6 应用一元二次方程(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

一元二次方程 第二章 自主导学 典例精析 例题 现代互联网技术的广泛应用催生了快递行业的高度发展， 据调查， 某家小型 “大学生自主创业” 的快递公司， 今年八月份与十月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件 和 12.1 万件， 现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同 ． （ 1 ） 求该快递公司投递总件数的月平均增长率 . （ 2 ） 如果平均每人每月最多可投递 0.6 万件， 那么该公司现有的 21 名投递业务员能否 完成今年六月份的快递投递任务？ 如果不能， 请问至少需要增加几名业务员 . 【分析】 （ 1 ） 根据八月份到十月份完成投递的快递总件数之间的增长关系， 建立方程即 可求解 . （ 2 ） 首先求出今年十一月份的快递投递任务， 再求出 21 名投递业务员能完成的快 递投递任务， 比较得出该公司不能完成今年十一月份的快递投递任务， 进而求出至少需要增 加业务员的人数 ． 【解答】 （ 1 ） 设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x ， 根据题意， 得 10 （ 1+x ） 2 = 12.1. 解得 x 1 =0.1 ， x 2 =-2.2 （不合题意， 舍去） ． 答： 该快递公司投递总件数的月平均增长率为 10%. （ 2 ） 今年十一月份的快递投递任务是 12.1× （ 1+10% ） =13.31 （万件） ． ∵ 平均每人每月最多可投递 0.6 万件， ∴21 名投递业务员能完成的快递投递任务是 0.6× 21=12.6＜13.31 ， ∴ 该公司现有的 21 名投递业务员不能完成今年十一月份的快递投递任务， ∴ 需要增加业务员（ 13.31-12.6 ） ÷0.6=1 11 60 ≈2 （人） ． 答： 该公司现有的 21 名投递业务员不能 完成今年十一月份的快递投递任务， 至少需要增加 2 名业务员 ． 【点拨】 本题应用一元二次方程解增长率的问题， 解题关键是要读懂题目的意思， 找到 起始量 a 和增长后的量 b ， 列出形如 a （ 1+x ） 2 =b 的方程 . 基础巩固 达标闯关 1. 某县为发展教育事业， 加强了对教育经费的投入， 2021 年投入 3 000 万元， 2023 年 投入 5 000 万元 . 设教育经费的年平均增长率为 x ， 则根据题意可列出的方程为 . 2. 某电动自行车厂三月份的产量为 1 000 辆， 由于市场需求量不断增大， 五月份的产量 提高到 1 210 辆， 则该厂四、 五月份的月平均增长率为 . 3. 某服装原价为 200 元， 连续两次涨价 a% 后， 售价为 338 元， 则 a 的值为 （ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 6 应用一元二次方程 （第 2课时） 51 九年级上册 （北师大版）数学 4. 某农机厂四月份生产零件 50 万个， 第二季度共生产零件 182 万个 . 设该厂五、 六月份 平均每月的增长率为 x ， 那么 x 满足的方程是 （ ） A. 50 （ 1+x ） 2 =182 B. 50+50 （ 1+x ） +50 （ 1+x ） 2 =182 C. 50 （ 1+2x ） =182 D. 50+50 （ 1+x ） +50 （ 1+2x ） =182 5. 某校团体操表演队伍有 6 行 8 列， 后又增加了 51 人， 使得团体操表演队伍增加的行、 列数相同， 求增加了多少行或多少列 . 6. 某校为响应我市全民阅读活动， 利用节假日面向社会开放学校图书馆 ． 据统计， 第一 个月进馆 128 人次， 进馆人次逐月增加， 到第三个月末累计进馆 608 人次， 若进馆人次的月 平均增长率相同 . （ 1 ） 求进馆人次的月平均增长率 . （ 2 ） 因条件限制， 学校图书馆每月接纳能力不超过 500 人次， 在进馆人次的月平均增长 率不变的条件下， 问校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次， 并说明理由 . 能力提升 综合拓展 7. 某农户种植花生， 原来种植的花生亩产量为 200 kg ， 出油率为 50%. 现在种植新品种 花生后， 每亩收获的花生可加工成花生油 132 kg ， 其中花生出油率的增长率是亩产量的增长 率的 1 2 ， 求新品种花生亩产量的增长率 . 52 一元二次方程 第二章 8. 列方程解应用题 . 端午节期间， 某水果超市调查某种水果的销售情况， 下面是调查员的对话： 小王： 该水果的进价是每千克 22 元 . 