2 平行线分线段成比例-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

九年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 对于平行线， 我们有这样的结论： 如图 1 ， AB∥CD ， AD ， BC 交于点 O ， 则 AO DO = BO CO ． 请利用该结论解答下面的问题 ： 如图 2 ， 在 △ABC 中 ， 点 D 在线段 BC 上 ， ∠BAD=75° ， ∠CAD=30° ， AD=2 ， BD=2DC ， 求 AC 的长 . 【分析】 首先通过观察发现图 2 中没有与图 1 的类似形状， 所以通过已知条件来构造类 似形状 . 过点 C 作 CE∥AB 交 AD 的延长线于点 E ， 根据平行线分线段成比例定理得到 BD DC = AD DE ， 将已知代入求出 DE 和 AE 的长， 再结合已知边角关系证得 AC=AE． 【解答】 如图， 过点 C 作 CE∥AB 交 AD 的延长线于点 E ， 则 BD DC = AD DE ， 又 ∵BD=2DC ， AD=2 ， ∴DE=1. ∵CE∥AB ， ∴∠E=∠BAD=75°. 又 ∵∠CAD=30° ， ∴∠ACE=75° ， ∴AC=AE=AD+DE=3． 【点拨】 利用线段的比例关系， 求解线段长的问题， 通常使用的 辅助线是过一点作已知线段的平行线 . 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 直线 l 1 ∥l 2 ∥l 3 ， 已知 AG=1.2 cm ， BG=2.4 cm ， EF=3 cm ， 则 KF= . 2. 如图， 直线 CD∥EF ， 若 OC=3 ， CE=4 ， 则 OD OF 的值是 . 3. 如图， 在 △ABC 与 △AED 中， DE∥BC ， 若 AE ∶ EC＝1 ∶ 3 ， DB-AD＝3 ， 则 AD＝ . 2 平行线分线段成比例 A B CD O A B C D 图 1 图 2 例题图 E A B C D E F A B G l 1 K l 2 l 3 E F O C D 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 E A B C D 例题答图 74 图形的相似 第四章 4. 如图， 在 荀ABCD 中， E 为 BC 上一点， BF ∶ FD＝2 ∶ 3 ， AE 交 BD 于点 F ， 则 AF ∶ FE＝ . 5. 如图， 已知直线 a∥b∥c ， 直线 m ， n 与直线 a ， b ， c 分别交于点 A ， C ， E 和点 B ， D ， F ， AC＝4 ， CE＝6 ， BD＝3 ， 则 BF＝ （ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 6. 如图， △ABC 中， DE∥BC ， AD=5 ， BD=10 ， AE=3 ， 则 CE 的值为 （ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 4 7. 如图， 在 荀ABCD 中， E 为 AB 的中点， F 为 AD 上一点， EF 交 AC 于点 G ， FG=2 cm ， EG=4 cm ， AG=3 cm ， 则 AC 的长为 （ ） A. 9 cm B. 14 cm C. 15 cm D. 18 cm 能力提升 综合拓展 8. 如图， 在 △ABC 中， DE∥BC ， EF∥AB ， AE=2CE ， AB=6 ， BC=9． 求四边形 BDEF 的周长 ． 9. 如图， 在 △ABC 中， AM 是 BC 边上的中线， 直线 DN∥AM ， 交 AB 于点 D ， 交 CA 的 延长线于点 E ， 交 BC 于点 N. 试说明： AD AB = AE AC . E F A B C D 第 4 题图 E F A B C D c a b n m E A B C D 第 5 题图 第 6 题图 E F A B C D G 第 7 题图 E F A B C D 第 8 题图 第 9 题图 E M A B C D N 75 九年级上册 （北师大版）数学 * 10. 如图， 在 △ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， F 是 AD 边上一点， 射线 CF 交 AB 于点 E ， 且 AE EB = 1 6 ， 试求 AF FD 的值 . 中考链接 真题演练 11. （ 2023 ·北京） 如图， 直线 AD ， BC 交于点 O ， AB∥EF∥CD ， 若 AO=2 ， OF=1 ， FD= 2 ， 则 BE EC 的值为 . 12. （ 2023 ·吉林） 如图， 在 △ABC 中， 点 D 在边 AB 上， 过点 D 作 DE∥BC ， 交 AC 于 点 E． 若 AD＝2 ， BD＝3 ， 则 AE AC 的值是 （ ） A． 2 5 B． 1 2 C． 3 5 D． 2 3 13. （ 2023 ·常州） 小李按照以下步骤画线段 AB 的三等分点： 这一画图过程体现的数学依据是 （ ） A． 两直线平行， 同位角相等 B． 