC 相交于点 P ， AB=4 ， CD=7 ， AD=10 ， 则 AP 的长等 4 探索三角形相似的条件 （第 1课时） 60° E A B C D 例题图 30° E F A B C D 第 2 题图 E A B C D 第 3 题图 E A B C D E A B C D 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 F G A B C D E 80 图形的相似 第四章 于 （ ） A. 40 11 B. 40 7 C. 70 11 D. 70 4 8. 如图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ACB=90° ， CD⊥AB 于点 D ， 若 AD=1 ， BD=4 ， 则 CD= （ ） A. 2 B. 4 C. ２ 姨 D. 3 9. 如图 ， 在 △ABC 中 ， ∠C=90° ， DE 垂直平分 AB ， 交 BC 于点 E ， AB=20 ， AC=12. 求 BE 的长 . 能力提升 综合拓展 10. 如图， 正方形 ABCD 的顶点 A 在等腰直角三角形 DEF 的斜边 EF 上， EF 与 BC 相交 于点 G ， 连接 CF． 求证： （ 1 ） △DAE≌△DCF. （ 2 ） △ABG∽△CFG． * 11. 如图， ∠ABD＝∠BCD＝90° ， DB 平分 ∠ADC ， 过点 B 作 BM∥CD 交 AD 于点 M． 连接 CM 交 DB 于点 N． （ 1 ） 请说明： BD 2 ＝AD · CD. （ 2 ） 若 CD＝6 ， AD＝8 ， 求 MN 的长 ． P A B C D 第 7 题图 A B C D 第 8 题图 第 9 题图 E A B C D 第 10 题图 G E F A B C D 第 11 题图 M N A B C D 81 九年级上册 （北师大版）数学 中考链接 真题演练 12. （ 2023 ·大庆） 在综合与实践课上， 老师组织同学们以 “矩形的折叠” 为主题开展数学 活动 ． 有一张矩形纸片 ABCD 如图所示， 点 N 在边 AD 上， 现将矩形折叠， 折痕为 BN ， 点 A 对 应的点记为点 M ， 若点 M 恰好落在边 DC 上， 则图中与 △NDM 一定相似的三角形是 ． 13. （ 2022 ·上海） 如图， 在 △ABC 中， ∠A＝30° ， ∠B＝90° ， D 为 AB 的中点， E 在线段 AC 上， AD AB ＝ DE BC ， 则 AE AC ＝ ． 14. （ 2023 ·哈尔滨） 如图， AC ， BD 相交于点 O ， AB∥DC ， M 是 AB 的中点， MN∥AC ， 交 BD 于点 N ， 若 DO ∶OB=1 ∶ 2 ， AC=12 ， 则 MN 的长为 （ ） A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 15. （ 2023 ·上海） 如图， 在梯形 ABCD 中， AD∥BC ， 点 F ， E 分别在线段 BC ， AC 上， 且 ∠FAC=∠ADE ， AC=AD． （ 1 ） 求证： DE=AF. （ 2 ） 若 ∠ABC=∠CDE ， 求证： AF 2 =BF · CE． 16. （ 2023 ·眉山） 如图， 在 荀ABCD 中， 点 E 是 AD 的中点， 连接 CE 并延长交 BA 的延 长线于点 F． （ 1 ） 求证： AF=AB. （ 2 ） 点 G 是线段 AF 上一点， 满足 ∠FCG=∠FCD ， CG 交 AD 于点 H ， 若 AG=2 ， FG=6 ， 求 GH 的长 ． 第 13 题图 A B C D 第 12 题图 第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图 A B C D M N M N O A B C D A B C D E F A B C D E F G H 82 参考答案与提示 8. 