1 成比例线段(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

图形的相似 第四章 自主导学 典例精析 例题 在比例尺为 1 ∶ 60 000 000 的地图上， 量得武汉到北京的图上距离约为 2.0 cm ， 武汉到上海的图上距离约为 1.5 cm. （ 1 ） 武汉到北京和上海的实际距离分别是多少千米？ （ 2 ） 武汉到北京与武汉到上海的图上距离之比是多少 ？ 它们的实际距离之比是多少？ 1 成比例线段 （第 1课时） 知识网络 第四章 图形的相似 成比例线段 成比例线段→比例线段的有关性质 两条线段的比 （注意： 单位要统一） 平行线分线段成比例事实及推论 定义： 三个角分别相等、 三边对应成比例的两 个三角形叫相似三角形 两角分别相等的两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 判定 对应角相等、 对应边成比例 对应高的比、 对应角平分线的比、 对应中线的比都等于相似比 周长的比等于相似比、 面积的比等于相似比的平方 性质 相似三角形 图 形 的 相 似 相似多边形 性质： 相似多边形的周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方 定义： 各角对应相等、 各边对应成比例的两个多边形叫相似多边形 图形的位似 位似变换： 在平面直角坐标系中， 将一个多边形每个顶点的横、 纵坐标 都乘以同一个数 k（k≠0）， 所对应的图形与原图形相似， 位似中心是坐 标原点， 它们的相似比为 |k| 定义： 两个相似多边形的对应点所在的直线相交于一点， 这两个多边形 叫作位似多边形 黄金分 割和利 用相似 测高 69 九年级上册 （北师大版）数学 【分析】 根据比例尺是图上距离与实际距离的比的关系即可求解， 同时注意厘米和千米的换 算率 . 【解答】 （ 1 ） 由比例尺知： 2.0 武汉到北京的实际距离 = 1 60 000 000 ， 1.5 武汉到上海的实际距离 = 1 60 000 000 . 所以， 武汉到北京的实际距离约为 2.0×60 000 000=120 000 000 （ cm ） =1 200 （ km ）； 武 汉到上海的实际距离约为 1.5×60 000 000=90 000 000 （ cm ） =900 （ km ） . （ 2 ） 武汉到北京与武汉到上海的图上距离之比是 2 ∶ 1.5=4 ∶ 3 ， 武汉到北京与武汉到上海 的实际距离之比是 1 200 ∶ 900=4 ∶ 3. 【点拨】 用比例尺计算时， 图上距离与实际距离位置千万不能颠倒； 在求线段的比值时 要先统一单位再计算， 注意结果并不含有单位， 对于 “实际距离之比等于图上距离之比” 这 一重要结论， 可以直接使用 . 基础巩固 达标闯关 1. 下面各组中的两个图形， 是形状相同的图形， 是形状不同的图形 . 2. 一张桌面的长为 1.25 m ， 宽为 75 cm ， 那么它的长与宽的比是 . 3. 在比例尺为 1 ∶ 200 的地图上， 测得 A ， B 两地间的图上距离为 4.5 cm ， 则 A ， B 两地 间的实际距离为 m. 4. 已知 a ， b ， c ， d 是成比例线段， 其中 a=3 cm ， b=2 cm ， c=6 cm ， 则 d= cm. 5. 若（ a-b ） ∶ b=3 ∶ 2 ， 则 a ∶ b= . 6. 正方形的对角线与它的边长之比是 （ ） A. 2 ∶ 1 B. 1 ∶ 2 C. 1 ∶ ２ 姨 D. ２ 姨 ∶ 1 7. 下列各组线段 （单位： cm ） 中， 成比例线段的是 （ ） A. 1 ， 2 ， 3 ， 4 B. 1 ， 2 ， 2 ， 4 C. 3 ， 5 ， 9 ， 13 D. 1 ， 2 ， 2 ， 3 8. 若 2 ∶ 3= （ 5－x ） ∶ x ， 则 x 为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 延长线段 AB 到点 C ， 使 BC=3AB ， 求： （ 1 ） AC ∶ AB ； （ 2 ） AB ∶ BC ； （ 3 ） BC ∶ AC. 第 1 题图 ③ ④ ⑥⑤②① 70 图形的相似 第四章 能力提升 综合拓展 10. 如图， 等边 △ABC 的边长为 6 ， 求它的高与边长的比 . 11. 已知 a ， b ， c 为 △ABC 的三边， 并且 a+b+c=60 ， a ∶ b ∶ c=3 ∶ 4 ∶ 5 ， 你能确定三角形 的形状吗？ * 12. 如图， 在 △ABC 中， AB AC = BD DC ， 且 AB=3 cm ， BC=5.6 cm ， AC=5 cm ， 求 BD ， DC 的长 . 