6 应用一元二次方程(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

一元二次方程 第二章 自主导学 典例精析 例题 如图， 某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路 相交于点 O 处 . 甲沿着喀什路以 4 m/s 的速度由西向东走， 乙沿着北 京路以 3 m/s 的速度由南向北走 . 当乙走到 O 点以北 50 m 处时， 甲 恰好到点 O 处 . 若两人继续向前行走， 求两人相距 85 m 时各自的 位置 . 【分析】 要确定两人的位置， 就要计算两人的路程， 由速度已知， 要先求时间 ． 因两人相 距 85 m 时， 恰好两人的位置与 O 点构成直角三角形， 故可利用勾股定理建立方程求出时间 . 【解答】 设经过 x s 时两人相距 85 m ， 根据题意得（ 4x ） 2 + （ 50+3x ） 2 =85 2 . 整理方程， 得 x 2 +12x-189=0. 解得 x 1 =9 ， x 2 =-21 （不符合实际情况， 舍去） . 当 x=9 时， 4x=36 ， 50+3x=77． ∴ 当两人相距 85 m 时， 甲在 O 点以东 36 m 处， 乙在 O 点以北 77 m 处 ． 故当两人相距 85 m 时， 甲在 O 点以东 36 m 处， 乙在 O 点以北 77 m 处 ． 【点拨】 本题综合考查了方向角、 一元二次方程的应用和勾股定理 ． 解题的关键是掌握方 向角的相关知识， 知道南北方向和东西方向是垂直的 ． 基础巩固 达标闯关 1. 根据科学分析， 舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点 （即该点将舞台前 沿这一线段分为两条线段， 使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比）， 视觉 和音响效果最好 . 已知学校礼堂舞台的前沿长 20 m ， 问举行文艺汇演时主持人站在何处效果 最好， 请说明理由 . 6 应用一元二次方程 （第 1课时） 例题图 喀什路 北 京 路 东 北 O 47 九年级上册 （北师大版）数学 2. 我国数学家杨辉所著的 《田亩比类乘除算法》 一书提出一个问题： 直田积八百六十四 步 （平方步）， 只云长阔共六十步 . 意思是矩形田地的面积 864 平方步， 其中长、 宽之和是 60 步， 问阔 （宽） 及长各几步 . 3. 要对一块长 60 m 、 宽 40 m 的矩形荒地 ABCD 进行绿化和硬化 . 设计方案如图所示， 矩形 P ， Q 为两块绿地， 其余为硬化路面， P ， Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等， 并使两 块绿地面积的和为矩形 ABCD 面积的 1 4 ， 求 P ， Q 两块绿地周围的硬化路面的宽 . 能力提升 综合拓展 4. 如图， 一个机器人在点 A （ 4 ， 4 ）， 发现一个小球自点 B （ 17 ， 0 ） 沿 x 轴向原点 O 方向 滚过来， 已知小球滚动的直线速度为机器人直线行走速度的 2 倍， 机器人从点 A 直线前进， 最快可在何处截住小球？ P Q A D B C 第 3 题图 A B 4 17 4 y x O 第 4 题图 48 一元二次方程 第二章 5. 某军舰以 20 n mile/h 的速度由西向东航行， 一艘电子侦察船以 30 n mile/h 的速度由 南向北航行， 它能侦察周围 50 n mile （含 50 n mile ） 范围内的目标 . 如图， 当该军舰行至 A 处时， 电子侦察船正位于 A 处正南方向的 B 处， 且 AB=90 n mile. 若军舰和侦察船仍按原速 度沿原方向继续航行， 那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？ 