5 一元二次方程的根与系数的关系-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

一元二次方程 第二章 自主导学 典例精析 例题 已知关于 x 的方程 x 2 -6x+k=0 的两根分别是 x 1 ， x 2 ， 且满足 1 x 1 + 1 x 2 =3 ， 求 k 的值 ． 【分析】 找出一元二次方程的系数 a ， b 及 c 的值， 利用根与系数的关系求出两根之和与 两根之积， 然后利用完全平方公式变形后， 将求出的两根之和与两根之积代入， 即可求出所 求式子的值 ． 【解答】 ∵x 2 -6x+k=0 的两个解分别为 x 1 ， x 2 ， ∴ x 1 +x 2 =6 ， x 1 x 2 =k. ∴ 1 x 1 + 1 x 2 = x 1 +x 2 x 1 x 2 = 6 k =3. 解得 k=2． 【点拨】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系， 对所求的代数式进行正确的变形是 解题的关键 ． 基础巩固 达标闯关 1. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 －4x－m=0 的两实数根为 2+ 3 姨 和 2- 3 姨 ， 则 m 的值为 ． 2. 已知关于 x 的一元二次方程 5x 2 +kx－6=0 的一个根是 2 ， 则它的另一个根为 ， k 的值为 . 3. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 －bx＋c=0 的两根分别为 x 1 =1 ， x 2 =－2 ， 则 b 与 c 的值分别 为 （ ） A． b=－1 ， c=2 B． b=1 ， c=－2 C． b=1 ， c=2 D． b=－1 ， c=－2 4. 已知 x 1 和 x 2 是方程 x 2 －x－1=0 的两个根， 则 x 2 1 +x 2 2 的值是 （ ） A． 3 姨 B． －3 C． 3 D． －1 能力提升 综合拓展 5. 若一个一元二次方程的两个根为 －2 和 5 3 ， 则这个一元二次方程为 （写出方 程的一般形式） . 6． 设 x 1 ， x 2 是方程 2x 2 +4x=3 的两个根， 则 1 x 1 + 1 x 2 = ， （ x 1 ＋1 ）（ x 2 ＋1 ） = . * 5 一元二次方程的根与系数的关系 45 九年级上册 （北师大版）数学 7. 设 x 1 ， x 2 是方程 x 2 -2 2 姨 x-3=0 的两个根， 利用根与系数的关系求下列各式的值 . （ 1 ） x 2 1 x 2 +x 1 x 2 2 ； （ 2 ） x 2 x 1 + x 1 x 2 . 8. 若关于 x 的一元二次方程 x 2 +kx+4k 2 －3=0 的两个实数根分别是 x 1 ， x 2 ， 且满足 x 1 +x 2 =x 1 · x 2 ， 求 k 的值 . 9. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 - （ 2m+1 ） x+m 2 +m=0. （ 1 ） 求证： 无论 m 取何值时， 方程都有两个不相等的实数根 . （ 2 ） 设该方程的两个实数根为 a ， b ， 若 （ 2a+b ）（ a+2b ） =20 ， 求 m 的值 . 46 参考答案与提示 和 6. * 12. 解： 依题意， （ 1-30% ）（ 1-m% ） 2 =1-43.3% ， 整理得 （ 1-m% ） 2 ＝0.81 ， m 1 =10 ， m 2 =190 （不合题意， 舍去） . ∴m=10. 13. x 1 =2 ， x 2 =-7 14. 解： （ 1 ） 利用公式法： x 2 +2x－1=0. ∴a=1 ， b=2 ， c=－1 ， Δ=2 2 －4×1× （ －1 ） =4+4=8. ∴x= -2± 8 姨 2 = -2±2 2 姨 2 =-1± 2 姨 . ∴x 1 =-1+ 2 姨 ， x 2 =-1- 2 姨 . （ 2 ） 利用因式分解法： x 2 －3x=0. ∴x （ x－3 ） =0. ∴x 1 =0 ， x 2 =3. （ 3 ） 利用配 方法： x 2 -4x=4. 两边都加上 4 ， 得 x 2 -4x+4=8. ∴ （ x－2 ） 2 =8. ∴x-2=±2 2 姨 . ∴x 1 =2+2 2 姨 ， x 2 =2-2 2 姨 . （ 4 ） 利用 因式分解法： x 2 －4=0. ∴ （ x+2 ）（ x－2 ） =0. ∴x 1 =－2 ， x 2 =2. * 5 一元二次方程的根与系数的关系 1. -1 2. - 3 5 -7 3. D 4. C 5. 3x 2 +x-10=0 6. 4 3 - 5 2 7. （ 1 ） -6 2 姨 （ 2 ） - 14 3 8. 解： 由根与系数的关系， 得 x 1 +x 2 =-k ， x 1 x 2 =4k 2 -3 ， 由题意， 知 4k 2 -3=-k. 解这个方程， 得 k 1 =-1 ， k 2 = 3 4 . ∵ 原方程有两个实数根， ∴Δ=k 2 -4 （ 4k 2 -3 ） =12-15k 2 . 当 k=-1 时， Δ=12-15k 2 =-3＜0 ； 当 k= 3 4 时， Δ=12-15k 2 = 57 16 ＞ 0 ， ∴k= 3 4 . 