解： ∵DE∥BC ， EF∥AB ， ∴ 四边形 DBFE 是平行四边形， ∴EF=BD ， DE=BF ， AE EC = AD BD = BF FC . ∴ AE AC = AD AB = BF BC . ∵AE=2CE ， ∴ AE AC = 2 3 = AD 6 = BF 9 . ∴BF=6 ， AD=4. ∴BD=AB－AD=2. ∴ 四边形 BDEF 的周长 =2 （ BD+DE ） =2× （ 2+ 6 ） =16． 9. 解： ∵DN∥AM ， ∴ AD AB = MN BM ， AE AC = MN MC . ∵MB=MC ， ∴ AD AB = AE AC . * 10. 1 3 提示： 过点 D 作 DG∥EC 交 AB 于 G. 11. 3 2 １2. A １3. D 3 相似多边形 1. 一定 2. 6 cm 3. 68° 4. 18 cm 5. C 6. A 7. D 8. C 9. 都不相似 . 理由略 . 10. 分两种情况： 7.5 cm 或 30 cm. 11. AE= 16 3 . 12. （ 1 ） AD=4 2 姨 . （ 2 ） 矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比为 DM AB = 2 姨 2 . * １３. 解： （ 1 ） 不相似 . ∵AB=30 ， A′B′=28 ， BC=20 ， B′C′=18 ， ∴ 28 30 ≠ 18 20 ． ∴ 矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′ 不相 似 ． （ 2 ） 若矩形 ABCD 与 A′B′C′D′ 相似， 则 ① 当 A′B′ AB = B′C′ BC 时， 即 30-2x 30 = 20-2 20 ． 解得 x=1.5 ； ② 当 A′B′ BC = B′C′ AB 时， 即 30-2x 20 = 20-2 30 ， 解得 x=9． ∴ 当 x=1.5 或 x=9 时， 矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′ 相似 ． * １４. 解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AD⊥DC. ∴AC＝ AD 2 +CD 2 姨 ＝ 2 2 +1 2 姨 ＝ 5 姨 . ∵ 按逆时针方向作矩形 ABCD 的相似矩形 AB 1 C 1 C ， ∴ 矩形 ABCD∽ 矩形 AB 1 C 1 C∽ 矩形 AB 2 C 2 C 1 ∽ … ∽ 矩形 AB n C n C n-1 . ∴ AC AD = AC 1 AC = AC 2 AC 1 = … = AC n AC n-1 = 5 姨 2 ， CC 1 CD = C 1 C 2 CC 1 = C 2 C 3 C 1 C 2 = … = C n-1 C n C n-2 C n-1 = 5 姨 2 . ∵AD=2 ， CD=1 ， ∴AC= 5 姨 ， AC 1 = 5 姨 2 · 5 姨 ， AC 2 = 5 姨 2 · （ 5 姨 ） 2 2 ， …， AC n-1 = 5 姨 2 · （ 5 姨 ） n-1 2 n-2 ， CC 1 = 5 姨 2 ， C 1 C 2 = 5 姨 2 · 5 姨 2 ， C 2 C 3 = 5 姨 2 · （ 5 姨 ） 2 2 2 ， …， C n-1 C n = 5 姨 2 · （ 5 姨 ） n-1 2 n-1 . ∴ 矩形 AB 1 C 1 C 的周长 =2 （ AC+CC 1 ） =3 5 姨 ， 矩形 AB 1 C 1 C 的面积 =AC · CC 1 = 5 2 . 依此类推， 矩形 AB 2 C 2 C 1 的周长 =2 （ AC 1 +C 1 C 2 ） = 3 2 （ 5 姨 ） 2 ， 矩形 AB 2 C 2 C 1 的面积 ＝ （ 5 姨 ） 4 2 3 . ∴ 矩形 AB n C n C n-1 的周长 =2 （ AC n-1 +C n-1 C n ） =3× （ 5 姨 ） n 2 n-1 ， 矩形 AB n C n C n-1 的面积 =AC n-1 · C n-1 C n = 5 姨 2 · （ 5 姨 ） n-1 2 n-2 · 5 姨 2 · （ 5 姨 ） n-1 2 n-1 = （ 5 姨 ） 2n 2 2n-1 = 5 n 2 2n-1 . 