中考链接 真题演练 13. （ 2023 ·甘孜） 若 x y =2 ， 则 x-y y ＝ ． 14. （ 2023 ·丽水） 小李同学在学习了九年级上册 “ 4.1 成比例线段” 3 节课后， 发现学习 内容是一个逐步特殊化的过程， 请在横线上填写适当的数值， 感受这种特殊化的学习过程 ． 则 a c = ． 15. （ 2023 ·金昌） 若 a 2 = 3 b ， 则 ab= （ ） A． 6 B． 3 2 C． 1 D． 2 3 A B C A B C D 第 10 题图 第 12 题图 a b = b c a b = b c = 2 姨 当 a c = 时 a x = y c 当 x=y=b 时 出现比例中项线段比例线段 出现特殊线段比 71 九年级上册 （北师大版）数学 2 用频率估计概率 1. 0.5 频率 概率 2. 0.9 3. A 4. D 5. 解： （ 1 ） 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701 （ 2 ） 当 n 很大时， 频率将会接近 0.7. （ 3 ） 获得铅笔 的概率约是 7 10 或 0.7. （ 4 ） 表示 “铅笔” 区域的扇形的圆心角约是 252°. 6. 解： （ 1 ） 1 ３ （ 2 ） 用表格列出甲、 乙两人摸出的球的数字和的可能性结果如下： 由表格知， 共有 12 种可能出现的结果， 每种结果出现的可能性相同 . 若 3+x=8 ， 则 x=5 ， 此时甲、 乙两人摸 出的球的数字和为 8 的结果有 4 种， ∴P （和为 8 ） ＝ ４ １2 ＝ 1 ３ ； 若 4+x=8 ， 则 x=4 ， 此时甲、 乙两人摸出的球的数字和 为 8 的结果有 4 种， ∴P （和为 8 ） ＝ 4 12 ＝ 1 3 ； 若 5+x=8 ， 则 x=3 ， 此时甲、 乙两人摸出的球的数字和为 8 的结果有 4 种， ∴P （和为 8 ） ＝ 4 12 ＝ 1 3 . ∴x 的值可能为 3 或 4 或 5. * 7. 解： （ 1 ） 不公平 . ∵P （阴） = 9-4 9 = 5 9 ， 即甲同学获胜的概率为 5 9 ， 乙同学获胜的概率为 4 9 . ∵ 5 9 ＞ 4 9 ， ∴ 游 戏对双方不公平 . （ 2 ） 方法正确 . 设不规则图形的面积为 S ， 掷入不规则图形内的频率 = n m ≈P （掷入不规则图形 内） = S a 2 ， ∴ 不规则的图形面积 S≈ a 2 n m . 当试验次数较大时， 试验频率稳定于理论概率 （或频率与概率的关系） . 8. 15 9. ①③ 10. 解： （ 1 ） 参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为 15 000 60 000 ＝0.25. （ 2 ） 由 （ 1 ） 估计从纸箱中随机摸 出一个球是红球的概率为 1 4 . 设纸箱中白球的数量为 x ， 从纸箱中随机摸出一个球是红球的概率为 12 12+x . 由 12 12+x = 1 4 . 解得 x＝36. 经检验 x＝36 是分式方程的解且符合实际， ∴ 估计纸箱中白球的数量接近 36. 第四章 图形的相似 1 成比例线段 （第 1 课时） 1. ③⑤ ①②④⑥ 2. 5 ∶ 3 3. 9 4. 4 5. 5 ∶ 2 6. D 7. B 8. B 9. （ 1 ） 4 ∶ 1 （ 2 ） 1 ∶ 3 （ 3 ） 3 ∶ 4 10. 3 姨 ∶ 2 11. 直角三角形 . * 12. BD=2.1 cm ， DC=3.5 cm. １3. 1 14. 2 １5. A 1 成比例线段 （第 2 课时） 1. 2 5 2. 1 3 3. 2 或 -1 4. 2 3 5. B 6. A 7. D 8. B 9. - 3 5 10. 解： （ 1 ） ∵ AD DB = AE EC ， ∴ AD+DB BD = AE+EC EC . ∴ AB BD = AC EC . ∴ BD AB = EC AC . （ 2 ） 4. * 11. 解： ∵ AB BE = AM ME = AC CE ， ∴ AB+AC BE+CE = AB+AC BC = AM ME . ∴ AB+AC+BC BC = AM+ME ME = AE ME . 12. 5 6 １３. 1 2 2 平行线分线段成比例 1. 2 cm 2. 3 7 3. 1.5 4. 3 ∶ 2 5. B 6. B 7. D 3 4 5 x 3 7 8 3+x 4 7 9 4+x 5 8 9 5+x x 3+x 4+x 5+x 乙 甲 和 226