9. （ 1 ） 证明： ∵Δ= ［ - （ 2m+1 ）］ 2 -4 （ m 2 +m ） =4m 2 +4m+1-4m 2 -4m=1>0 ， ∴ 无论 m 取何值时， 方程都有两个不相等 的实数根 . （ 2 ） 解： ∵ 该方程的两个实数根为 a ， b ， ∴a+b=2m+1 ， ab=m 2 +m. ∵ （ 2a+b ）（ a+2b ） =2a 2 +4ab+ab+2b 2 = 2 （ a 2 +2ab+b 2 ） +ab=2 （ a+b ） 2 +ab ， ∴2 （ a+b ） 2 +ab=20 ， ∴2 （ 2m+1 ） 2 +m 2 +m=20. 整理得 m 2 +m-2=0 ， 解得 m 1 =-2 ， m 2 =1 ， ∴m 的值为 -2 或 1. 6 应用一元二次方程 （第 1 课时） 1. 解： 设主持人站在舞台前沿线段上的这点离端点较短的距离为 x m ， 根据题意 （ 20-x ）（ 20-x ） =20x. 解得 x 1 = 30+10 5 姨 （舍去）， x 2 =30-10 5 姨 . ∴x≈7.64. 答： 主持人应站在离舞台前沿左 （或右） 7.64 m 的位置. 2. 解： 设阔 （宽） 为 x 步， 则长为 （ 60-x ） 步， 则 x （ 60-x ） =864. x 1 =24 ， x 2 =36. 则阔 （宽） 为 24 步， 长为 36 步 . 3. 解： 设 P ， Q 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 x m ， 根据题意， 得 （ 60-3x ） × （ 40-2x ） =60×40× 1 4 . 解得 x 1 = 10 ， x 2 =30. 经检验， x 2 =30 不符合题意， 舍去 . ∴ 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 10 m. 4. 解： 设机器人在 （ x ， 0 ） 处与小球相遇， 由题意， 得 4 ２ + （ x-4 ） 2 = 1 2 （ 17-x x $ ） 2 ， 解得 x 1 =7 ， x 2 =- 23 3 （不合 题意， 舍去）， ∴ 机器人最快在点 （ 7 ， 0 ） 处截住小球 . 5. 解： 如图， 设侦察船需 t h 能侦察到军舰 . 在 Rt△AA′B′ 中， AB′ 2 +AA′ 2 =B′A′ 2 ， 即 （ 20t ） 2 + （ 90-30t ） 2 =50 2 . 整理得 13t 2 -54t+56=0. 解得 t 1 =2 ， t 2 = 28 13 ， 故能侦察到军舰， 且最早要经过 2 h. * 6. 解： （ 1 ） 在 Rt△ABC 中， AC= 2.5 2 -0.7 2 姨 =2.4. 设梯子的顶端沿墙垂直下滑 0.4 m 后 ， 梯子的位置为 A 1 B 1 ， 梯足外移 x m ， 则 A 1 C=2.4-0.4=2. 在 Rt△A 1 B 1 C 中 ， （ 0.7+x ） 2 +2 2 =2.5 2 . 化简方程， 得 x 2 +1.4x-1.76=0. 解得 x 1 =-2.2 （舍去）， x 2 =0.8. （ 2 ） y< x ， ∵ 5 2 姨 4 - - ' x 2 + 5 2 姨 4 + - ' y 2 =2.5 2 ， 则 x 2 +y 2 + 5 2 姨 2 （ y-x ） =0. ∵x>0 ， y>0 ， 则 x 2 +y 2 > 0 ， ∴y-x<0 ， 即 y<x. （ 3 ） 设 AA 1 =BB 1 =x ， 则 A 1 C=2.4-x ， B 1 C=0.7+x ， 则 2.5 2 = （ 2.4-x ） 2 + （ 0.7+x ） 2 ， 化简 ， 得 2x 2 - 3.4x=0. ∵x>0 ， ∴x=1.7. （ 4 ） 设 AA 1 =BB 1 =0.4 ， A 1 C=x ， BC=y ， 则 2.5 2 =y 2 + （ x+0.4 ） 2 ， 2.5 2 = （ y+0.4 ） 2 +x 2 . 则 x=y. 在 Rt△ABC 中， 2.5 2 =y 2 + （ y+0.4 ） 2 ， 即 2y 2 +0.8y-6.09=0 ， 则 y≈1.6. * 7. 解： （ 1 ） ② （ 2 ） 由图 ② 可知大正方形的面积为 （ x+x-4 ） 2 ， 其中它又等于四个矩形的面积加上中间小 正方形的面积， 即 4×12+4 2 . （ 3 ） x=6. 8. 解： （ 1 ） 设将绿地的长、 宽增加 x m ， 则新的矩形绿地的长为 （ 35+x ） m ， 宽为 （ 15+x ） m ， 根据题意， 得 （ 35+x ）（ 15+x ） =800. 整理方程， 得 x 2 +50x-275=0. 解得 x 1 =5 ， x 2 =-55 （不符合题意 ， 舍去 ） . ∴35+x=35+5= 40 ， 15+x=15+5=20. 答： 新的矩形绿地的长为 40 m 、 宽为 20 m. （ 2 ） 设将绿地的长、 宽增加 y m ， 则新的矩形绿 地的长为 （ 35+y ） m ， 宽为 （ 15+y ） m ， 根据题意， 得 3 （ 35+y ） =5 （ 15+y ） . 解得 y=15. ∴ （ 35+y ）（ 15+y ） = （ 35+15 ） × A A′ B′ B 东 北 第 5 题答图 219