4 探索三角形相似的条件(第3课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

参考答案与提示 ∴∠AED＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°. ∵ 点 F ， H 分别是 DE ， BC 的中点， ∴AH⊥BC ， AF⊥DE ， ∠CAH＝∠EAF＝ 1 2 × 120°=60°. ∴∠HAF＝∠EAC ， AH AC = AF AE = 1 2 . ∴△AHF∽△ACE. ∴ FH CE = AH AC = 1 2 . ∴CE＝2FH. ∵ 点 F ， G 分别是 DE ， DC 的中点， ∴CE＝2FG. ∴FH＝FG. 4 探索三角形相似的条件 （第 3 课时） 1. 相似 三边对应成比例的两个三角形相似 2. E 3. 8 ， 10 4. C 5. D 6. C 7. A 8. 相似 . 理由略 . 9. 两种截法是 10 cm ， 25 cm ， 30 cm 或 12 cm ， 30 cm ， 36 cm. 10. △DEF∽△ABC 提示： 利用三角形中位线可推出三条边对应成比例 . 11. 解： ∵ AB AD = BC DE = AC AE ， ∴△ABC∽△ADE. ∴∠BAC=∠DAE ， ∠E=∠C. ∴∠BAD=∠CAE. ∵∠AFE=∠BFC ， ∴∠BAD=∠CBE. 12. 解： （ 1 ） 2 5 姨 2 10 姨 （ 2 ） BC= 4 2 +2 2 姨 =2 5 姨 ． 又由 （ 1 ） 知， AC=2 5 姨 ， AB=2 10 姨 ， ∴AC 2 + BC 2 =AB 2 =40. ∴∠ACB=90°． （ 3 ） △CAB 和 △DEF 相似 ． 理由： ∵DE=DF= 1 2 +2 2 姨 = 5 姨 ， EF= 1 2 +3 2 姨 = 10 姨 ． 则 AC DE = BC DF = AB EF =2. ∴△CAB∽△DEF． * 13. 解： （ 1 ） 相似， 理由略 . （ 2 ） 答案不唯一， 下面 6 个三角形中的任意两个均可： △DP 2 P 5 ， △P 5 P 4 F ， △DP 2 P 4 ， △P 5 P 4 D ， △P 4 P 5 P 2 ， △FDP 1 . 14. 解： （ 1 ） CD C′D′ = AC A′C′ = AD A′D′ ∠A=∠A′ （2 ） △ABC∽△A′B′C′. 如图， 过点 D ， D′ 分别作 DE∥BC ， D′E′∥B′C′ ， DE 交 AC 于点 E ， D′E′ 交 A′C′ 于点 E′. ∵DE∥BC ， ∴△ADE∽△ABC. ∴ AD AB = DE BC = AE AC . 同理， 得 A′D′ A′B′ = D′E′ B′C′ = A′E′ A′C′ . ∵ AD AB = A′D′ A′B′ ， ∴ DE BC = D′E′ B′C′ . ∴ DE D′E′ = BC B′C′ . 同理， 得 AE AC = A′E′ A′C′ ， ∴ AC-AE AC = A′C′-A′E′ A′C′ ， 即 EC AC = E′C′ A′C′ . ∴ EC E′C′ = AC A′C′ . ∵ CD C′D′ = AC A′C′ = BC B′C′ ， ∴ CD C′D′ = DE D′E′ = EC E′C′ . ∴△DCE∽△D′C′E′. ∴∠CED=∠C′E′D′. ∵DE∥BC ， ∴∠CED+∠ACB=180°. 同理， ∠C′E′D′+∠A′C′B′=180° ， ∴∠ACB=∠A′C′B′. ∵ AC A′C′ = CB C′B′ ， ∴△ABC∽△A′B′C′. 4 探索三角形相似的条件 （第 4 课时） 1. 黄金分割 2. 5 （ 5 姨 -1 ） cm 3. 3- 5 姨 4. 5 姨 +1 2 5. S 1 =S 2 6. A 7. D 8. 略 9. 6 5 姨 -12 10. 解： （ 1 ） 略 （ 2 ） 提示： 证明 △ABC∽△BDC ， 得 AD 2 =AC · DC. * 11. 