4 探索三角形相似的条件 （第 1 课时） 1. 24 cm 2. 30° 3. 3 4. 2 ∶ 1 5. 4 6. C 7. A 8. A 9. 25 2 . 10. 证明： （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是正方形， △EDF 是等腰直角三角形， ∴AD=CD ， DE= DF ， ∠ADC=∠EDF=90° ， ∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF. ∴∠ADE=∠CDF ， ∴△ADE≌ △CDF （ SAS ） . （ 2 ） 方法 1 ： 如图， 延长 BA 到点 M ， 交 ED 于点 M ， ∵△ADE≌△CDF ， ∴∠EAD=∠FCD. ∴∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF. ∵∠MAD=∠BCD=90° ， ∴∠EAM=∠BCF. ∵∠EAM=∠BAG ， ∴∠BAG=∠BCF. 又 ∵∠AGB=∠CGF ， ∴△ABG∽△CFG． 方法 2 ： 由 （ 1 ） 知 ∠E=∠DFC=45° ， 又 ∵∠EFD=45° ， ∴∠EFC=90° . ∵∠B=90° ， ∴∠B=∠EFC. ∵∠AGB= ∠CGF ， ∴△ABG∽△CFG． A C 1 B 1 D C C 2 B 2 B 3 C 3 … B 第 14 题答图 第 10 题答图 G E F A B C D M 227 九年级上册 （北师大版）数学 * 11. 解： （ 1 ） ∵DB 平分 ∠ADC ， ∴∠ADB＝∠CDB. 又 ∵∠ABD＝∠BCD＝90° ， ∴△ABD∽△BCD. ∴ AD BD = BD CD . ∴BD 2 ＝AD · CD. （ 2 ） ∵BM∥CD ， ∴∠MBD＝∠BDC. ∴∠ADB＝∠MBD ， 且 ∠ABD＝90°. ∴BM＝MD ， ∠MAB＝∠MBA. ∴BM＝MD＝AM＝4. ∵BD 2 ＝AD · CD ， CD＝6 ， AD＝8 ， ∴BD 2 ＝48. ∴BC 2 ＝BD 2 -CD 2 ＝12. ∴MC 2 ＝MB 2 +BC 2 ＝28. ∴MC＝2 7 姨 . ∵∠MBD=∠BDC ， ∠BNM=∠CND ， ∴△MNB∽△CND. ∴ BM CD = MN CN = 2 3 ， 即 MN MC-MN = 2 3 . 又 ∵MC＝2 7 姨 ， ∴MN＝ 4 5 7 姨 . 12. △MCB 13. 1 2 或 1 4 14. B 15. 证明： （ 1 ） ∵AD∥BC ， ∴∠ACF＝∠DAE. ∵∠FAC＝∠ADE ， AC＝AD ， ∴△ACF≌△DAE （ ASA ） . ∴AF＝DE. （ 2 ） ∵△ACF≌△DAE ， ∴∠AFC＝∠DEA. ∴∠AFB＝∠DEC. ∵∠ABC＝∠CDE ， ∴△ABF∽△CDE. ∴ AF CE = BF DE . ∴AF · DE＝BF · CE. ∵AF＝DE ， ∴AF 2 ＝BF · CE. 16. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC ， CD∥AB ， AB=CD. ∴∠D＝∠FAD ， ∠DCE＝∠F. ∵E 是 AD 的中点， ∴DE＝AE. ∴△CDE≌△FAE （ AAS ） . ∴CD=AF. ∴AF＝AB. （ 2 ） 解 ： ∵AG＝2 ， FG＝6 ， ∴AF＝FG+AG＝6+2＝8. ∴AB＝AF＝8. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴CD＝AB＝8. ∵ ∠DCE＝∠F ， ∠FCG＝∠FCD ， ∴∠F＝∠FCG. ∴CG＝FG＝6. ∵CD∥AF ， ∴∠D＝∠HAG ， ∠DCH＝∠AGC. ∴△DCH∽ △AGH. ∴ CD AG ＝ CH GH ， 即 8 2 ＝ 6-GH GH . ∴GH＝ 6 5 . 