小李： 当销售价为每千克 38 元时， 每天可售出 160 千克； 若每千克降低 3 元， 每天的 销售量将增加 120 千克 . 根据他们的对话， 解决下面所给问题： 超市每天要获得销售利润 3 640 元， 又要尽可能 让顾客得到实惠， 求这种水果的销售价为每千克多少元 . 9. 某商家对一款成本价为 40 元的小商品进行线上销售， 如果按每件 60 元销售， 每天可 卖出 20 件 . 通过市场调查发现， 每件小商品售价每降低 5 元， 日销售量增加 10 件 . （ 1 ） 若日利润保持不变， 商家想尽快销售完该款商品， 每件售价应定为多少元？ （ 2 ） 线下实体商店也销售同款小商品， 标价为每件 62.5 元 . 为提高市场竞争力， 促进线 下销售， 商家决定对该商品实行打折销售， 使其销售价格不超过 （ 1 ） 中的售价， 则该商品 至少需打几折销售？ 中考链接 真题演练 10. （ 2023 ·重庆） 为了加快数字化城市建设， 某市计划新建一批智能充电桩， 第一个月 新建了 301 个充电桩， 第三个月新建了 500 个充电桩， 设该市新建智能充电桩个数的月平均 增长率为 x ， 根据题意， 请列出方程： . 11. （ 2023 ·衢州） 某人患了流感， 经过两轮传染后共有 36 人患了流感 . 设每一轮传染中 平均每人传染了 x 人， 则可得到方程 （ ） A. x+ （ 1+x ） =36 B. 2 （ 1+x ） =36 C. 1+x+x （ 1+x ） =36 D. 1+x+x 2 =36 53 九年级上册 （北师大版）数学 12. （ 2023 ·大连） 为了让学生养成热爱图书的习惯， 某学校抽出一部分资金用于购买书 籍 . 已知 2020 年该学校用于购买书籍的资金为 5 000 元， 2022 年用于购买书籍的资金为 7 200 元， 求 2020 — 2022 年该校用于购买书籍的资金的年平均增长率 . 13. （ 2023 ·郴州） 随着旅游旺季的到来， 某景区游客人数逐月增加， 2 月游客人数为 1.6 万人， 4 月游客人数为 2.5 万人 . （ 1 ） 求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率 . （ 2 ） 预计 5 月该景区游客人数会继续增长， 但增长率不会超过前两个月的月平均增长 率 . 已知该景区 5 月 1 日至 5 月 21 日已接待游客 2.125 万人， 则 5 月后 10 天日均接待游客人 数最多是多少万人？ 14. （ 2022 ·毕节） 2022 年北京冬奥会期间， 某网店直接从工厂购进 A ， B 两款冰墩墩钥 匙扣， 进货价和销售价如下表： （注： 利润 ＝ 销售价 - 进货价） （ 1 ） 网店第一次用 850 元购进 A ， B 两款钥匙扣共 30 件， 求分别购进两款钥匙扣的 件数 . （ 2 ） 第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后， 该网店计划再次购进 A ， B 两款冰墩墩钥匙扣 共 80 件 （进货价和销售价都不变）， 且进货总价不高于 2 200 元 . 应如何设计进货方案， 才 能获得最大销售利润， 最大销售利润是多少？ （ 3 ） 冬奥会临近结束时， 网店打算把 B 款钥匙扣调价销售， 如果按照原价销售， 平均每 天可售 4 件 . 经调查发现， 每降价 1 元， 平均每天可多售 2 件， 将销售价定为每件多少元时， 才能使 B 款钥匙扣平均每天销售利润为 90 元？ 类别 价格 A 款钥匙扣 B 款钥匙扣 进货价 / （元 / 件） 30 25 销售价 / （元 / 件） 45 37 54 九年级上册 （北师大版）数学 （ 15+15 ） =1 500. 答： 新的矩形绿地面积为 1 500 m 2 . 6 应用一元二次方程 （第 2 课时） 1. 3 000 （ 1+x ） 2 =5 000 2. 10% 3. A 4. B 5. 解： 设增加了 x 行， 则增加的列数为 x. 根据题意， 得 （ 6+x ）（ 8+x ） -6×8=51. 整理， 得 x 2 +14x-51=0. 解得 x 1 = 3 ， x 2 =-17 （舍去） . 答： 增加了 3 行 3 列 . 6. 解： （ 1 ） 设进馆人次的月平均增长率为 x ， 则由题意， 得 128+128 （ 1+x ） +128 （ 1+x ） 2 ＝608. 整理方程， 得 4x 2 +12x-7＝0. ∴ 解得 x 1 ＝0.5＝50% ， x 2 ＝-3.5 （舍去） . 答： 进馆人次的月平均增长率为 50%． （ 2 ） ∵ 进馆人次的月平均 增长率为 50% ， ∴ 第四个月的进馆人次为 128 （ 1+50% ） 3 ＝128× 27 8 ＝432＜500. 答： 校图书馆能接纳第四个月的进馆人次 ． 7. 