两条平行线之间的距离处处相等 C． 垂直于同一条直线的两条直线平行 D． 两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例 第 10 题图 第 12 题图第 11 题图 A B C D E A B C D E F O 画法 图形 （ 1 ） 以 A 为端点画一条射线； （ 2 ） 用圆规在射线上依次截取 3 条等长线段 AC ， CD ， DE ， 连接 BE ； （ 3 ） 过点 C ， D 分别画 BE 的平行线， 交线段 AB 于点 M ， N． M ， N 就是线段 AB 的三等分点 ． A B C D E M N E F A B C D 76 九年级上册 （北师大版）数学 2 用频率估计概率 1. 0.5 频率 概率 2. 0.9 3. A 4. D 5. 解： （ 1 ） 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701 （ 2 ） 当 n 很大时， 频率将会接近 0.7. （ 3 ） 获得铅笔 的概率约是 7 10 或 0.7. （ 4 ） 表示 “铅笔” 区域的扇形的圆心角约是 252°. 6. 解： （ 1 ） 1 ３ （ 2 ） 用表格列出甲、 乙两人摸出的球的数字和的可能性结果如下： 由表格知， 共有 12 种可能出现的结果， 每种结果出现的可能性相同 . 若 3+x=8 ， 则 x=5 ， 此时甲、 乙两人摸 出的球的数字和为 8 的结果有 4 种， ∴P （和为 8 ） ＝ ４ １2 ＝ 1 ３ ； 若 4+x=8 ， 则 x=4 ， 此时甲、 乙两人摸出的球的数字和 为 8 的结果有 4 种， ∴P （和为 8 ） ＝ 4 12 ＝ 1 3 ； 若 5+x=8 ， 则 x=3 ， 此时甲、 乙两人摸出的球的数字和为 8 的结果有 4 种， ∴P （和为 8 ） ＝ 4 12 ＝ 1 3 . ∴x 的值可能为 3 或 4 或 5. * 7. 解： （ 1 ） 不公平 . ∵P （阴） = 9-4 9 = 5 9 ， 即甲同学获胜的概率为 5 9 ， 乙同学获胜的概率为 4 9 . ∵ 5 9 ＞ 4 9 ， ∴ 游 戏对双方不公平 . （ 2 ） 方法正确 . 设不规则图形的面积为 S ， 掷入不规则图形内的频率 = n m ≈P （掷入不规则图形 内） = S a 2 ， ∴ 不规则的图形面积 S≈ a 2 n m . 当试验次数较大时， 试验频率稳定于理论概率 （或频率与概率的关系） . 8. 15 9. ①③ 10. 解： （ 1 ） 参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为 15 000 60 000 ＝0.25. （ 2 ） 由 （ 1 ） 估计从纸箱中随机摸 出一个球是红球的概率为 1 4 . 设纸箱中白球的数量为 x ， 从纸箱中随机摸出一个球是红球的概率为 12 12+x . 由 12 12+x = 1 4 . 解得 x＝36. 经检验 x＝36 是分式方程的解且符合实际， ∴ 估计纸箱中白球的数量接近 36. 第四章 图形的相似 1 成比例线段 （第 1 课时） 1. ③⑤ ①②④⑥ 2. 5 ∶ 3 3. 9 4. 4 5. 5 ∶ 2 6. D 7. B 8. B 9. （ 1 ） 4 ∶ 1 （ 2 ） 1 ∶ 3 （ 3 ） 3 ∶ 4 10. 3 姨 ∶ 2 11. 直角三角形 . * 12. BD=2.1 cm ， DC=3.5 cm. １3. 1 14. 2 １5. A 1 成比例线段 （第 2 课时） 1. 2 5 2. 1 3 3. 2 或 -1 4. 2 3 5. B 6. A 7. D 8. B 9. - 3 5 10. 解： （ 1 ） ∵ AD DB = AE EC ， ∴ AD+DB BD = AE+EC EC . ∴ AB BD = AC EC . ∴ BD AB = EC AC . （ 2 ） 4. * 11. 解： ∵ AB BE = AM ME = AC CE ， ∴ AB+AC BE+CE = AB+AC BC = AM ME . ∴ AB+AC+BC BC = AM+ME ME = AE ME . 12. 5 6 １３. 1 2 2 平行线分线段成比例 1. 2 cm 2. 3 7 3. 1.5 4. 3 ∶ 2 5. B 6. B 7. D 3 4 5 x 3 7 8 3+x 4 7 9 4+x 5 8 9 5+x x 3+x 4+x 5+x 乙 甲 和 226 参考答案与提示 8. 解： ∵DE∥BC ， EF∥AB ， ∴ 四边形 DBFE 是平行四边形， ∴EF=BD ， DE=BF ， AE EC = AD BD = BF FC . ∴ AE AC = AD AB = BF BC . ∵AE=2CE ， ∴ AE AC = 2 3 = AD 6 = BF 9 . ∴BF=6 ， AD=4. ∴BD=AB－AD=2. ∴ 四边形 BDEF 的周长 =2 （ BD+DE ） =2× （ 2+ 6 ） =16． 9. 解： ∵DN∥AM ， ∴ AD AB = MN BM ， AE AC = MN MC . ∵MB=MC ， ∴ AD AB = AE AC . * 10. 