如果能， 最早何时能侦察 到？ 如果不能， 请说明理由 . * 6. 如图， 一架 2.5 m 长的梯子 AB 斜靠在墙 AC 上 . （ 1 ） 这时梯足 B 到墙底端 C 的距离为 0.7 m ， 如果梯子的顶端沿墙垂直下滑 0.4 m ， 那 么梯足将外移多少米？ （ 2 ） 如果 Rt△ABC 是等腰三角形 此时 AC=BC= 5 2 姨 4 4 $ ， 猜想梯子顶端沿墙垂直下滑的 距离 x 与梯足外移的距离 y 的关系， 并说明理由 . （ 3 ） 如果梯足 B 到墙底端 C 的距离为 0.7 m ， 有没有可能梯子顶端沿墙垂直下滑的距离 与梯足外移的距离恰好相等？ 如果有， 那么梯子下滑的距离是多少？ 如果没有， 请说明 理由 . （ 4 ） 梯足距墙多少米时， 梯子的顶端沿墙垂直下滑 0.4 m ， 梯足也恰好外移 0.4 m ？ 第 5 题图 A 东 B 北 A A 1 B 1 B C 第 6 题图 49 九年级上册 （北师大版）数学 第 7 题图 x+5 x+5 x+5 x+5 x x x x ②① ③ * 7. 你知道吗， 对于一元二次方程， 我国古代数学家还研究过其几何解法呢！ 以方程 x 2 + 5x-14=0 ， 即 x （ x+5 ） =14 为例加以说明 . 数学家赵爽在其所著的 《勾股圆方图注》 中记载的 方法是： 构造图 （如下面左图） 中大正方形的面积是 （ x+x+5 ） 2 ， 其中它又等于四个矩形的 面积加上中间小正方形的面积， 即 4×14+5 2 ， 据此易得 x=2. （ 1 ） 下面右边三个构图 （矩形的顶点均落在边长为 1 的小正方形网格格点上） 中， 能够 说明方程 x 2 -4x-12=0 的正确构图是 （只填序号） . （ 2 ） 方程 x 2 -4x-12=0 的正确构图中大正方形的面积是多少 （用含该方程的未知数 x 的代 数式表示）？ 该大正方形面积还可以等于什么？ （ 3 ） 由 （ 1 ） 和 （ 2 ） 可得出方程中未知 x 的值是多少？ 中考链接 真题演练 8． （ 2022 ·德州） 如图， 某小区矩形绿地的长、 宽分别为 35 m ， 15 m ， 现计划对其进行 扩充， 将绿地的长、 宽增加相同的长度后， 得到一个新的矩形绿地 . （ 1 ） 若扩充后的矩形绿地面积为 800 m 2 ， 求新的矩形绿地的长与宽 . （ 2 ） 扩充后， 实地测量发现新的矩形绿地的长、 宽之比为 5 ∶ 3 ， 求新的矩形绿地面积 . 15 m 35 m 第 8 题图 50 参考答案与提示 和 6. * 12. 解： 依题意， （ 1-30% ）（ 1-m% ） 2 =1-43.3% ， 整理得 （ 1-m% ） 2 ＝0.81 ， m 1 =10 ， m 2 =190 （不合题意， 舍去） . ∴m=10. 13. x 1 =2 ， x 2 =-7 14. 解： （ 1 ） 利用公式法： x 2 +2x－1=0. ∴a=1 ， b=2 ， c=－1 ， Δ=2 2 －4×1× （ －1 ） =4+4=8. ∴x= -2± 8 姨 2 = -2±2 2 姨 2 =-1± 2 姨 . ∴x 1 =-1+ 2 姨 ， x 2 =-1- 2 姨 . （ 2 ） 利用因式分解法： x 2 －3x=0. ∴x （ x－3 ） =0. ∴x 1 =0 ， x 2 =3. （ 3 ） 利用配 方法： x 2 -4x=4. 两边都加上 4 ， 得 x 2 -4x+4=8. ∴ （ x－2 ） 2 =8. ∴x-2=±2 2 姨 . ∴x 1 =2+2 2 姨 ， x 2 =2-2 2 姨 . （ 4 ） 利用 因式分解法： x 2 －4=0. ∴ （ x+2 ）（ x－2 ） =0. ∴x 1 =－2 ， x 2 =2. * 5 一元二次方程的根与系数的关系 1. -1 2. - 3 5 -7 3. D 4. C 5. 3x 2 +x-10=0 6. 4 3 - 5 2 7. （ 1 ） -6 2 姨 （ 2 ） - 14 3 8. 