解： （ 1 ） 略 （ 2 ） 是 . 提示： 先证明四边形 EBCF 是矩形 . 然后设 CD＝a ， AD＝b ， 则 b a = 5 姨 -1 2 ， ∴ CF EF = a-b b = 5 姨 -1 2 . ∴ 矩形 EBCF 是黄金矩形 . （ 3 ） 归纳： 在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后， 所得到 的另外一个四边形是矩形， 而且是黄金矩形 . 12. （ 80 5 姨 -160 ） １3. D 14. C * 5 相似三角形判定定理的证明 1. 5 2. 8 3 或 3 2 3. 3 姨 4. D 5. A 6. A 7. 相似， 原因略 . 8. 略 9. 相似， 证明略 . 10. 证明： ∵ AB AD = AC AE = BC DE ， ∴△ABC∽△ADE. ∴∠EAD=∠CAB. ∴∠EAC=∠DAB. ∵ AB AD = AC AE ， ∴△AEC∽ △ADB. ∴ AB AC = BD EC . ∴AB · EC＝AC · BD. 11. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 为正方形 ， ∴AD=AB=DC=BC ， ∠A=∠D=90° . ∵AE=ED ， ∴ AE AB = 1 2 . ∵DF＝ 1 4 DC ， ∴ DF DE = 1 2 ， AE AB = DF DE . ∴△ABE∽△DEF. （ 2 ） BG=10. 第 14 题答图 DA B C E A′ B′ C′ D′ E′ 229 九年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 在边长为 1 的小正方形组成的网格中， △ABC 和 △DEF 的顶点都在格点上， 判断 △ABC 和 △DEF 是否相似， 并说 明理由 ． 【分析】 首先由勾股定理和小正方形的边长为 1 ， 能求出 △ABC 和 △DEF 各边的长， 可得出 AB DE = AC DF = BC EF ， 然后由三组对应边对应成比例判定 △ABC 和 △DEF 相似 ． 【解答】 △ABC 和 △DEF 相似 ． 理由： 由勾股定理， 得 AB=2 5 姨 ， AC= 5 姨 ， BC=5 ， DE=4 ， DF=2 ， EF=2 5 姨 ， ∴ AB DE = AC DF = BC EF = 2 5 姨 4 = 5 姨 2 ， ∴△ABC∽△DEF． 【点拨】 在有关网格三角形相似问题中， 常常需要利用网格的单位长度和勾股定理求三 角形的各边长 . 结合三条对应边成比例的方法判断两个三角形是否相似 ． 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 两个三角形的关系是 （填 “相似” 或 “不相似”）， 理由是 . 2. 如图， AB AD = BC DE = AC AE ， 则 ∠C=∠ . 3. 一个三角形的三边之比为 3 ∶ 4 ∶ 5 ， 另一个三角形的最短边长为 6 ， 另外两边长分别 为 时， 这两个三角形相似 . 4. 若 △ABC 的各边都分别扩大到原来的 3 倍得到 △A′B′C′ ， 下列结论正确的是 （ ） A. △ABC 与 △A′B′C′ 的对应角不相等 B. △ABC 与 △A′B′C′ 不一定相似 C. △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比为 1 ∶ 3 D. △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比为 3 ∶ 1 5. 在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， AB=9 cm ， BC=8 cm ， CA=5 cm ， A′B′=4.5 cm ， B′C′=2.5 cm ， 4 探索三角形相似的条件 （第 3课时） E F A B C D 例题图 6 cm 9 cm 7.5 cm 6 cm 5 cm 4 cm E O A B C D 第 1 题图 第 2 题图 86 图形的相似 第四章 C′A′=4 cm ， 则下列说法错误的是 （ ） A. △ABC 与 △A′B′C′ 相似 B. AB 与 B′A′ 是对应边 C. 