1 3 提示： 过点 D 作 DG∥EC 交 AB 于 G. 11. 3 2 １2. A １3. D 3 相似多边形 1. 一定 2. 6 cm 3. 68° 4. 18 cm 5. C 6. A 7. D 8. C 9. 都不相似 . 理由略 . 10. 分两种情况： 7.5 cm 或 30 cm. 11. AE= 16 3 . 12. （ 1 ） AD=4 2 姨 . （ 2 ） 矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比为 DM AB = 2 姨 2 . * １３. 解： （ 1 ） 不相似 . ∵AB=30 ， A′B′=28 ， BC=20 ， B′C′=18 ， ∴ 28 30 ≠ 18 20 ． ∴ 矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′ 不相 似 ． （ 2 ） 若矩形 ABCD 与 A′B′C′D′ 相似， 则 ① 当 A′B′ AB = B′C′ BC 时， 即 30-2x 30 = 20-2 20 ． 解得 x=1.5 ； ② 当 A′B′ BC = B′C′ AB 时， 即 30-2x 20 = 20-2 30 ， 解得 x=9． ∴ 当 x=1.5 或 x=9 时， 矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′ 相似 ． * １４. 解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AD⊥DC. ∴AC＝ AD 2 +CD 2 姨 ＝ 2 2 +1 2 姨 ＝ 5 姨 . ∵ 按逆时针方向作矩形 ABCD 的相似矩形 AB 1 C 1 C ， ∴ 矩形 ABCD∽ 矩形 AB 1 C 1 C∽ 矩形 AB 2 C 2 C 1 ∽ … ∽ 矩形 AB n C n C n-1 . ∴ AC AD = AC 1 AC = AC 2 AC 1 = … = AC n AC n-1 = 5 姨 2 ， CC 1 CD = C 1 C 2 CC 1 = C 2 C 3 C 1 C 2 = … = C n-1 C n C n-2 C n-1 = 5 姨 2 . ∵AD=2 ， CD=1 ， ∴AC= 5 姨 ， AC 1 = 5 姨 2 · 5 姨 ， AC 2 = 5 姨 2 · （ 5 姨 ） 2 2 ， …， AC n-1 = 5 姨 2 · （ 5 姨 ） n-1 2 n-2 ， CC 1 = 5 姨 2 ， C 1 C 2 = 5 姨 2 · 5 姨 2 ， C 2 C 3 = 5 姨 2 · （ 5 姨 ） 2 2 2 ， …， C n-1 C n = 5 姨 2 · （ 5 姨 ） n-1 2 n-1 . ∴ 矩形 AB 1 C 1 C 的周长 =2 （ AC+CC 1 ） =3 5 姨 ， 矩形 AB 1 C 1 C 的面积 =AC · CC 1 = 5 2 . 依此类推， 矩形 AB 2 C 2 C 1 的周长 =2 （ AC 1 +C 1 C 2 ） = 3 2 （ 5 姨 ） 2 ， 矩形 AB 2 C 2 C 1 的面积 ＝ （ 5 姨 ） 4 2 3 . ∴ 矩形 AB n C n C n-1 的周长 =2 （ AC n-1 +C n-1 C n ） =3× （ 5 姨 ） n 2 n-1 ， 矩形 AB n C n C n-1 的面积 =AC n-1 · C n-1 C n = 5 姨 2 · （ 5 姨 ） n-1 2 n-2 · 5 姨 2 · （ 5 姨 ） n-1 2 n-1 = （ 5 姨 ） 2n 2 2n-1 = 5 n 2 2n-1 . 4 探索三角形相似的条件 （第 1 课时） 1. 24 cm 2. 30° 3. 3 4. 2 ∶ 1 5. 4 6. C 7. A 8. A 9. 25 2 . 10. 证明： （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是正方形， △EDF 是等腰直角三角形， ∴AD=CD ， DE= DF ， ∠ADC=∠EDF=90° ， ∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF. ∴∠ADE=∠CDF ， ∴△ADE≌ △CDF （ SAS ） . （ 2 ） 方法 1 ： 如图， 延长 BA 到点 M ， 交 ED 于点 M ， ∵△ADE≌△CDF ， ∴∠EAD=∠FCD. ∴∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF. ∵∠MAD=∠BCD=90° ， ∴∠EAM=∠BCF. ∵∠EAM=∠BAG ， ∴∠BAG=∠BCF. 又 ∵∠AGB=∠CGF ， ∴△ABG∽△CFG． 方法 2 ： 由 （ 1 ） 知 ∠E=∠DFC=45° ， 又 ∵∠EFD=45° ， ∴∠EFC=90° . ∵∠B=90° ， ∴∠B=∠EFC. ∵∠AGB= ∠CGF ， ∴△ABG∽△CFG． A C 1 B 1 D C C 2 B 2 B 3 C 3 … B 第 14 题答图 第 10 题答图 G E F A B C D M 227