解： 由根与系数的关系， 得 x 1 +x 2 =-k ， x 1 x 2 =4k 2 -3 ， 由题意， 知 4k 2 -3=-k. 解这个方程， 得 k 1 =-1 ， k 2 = 3 4 . ∵ 原方程有两个实数根， ∴Δ=k 2 -4 （ 4k 2 -3 ） =12-15k 2 . 当 k=-1 时， Δ=12-15k 2 =-3＜0 ； 当 k= 3 4 时， Δ=12-15k 2 = 57 16 ＞ 0 ， ∴k= 3 4 . 9. （ 1 ） 证明： ∵Δ= ［ - （ 2m+1 ）］ 2 -4 （ m 2 +m ） =4m 2 +4m+1-4m 2 -4m=1>0 ， ∴ 无论 m 取何值时， 方程都有两个不相等 的实数根 . （ 2 ） 解： ∵ 该方程的两个实数根为 a ， b ， ∴a+b=2m+1 ， ab=m 2 +m. ∵ （ 2a+b ）（ a+2b ） =2a 2 +4ab+ab+2b 2 = 2 （ a 2 +2ab+b 2 ） +ab=2 （ a+b ） 2 +ab ， ∴2 （ a+b ） 2 +ab=20 ， ∴2 （ 2m+1 ） 2 +m 2 +m=20. 整理得 m 2 +m-2=0 ， 解得 m 1 =-2 ， m 2 =1 ， ∴m 的值为 -2 或 1. 6 应用一元二次方程 （第 1 课时） 1. 解： 设主持人站在舞台前沿线段上的这点离端点较短的距离为 x m ， 根据题意 （ 20-x ）（ 20-x ） =20x. 解得 x 1 = 30+10 5 姨 （舍去）， x 2 =30-10 5 姨 . ∴x≈7.64. 答： 主持人应站在离舞台前沿左 （或右） 7.64 m 的位置. 2. 解： 设阔 （宽） 为 x 步， 则长为 （ 60-x ） 步， 则 x （ 60-x ） =864. x 1 =24 ， x 2 =36. 则阔 （宽） 为 24 步， 长为 36 步 . 3. 解： 设 P ， Q 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 x m ， 根据题意， 得 （ 60-3x ） × （ 40-2x ） =60×40× 1 4 . 解得 x 1 = 10 ， x 2 =30. 经检验， x 2 =30 不符合题意， 舍去 . ∴ 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 10 m. 4. 解： 设机器人在 （ x ， 0 ） 处与小球相遇， 由题意， 得 4 ２ + （ x-4 ） 2 = 1 2 （ 17-x x $ ） 2 ， 解得 x 1 =7 ， x 2 =- 23 3 （不合 题意， 舍去）， ∴ 机器人最快在点 （ 7 ， 0 ） 处截住小球 . 5. 解： 如图， 设侦察船需 t h 能侦察到军舰 . 在 Rt△AA′B′ 中， AB′ 2 +AA′ 2 =B′A′ 2 ， 即 （ 20t ） 2 + （ 90-30t ） 2 =50 2 . 整理得 13t 2 -54t+56=0. 解得 t 1 =2 ， t 2 = 28 13 ， 故能侦察到军舰， 且最早要经过 2 h. * 6. 解： （ 1 ） 在 Rt△ABC 中， AC= 2.5 2 -0.7 2 姨 =2.4. 设梯子的顶端沿墙垂直下滑 0.4 m 后 ， 梯子的位置为 A 1 B 1 ， 梯足外移 x m ， 则 A 1 C=2.4-0.4=2. 在 Rt△A 1 B 1 C 中 ， （ 0.7+x ） 2 +2 2 =2.5 2 . 化简方程， 得 x 2 +1.4x-1.76=0. 