1 成比例线段(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

九年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 已知 x 2 = y 3 = z 4 ， 求 2x+2y+z 3y-z . 【分析】 对于这种连比问题， 通常设 x 2 = y 3 = z 4 =k （ k≠0 ）， 则有 x=2k ， y=3k ， z=4k ， 然 后代入所求的式子求解， 也可以利用比例的等比性质求解 . 【解答】 方法 1 ： 设 x 2 = y 3 = z 4 =k （ k≠0 ）， 则 x=2k ， y=3k ， z=4k ， ∴ 2x+2y+z 3y-z = 4k+6k+4k 9k-4k = 14k 5k = 14 5 . 方法 2 ： ∵ x 2 = y 3 = z 4 ， ∴ 2x 4 = 2y 6 = 3y 9 = -z -4 = z 4 . ∴ 2x+2y+z 4+6+4 = z 4 ， 3y-z 9-4 = z 4 . ∴ 2x+2y+z 14 = 3y-z 5 ， 即 2x+2y+z 3y-z = 14 5 . 【点拨】 等比性质是利用引入比值 k 的方法推导出来的， 所以需用等比性质求解的问题 均可利用引入比值 k 的方法求解 . 此外， 比例的性质不仅适合于有关线段的比例， 而且也适 用于有关数的比例 . 基础巩固 达标闯关 1. 若 a b = 2 3 ， 则 a a+b = . 2. 已知实数 x ， y 满足 x ∶ y=1 ∶ 2 ， 则 3x-y x+y = . 3. 已知实数 a ， b ， c 满足 a+b c = b+c a = c+a b =k ， 则 k= . 4. 已知 a b = c d = e f = 2 3 ， 若 b-2d+f-3≠0 ， 则 a-2c+e-2 b-2d+f-3 ＝ . 5. 若 2m-n n = 1 3 ， 则 m n ＝ （ ） A. 1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 3 2 6. 已知 a ∶ b=b ∶ c ， 线段 a=3 cm ， c=4 cm ， 则线段 b 等于 （ ） A. 2 3 姨 cm B. -2 3 姨 cm C. ±2 3 姨 cm D. 以上答案都不对 7. 已知 a b = c d ， 则下列等式中不成立的是 （ ） 1 成比例线段 （第 2课时） 72 图形的相似 第四章 A. b a = d c B. a-b b = c-d d C. a a+b = c c+d D. a+d b+c = a b 8. 已知 x y = 3 5 ， 则在 ① x-y x+y = 1 4 ， ② x+3 y+5 ＝ 3 5 ， ③ x x+2y ＝ 3 13 ， ④ x+y x ＝ 8 3 这四个式子 中， 正确的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知 x 2 = y 3 = z 5 ， 求 x-y-z x+y+z 的值 . 能力提升 综合拓展 10. 如图， 已知 AD DB = AE EC . （ 1 ） 试说明： BD AB = EC AC . （ 2 ） 若 AB=10 ， AE=2 ， EC=3 ， 求 AD 的长 . * 11. 如图， 已知 AB BE = AM ME = AC CE . 试说明： AB+BC+CA BC = AE ME . 中考链接 真题演练 12. （ 2021 ·大庆） 已知 x 2 ＝ y 3 ＝ z 4 ， 则 x 2 +xy yz ＝ . 13. （ 2020 ·娄底） 若 b a = d c = 1 2 （ a≠c ）， 则 b-d a-c = . E A B C D 第 10 题图 E M A B C 第 11 题图 73 九年级上册 （北师大版）数学 2 用频率估计概率 1. 0.5 频率 概率 2. 0.9 3. A 4. D 5. 解： （ 1 ） 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701 （ 2 ） 当 n 很大时， 频率将会接近 0.7. （ 3 ） 获得铅笔 的概率约是 7 10 或 0.7. （ 4 ） 表示 “铅笔” 区域的扇形的圆心角约是 252°. 6. 解： （ 1 ） 1 ３ （ 2 ） 用表格列出甲、 乙两人摸出的球的数字和的可能性结果如下： 由表格知， 共有 12 种可能出现的结果， 每种结果出现的可能性相同 . 若 3+x=8 ， 则 x=5 ， 此时甲、 乙两人摸 出的球的数字和为 8 的结果有 4 种， ∴P （和为 8 ） ＝ ４ １2 ＝ 1 ３ ； 若 4+x=8 ， 则 x=4 ， 此时甲、 乙两人摸出的球的数字和 为 8 的结果有 4 种， ∴P （和为 8 ） ＝ 4 12 ＝ 1 3 ； 若 5+x=8 ， 则 x=3 ， 此时甲、 乙两人摸出的球的数字和为 8 的结果有 4 种， ∴P （和为 8 ） ＝ 4 12 ＝ 1 3 . ∴x 的值可能为 3 或 4 或 5. * 7. 解： （ 1 ） 不公平 . ∵P （阴） = 9-4 9 = 5 9 ， 即甲同学获胜的概率为 5 9 ， 乙同学获胜的概率为 4 9 . ∵ 5 9 ＞ 4 9 ， ∴ 游 戏对双方不公平 . （ 2 ） 方法正确 . 设不规则图形的面积为 S ， 掷入不规则图形内的频率 = n m ≈P （掷入不规则图形 内） = S a 2 ， ∴ 不规则的图形面积 S≈ a 2 n m . 当试验次数较大时， 试验频率稳定于理论概率 （或频率与概率的关系） . 8. 15 9. ①③ 10. 解： （ 1 ） 参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为 15 000 60 000 ＝0.25. （ 2 ） 由 （ 1 ） 估计从纸箱中随机摸 出一个球是红球的概率为 1 4 . 设纸箱中白球的数量为 x ， 从纸箱中随机摸出一个球是红球的概率为 12 12+x . 由 12 12+x = 1 4 . 解得 x＝36. 经检验 x＝36 是分式方程的解且符合实际， ∴ 估计纸箱中白球的数量接近 36. 第四章 图形的相似 1 成比例线段 （第 1 课时） 1. ③⑤ ①②④⑥ 2. 5 ∶ 3 3. 9 4. 4 5. 5 ∶ 2 6. D 7. B 8. B 9. （ 1 ） 4 ∶ 1 （ 2 ） 1 ∶ 3 （ 3 ） 3 ∶ 4 10. 3 姨 ∶ 2 11. 直角三角形 . * 12. BD=2.1 cm ， DC=3.5 cm. １3. 1 14. 2 １5. A 1 成比例线段 （第 2 课时） 1. 2 5 2. 1 3 3. 2 或 -1 4. 2 3 5. B 6. A 7. D 8. B 9. - 3 5 10. 解： （ 1 ） ∵ AD DB = AE EC ， ∴ AD+DB BD = AE+EC EC . ∴ AB BD = AC EC . ∴ BD AB = EC AC . （ 2 ） 4. * 11. 解： ∵ AB BE = AM ME = AC CE ， ∴ AB+AC BE+CE = AB+AC BC = AM ME . ∴ AB+AC+BC BC = AM+ME ME = AE ME . 12. 5 6 １３. 1 2 2 平行线分线段成比例 1. 2 cm 2. 3 7 3. 1.5 4. 3 ∶ 2 5. B 6. B 7. D 3 4 5 x 3 7 8 3+x 4 7 9 4+x 5 8 9 5+x x 3+x 4+x 5+x 乙 甲 和 226