两个三角形的相似比是 2 ∶ 1 D. BC 与 B′C′ 是对应边 6. 已知 △ABC 的三边长分别为 6 cm ， 7.5 cm ， 9 cm ， △DEF 的一边长为 4 cm ， 当 △DEF 的另两边长是下列哪一组时， 这两个三角形相似 （ ） A. 2 cm ， 3 cm B. 4 cm ， 5 cm C. 5 cm ， 6 cm D. 6 cm ， 7 cm 7. 如图， 小正方形的边长均为 1 ， 则下列图中的三角形 （阴影部分） 与 △ABC 相似的是 （ ） 8. 一个三角形的三边长分别为 12 cm ， 8 cm ， 7 cm ， 另一个三角形的三边长分别为 16 cm ， 24 cm ， 14 cm ， 这两个三角形相似吗？ 为什么？ 9. 一个钢筋三角架三边长分别为 20 cm ， 50 cm ， 60 cm ， 现要再做一个与其相似的钢筋 三角架， 而只有长为 30 cm 和 50 cm 的两根钢筋， 要求以其中的一根为一边， 从另一根截下 两段 （允许有余料） 作为另两边， 写出所有不同的截法 . A B C 第 7 题图 A B C D 87 九年级上册 （北师大版）数学 能力提升 综合拓展 10. 如图， 点 O 是 △ABC 内一点， 点 D ， E ， F 分别是 OA ， OB ， OC 边中点， 试猜想 △ABC 是否相似于 △DEF ， 并证明你的结论 . 11. 如图， AB AD = BC DE = AC AE ， 试说明 ∠BAD=∠CBE. 12. 如图， 在 8×8 的正方形网格中， △CAB 和 △DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的 顶点上， AC 与网格上的直线相交于点 M． （ 1 ） 填空： AC= ， AB= . （ 2 ） 求 ∠ACB 的值 . （ 3 ） 判断 △CAB 和 △DEF 是否相似， 并说明理由 ． F E A B C D 第 11 题图 E F O A B C D 第 10 题图 E F M A B C D 第 12 题图 88 图形的相似 第四章 * 13. 如图， 方格纸中每个小正方形的边长为 1 ， △ABC 和 △DEF 的顶点都在方格纸的格点上 . （ 1 ） 判断 △ABC 和 △DEF 是否相似， 并说明理由 . （ 2 ） 点 P 1 ， P 2 ， P 3 ， P 4 ， P 5 ， D ， F 是 △DEF 边上的 7 个格点， 请在这 7 个格点中选取 3 个点作为三角形的顶点， 使构成的三角形与 △ABC 相似 （要求写出两个符合条件的三角形， 并在图中连接相应线段， 不必说明理由） . 中考链接 真题演练 14. （ 2020 ·南京） 如图， 在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 点 D ， D′ 分别是 AB ， A′B′ 上一点， AD AB ＝ A′D′ A′B′ ． （ 1 ） 当 CD C′D′ ＝ AC A′C′ ＝ AB A′B′ 时， 求证： △ABC∽△A′B′C′． 证明的途径可以用下面的框图表示， 请填写其中的空格 ． （ 2 ） 当 CD C′D′ ＝ AC A′C′ ＝ BC B′C′ 时， 判断 △ABC 与 △A′B′C′ 是否相似， 并说明理由 ． E A B C D F P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 第 13 题图 AD AB ＝ A′D′ A′B′ AD A′D′ ＝ AB A′B′ CD C′D′ ＝ AC A′C′ ＝ AB A′B′ △ADC∽△A′D′C′ △ABC∽△A′B′C′ AC A′C′ ＝ AB A′B′ A B C D A′ B′ C′ D′ 第 14 题图 89