解得 x 1 =-2.2 （舍去）， x 2 =0.8. （ 2 ） y< x ， ∵ 5 2 姨 4 - - ' x 2 + 5 2 姨 4 + - ' y 2 =2.5 2 ， 则 x 2 +y 2 + 5 2 姨 2 （ y-x ） =0. ∵x>0 ， y>0 ， 则 x 2 +y 2 > 0 ， ∴y-x<0 ， 即 y<x. （ 3 ） 设 AA 1 =BB 1 =x ， 则 A 1 C=2.4-x ， B 1 C=0.7+x ， 则 2.5 2 = （ 2.4-x ） 2 + （ 0.7+x ） 2 ， 化简 ， 得 2x 2 - 3.4x=0. ∵x>0 ， ∴x=1.7. （ 4 ） 设 AA 1 =BB 1 =0.4 ， A 1 C=x ， BC=y ， 则 2.5 2 =y 2 + （ x+0.4 ） 2 ， 2.5 2 = （ y+0.4 ） 2 +x 2 . 则 x=y. 在 Rt△ABC 中， 2.5 2 =y 2 + （ y+0.4 ） 2 ， 即 2y 2 +0.8y-6.09=0 ， 则 y≈1.6. * 7. 解： （ 1 ） ② （ 2 ） 由图 ② 可知大正方形的面积为 （ x+x-4 ） 2 ， 其中它又等于四个矩形的面积加上中间小 正方形的面积， 即 4×12+4 2 . （ 3 ） x=6. 8. 解： （ 1 ） 设将绿地的长、 宽增加 x m ， 则新的矩形绿地的长为 （ 35+x ） m ， 宽为 （ 15+x ） m ， 根据题意， 得 （ 35+x ）（ 15+x ） =800. 整理方程， 得 x 2 +50x-275=0. 解得 x 1 =5 ， x 2 =-55 （不符合题意 ， 舍去 ） . ∴35+x=35+5= 40 ， 15+x=15+5=20. 答： 新的矩形绿地的长为 40 m 、 宽为 20 m. （ 2 ） 设将绿地的长、 宽增加 y m ， 则新的矩形绿 地的长为 （ 35+y ） m ， 宽为 （ 15+y ） m ， 根据题意， 得 3 （ 35+y ） =5 （ 15+y ） . 解得 y=15. ∴ （ 35+y ）（ 15+y ） = （ 35+15 ） × A A′ B′ B 东 北 第 5 题答图 219 九年级上册 （北师大版）数学 （ 15+15 ） =1 500. 答： 新的矩形绿地面积为 1 500 m 2 . 6 应用一元二次方程 （第 2 课时） 1. 3 000 （ 1+x ） 2 =5 000 2. 10% 3. A 4. B 5. 解： 设增加了 x 行， 则增加的列数为 x. 根据题意， 得 （ 6+x ）（ 8+x ） -6×8=51. 整理， 得 x 2 +14x-51=0. 解得 x 1 = 3 ， x 2 =-17 （舍去） . 答： 增加了 3 行 3 列 . 6. 解： （ 1 ） 设进馆人次的月平均增长率为 x ， 则由题意， 得 128+128 （ 1+x ） +128 （ 1+x ） 2 ＝608. 整理方程， 得 4x 2 +12x-7＝0. ∴ 解得 x 1 ＝0.5＝50% ， x 2 ＝-3.5 （舍去） . 答： 进馆人次的月平均增长率为 50%． （ 2 ） ∵ 进馆人次的月平均 增长率为 50% ， ∴ 第四个月的进馆人次为 128 （ 1+50% ） 3 ＝128× 27 8 ＝432＜500. 答： 校图书馆能接纳第四个月的进馆人次 ． 7. 解： 设新品种花生亩产量的增长率为 x ， 则 200 （ 1+x ）· 50% （ 1+0.5x ） =132. 解得 x 1 =0.2 ， x 2 =-3.2 （舍去） . ∴ 进 馆人次的月平均增长率为 20%. 8. 解： 设每千克售价降低 x 元， 超市每天可获得销售利润 3 640 元 . 由题意， 得 （ 38-x-22 ） 160+ x 3 ×12 2 " 0 ＝ 3 640. 整理， 得 x 2 -12x+27＝0. 解得 x 1 ＝3 ， x 2 ＝9. ∵ 要尽可能让顾客得到实惠， ∴x＝9. ∴ 售价为 38-9＝29 （元 / 千克） . 答： 水果的销售价为每千克 29 元时， 超市每天可获得销售利润 3 640 元 . 9. 解： （ 1 ） 设售价应定为 x 元， 则每件的利润为 （ x-40 ） 元， 日销售量为 20+ 10 （ 60-x ） 5 ＝ （ 140-2x ） 件 . 