4 探索三角形相似的条件 （第 2 课时） 1. AE AD 2. 65° 或 115° 3. 0 ， 3 2 2 * 4. 25 4 5. D 6. A 7. （ 1 ） 相似 . （ 2 ） 相似 . 8. （ 1 ） 证明： ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C. ∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB ， ∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB ， ∠DEF=∠B ， ∴∠BDE=∠CEF. ∴△BDE∽△CEF. （ 2 ） 解： ∵△BDE∽△CEF ， ∴ BE CF ＝ DE EF . ∵ 点 E 是 BC 的中点， ∴BE=CE. ∴ CE CF ＝ DE EF . ∵∠DEF=∠B=∠C ， ∴△DEF∽△ECF. ∴∠DFE=∠CFE. ∴FE 平分 ∠DFC． 9. 解： （ 1 ） ∵ 在矩形 ABCD 中 ， AD∥CF. ∴∠DAF=∠AFC. ∵AF 平分 ∠DAC ， ∴∠DAF=∠CAF. ∴∠FAC= ∠AFC. ∴AC=CF. ∵AB=4 ， BC=3 ， ∴AC= AB 2 +BC 2 姨 = 3 2 +4 2 姨 =5. ∴CF=5. ∵AD∥CF ， ∴∠FAD=∠AFC ， ∠ADE= ∠FCE. ∴△ADE∽△FCE. ∴ AD CF = DE CE . 设 DE=x ， 则 3 5 = x 4-x . 解得 x= 3 2 . ∴DE= 3 2 . （ 2 ） ∵AD∥FH ， AH∥ DF ， ∴ 四边形 ADFH 是平行四边形 . ∴AD=FH=3. ∴CH=2 ， BH=5. ∵AD∥BH ， ∴∠DAG=∠BHG ， ∠ADG=∠GBH. ∴△ADG∽△HBG. ∴ DG BG = AD BH . ∴ DG 5-DG = 3 5 . ∴DG= 15 8 . ∵DE= 3 2 ， ∴ DE DG = DC DB = 4 5 . 又 ∵∠EDG=∠CDB ， ∴△EDG∽ △CDB. ∴∠DGE=∠CBD. ∴EG∥BC. ∴∠1=∠AHC. 又 ∵DF∥AH ， ∴∠AHC=∠DFC ， ∠1=∠DFC． 10. （ 1 ） 解： 如图， 以点 D 为圆心， BC 长为半径作弧， 再以点 A 为圆心， AC 长为半 径作弧， 交前弧于点 E ， 连接 DE ， AE ， 则 △ADE 即为所求 . （ 2 ） 证明 ： 由旋转得 AB=AD ， AC=AE ， ∠BAC=∠DAE ， ∴ AB AC = AD AE . ∵∠BAC+ ∠CAD=∠DAE+∠CAD ， ∴∠BAD=∠CAE. ∴△ABD∽△ACE. 11. 解： （ 1 ） FH＝ 2 姨 FG. 证明： 如图 1 ， 连接 AH ， CE ， AF ， ∵△ABC 和 △ADE 都 是等腰直角三角形， 且 ∠BAC＝∠DAE＝90° ， F ， H 分别是 DE ， BC 的中点， ∴AH⊥BC ， AF⊥DE ， AH=CH= 1 2 BC ， AF=EF= 1 2 DE. ∴ ∠CAH＝∠EAF＝45°. ∴∠HAF＝∠EAC ， AH AC = AF AE = 2 姨 2 . ∴△AHF∽△ACE. ∴ FH CE = AH AC = 2 姨 2 . ∴CE＝ 2 姨 FH. ∵ 点 F ， G 分别是 DE ， DC 的中点， ∴CE＝2FG. ∴FH＝ 2 姨 FG. （ 2 ） FH＝FG. 证明： 如图 2 ， 连接 AH ， CE ， AF ， ∵△ABC 和 △ADE 都是等腰三角形， 且 ∠BAC＝∠DAE＝120° ， 第 10 题答图 第 11 题答图 图 1 图 2 A B C D E F G H A B C D E F G H A B C D E 228