解： 设新品种花生亩产量的增长率为 x ， 则 200 （ 1+x ）· 50% （ 1+0.5x ） =132. 解得 x 1 =0.2 ， x 2 =-3.2 （舍去） . ∴ 进 馆人次的月平均增长率为 20%. 8. 解： 设每千克售价降低 x 元， 超市每天可获得销售利润 3 640 元 . 由题意， 得 （ 38-x-22 ） 160+ x 3 ×12 2 " 0 ＝ 3 640. 整理， 得 x 2 -12x+27＝0. 解得 x 1 ＝3 ， x 2 ＝9. ∵ 要尽可能让顾客得到实惠， ∴x＝9. ∴ 售价为 38-9＝29 （元 / 千克） . 答： 水果的销售价为每千克 29 元时， 超市每天可获得销售利润 3 640 元 . 9. 解： （ 1 ） 设售价应定为 x 元， 则每件的利润为 （ x-40 ） 元， 日销售量为 20+ 10 （ 60-x ） 5 ＝ （ 140-2x ） 件 . 依题 意， 得 （ x-40 ）（ 140-2x ） ＝ （ 60-40 ） ×20. 整理， 得 x 2 -110x+3 000＝0. 解得 x 1 ＝50 ， x 2 ＝60 （舍去） . 答： 售价应定为 50 元 . （ 2 ） 该商品需要打 a 折销售， 由题意， 得 62.5 · a 10 ≤50. 解得 a≤8. 答： 该商品至少需打 8 折销售 . 10. 301 （ 1+ x ） 2 =500 11. C 12. 解： 设 2020 — 2022 年该校用于购买书籍的资金的年平均增长率为 x ， 根据题意， 得 5 000 （ 1+x ） 2 =7 200. 解 得 x 1 =0.2=20% ， x 2 =-2.2 （舍去） . 答： 2020 — 2022 年该校用于购买书籍的资金的年平均增长率为 20%. 13. 解： （ 1 ） 设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 x ， 根据题意， 得 1.6 （ 1+x ） 2 =2.5. 解得 x 1 =0.25= 25% ， x 2 =- 9 4 （不合题意， 舍去） . 答： 这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 25%. （ 2 ） 设 5 月后 10 天日均接待游客人数是 a 万人， 根据题意， 得 2.125+10a≤2.5× （ 1+25% ） . 解得 a≤0.1. 答： 5 月后 10 天日均接待 游客人数最多是 0.1 万人 . 14. 解： （ 1 ） 设购进 A 款钥匙扣 x 件， B 款钥匙扣 y 件， 依题意， 得 x+y=30 ， 30x+25y=850 0 ， 解得 x=20 ， y=10 0 . 答： 购进 A 款钥匙扣 20 件， B 款钥匙扣 10 件 . （ 2 ） 设购进 m 件 A 款钥匙扣， 则购进 （ 80-m ） 件 B 款钥匙扣， 依题意， 得 30m+25 （ 80-m ） ≤2 200. 解得 m≤40. 设再次购进的 A ， B 两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为 w 元， 则 w＝ （ 45-30 ） m+ （ 37-25 ）（ 80-m ） ＝3m+960. ∵3＞0 ， ∴w 随 m 的增大而增大 . ∴ 当 m＝40 时， w 取得最大值， 最大值 ＝3× 40+960＝1 080 ， 此时 80-m＝80-40＝40. 答： 购进 A ， B 款钥匙扣各 40 件时， 才能获得最大销售利润， 最大销售利 润是 1 080 元 . （ 3 ） 设 B 款钥匙扣的售价定为 a 元， 则每件的销售利润为 （ a-25 ） 元， 平均每天可售出 4+2 （ 37-a ） ＝ （ 78-2a ） 件， 依题意， 得 （ a-25 ）（ 78-2a ） ＝90 ， 整理， 得 a 2 -64a+1 020＝0. 解得 a 1 ＝30 ， a 2 ＝34. 答： 将销售价定为 每件 30 元或 34 元时， 才能使 B 款钥匙扣平均每天销售利润为 90 元 . 第三章 概率的进一步认识 1 用树状图或表格求概率 （第 1 课时） 1. 解： （ 1 ） 用表格列出所有可能出现的结果如下： 由表格知， 总共有 6 种可能的结果， 每种结果出现的可能性相同， 而正好是蓝色上衣和蓝色长裤的结果有 1 种： （蓝色， 蓝色）， ∴ 正好是蓝色上衣和蓝色长裤的概率为 1 6 . （ 2 ） 由表格可知， 蓝白颜色搭配的结果有 2 种： （白色， 蓝色）、 （蓝色， 白色）， ∴ 一套衣服是蓝、 白两色的概率为 2 6 = 1 3 . 白色 黑色 蓝色 白色 （白色， 白色） （白色， 黑色） （白色， 蓝色） 蓝色 （蓝色， 白色） （蓝色， 黑色） （蓝色， 蓝色） 长裤 上衣 220