依题 意， 得 （ x-40 ）（ 140-2x ） ＝ （ 60-40 ） ×20. 整理， 得 x 2 -110x+3 000＝0. 解得 x 1 ＝50 ， x 2 ＝60 （舍去） . 答： 售价应定为 50 元 . （ 2 ） 该商品需要打 a 折销售， 由题意， 得 62.5 · a 10 ≤50. 解得 a≤8. 答： 该商品至少需打 8 折销售 . 10. 301 （ 1+ x ） 2 =500 11. C 12. 解： 设 2020 — 2022 年该校用于购买书籍的资金的年平均增长率为 x ， 根据题意， 得 5 000 （ 1+x ） 2 =7 200. 解 得 x 1 =0.2=20% ， x 2 =-2.2 （舍去） . 答： 2020 — 2022 年该校用于购买书籍的资金的年平均增长率为 20%. 13. 解： （ 1 ） 设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 x ， 根据题意， 得 1.6 （ 1+x ） 2 =2.5. 解得 x 1 =0.25= 25% ， x 2 =- 9 4 （不合题意， 舍去） . 答： 这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 25%. （ 2 ） 设 5 月后 10 天日均接待游客人数是 a 万人， 根据题意， 得 2.125+10a≤2.5× （ 1+25% ） . 解得 a≤0.1. 答： 5 月后 10 天日均接待 游客人数最多是 0.1 万人 . 14. 解： （ 1 ） 设购进 A 款钥匙扣 x 件， B 款钥匙扣 y 件， 依题意， 得 x+y=30 ， 30x+25y=850 0 ， 解得 x=20 ， y=10 0 . 答： 购进 A 款钥匙扣 20 件， B 款钥匙扣 10 件 . （ 2 ） 设购进 m 件 A 款钥匙扣， 则购进 （ 80-m ） 件 B 款钥匙扣， 依题意， 得 30m+25 （ 80-m ） ≤2 200. 解得 m≤40. 设再次购进的 A ， B 两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为 w 元， 则 w＝ （ 45-30 ） m+ （ 37-25 ）（ 80-m ） ＝3m+960. ∵3＞0 ， ∴w 随 m 的增大而增大 . ∴ 当 m＝40 时， w 取得最大值， 最大值 ＝3× 40+960＝1 080 ， 此时 80-m＝80-40＝40. 答： 购进 A ， B 款钥匙扣各 40 件时， 才能获得最大销售利润， 最大销售利 润是 1 080 元 . （ 3 ） 设 B 款钥匙扣的售价定为 a 元， 则每件的销售利润为 （ a-25 ） 元， 平均每天可售出 4+2 （ 37-a ） ＝ （ 78-2a ） 件， 依题意， 得 （ a-25 ）（ 78-2a ） ＝90 ， 整理， 得 a 2 -64a+1 020＝0. 解得 a 1 ＝30 ， a 2 ＝34. 答： 将销售价定为 每件 30 元或 34 元时， 才能使 B 款钥匙扣平均每天销售利润为 90 元 . 第三章 概率的进一步认识 1 用树状图或表格求概率 （第 1 课时） 1. 解： （ 1 ） 用表格列出所有可能出现的结果如下： 由表格知， 总共有 6 种可能的结果， 每种结果出现的可能性相同， 而正好是蓝色上衣和蓝色长裤的结果有 1 种： （蓝色， 蓝色）， ∴ 正好是蓝色上衣和蓝色长裤的概率为 1 6 . （ 2 ） 由表格可知， 蓝白颜色搭配的结果有 2 种： （白色， 蓝色）、 （蓝色， 白色）， ∴ 一套衣服是蓝、 白两色的概率为 2 6 = 1 3 . 白色 黑色 蓝色 白色 （白色， 白色） （白色， 黑色） （白色， 蓝色） 蓝色 （蓝色， 白色） （蓝色， 黑色） （蓝色， 蓝色） 长裤 上衣 220