4 用因式分解法求解一元二次方程-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

九年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 解一元二次方程： 3 （ x-5）2=2（x-5）． 【分析】 方程移项变形后， 利用因式分解法求出解即可 ． 【解答】 方程变形， 得 3 （ x-5 ） 2 -2 （ x-5 ） =0. 分解因式， 得（ x-5 ）［ 3 （ x-5 ） -2 ］ =0 ， 即 x-5=0 或 3x-17=0. 解得 x 1 =5 ， x 2 = 17 3 ． 【点拨】 此题考查用因式分解法解一元二次方程， 熟练掌握因式分解是解本题的关键 ． 基础巩固 达标闯关 1. 方程 （ 5x＋3 ）（ x－7 ） =0 的解是 . 2. 方程 3 （ 2x－1 ） －x （ 2x－1 ） =0 的解是 . 3. 方程（ x+3 ） 2 －16=0 的解是 . 4. 若 x 2 +2x 的值等于零， 则 x 的值为 （ ） A. 0 B. －2 C. 0 或 －2 D. 0 或 2 5. 已知 x 2 －6xy＋9y 2 =0 ， 则 x y 的值为 （ ） A. 3 B. －3 C. 1 3 D. － 1 3 6. 方程（ x 2 －4 ） ＋3 （ x+2 ） =0 的解是 （ ） A. x=2 B. x=－2 C. x 1 =－2 ， x 2 =1 D. x 1 =－2 ， x 2 =-1 7. 用因式分解法解下列方程 . （ 1 ） 4 （ x－2 ） 2 －25=0 ； （ 2 ） 16x 2 －24x+9=0 ； （ 3 ） （ 2x+3 ） 2 －16x （ 2x+3 ） =0 ； （ 4 ） 4 （ x+3 ） 2 =25 （ x－2 ） 2 ； （ 5 ） （ x＋1 ） 2 －28=0 ； （ 6 ） 3x 2 －27=2 （ x－3 ） 2 . 4 用因式分解法求解一元二次方程 42 一元二次方程 第二章 能力提升 综合拓展 8. 由多项式乘法： （ x+a ）（ x+b ） =x 2 + （ a+b ） x+ab ， 将该式从右到左使用， 即可得到 “十字 相乘法” 进行因式分解的公式： x 2 + （ a+b ） x+ab= （ x+a ）（ x+b ） . 示例： 分解因式： x 2 +5x+6=x 2 + （ 2+3 ） x+2×3= （ x+2 ）（ x+3 ） . （ 1 ） 尝试： 分解因式： x 2 +6x+8= （ x+ ）（ x+ ） . （ 2 ） 应用： 请用上述方法解方程： x 2 -3x-4=0． 9. 现有两个正方形， 小正方形的边长比大正方形的边长的一半多 4 cm ， 大正方形的面 积比小正方形的面积的 2 倍少 32 cm 2 ， 求大小两个正方形的边长 . 10. 由于甲型 H1N1 流感的影响， 在一个月内鸡肉价格两次大幅下降， 由原来每斤 16 元 下调到每斤 9 元， 求平均每次下调的百分率 . 43 九年级上册 （北师大版）数学 11. 两个相邻的自然数的平方和比这两个数之中较小者的 2 倍大 51 ， 求这两个数 . * 12. 某县位于沙漠边缘地带， 治理沙漠、 绿化家乡是全县人民的共同愿望 . 到 2021 年 底， 全县沙漠的绿化率已达 30％. 此后政府每年都将当年年初未被绿化的沙漠面积的 m% 栽 上树进行绿化， 因此 2023 年底， 全县沙漠的绿化率已达 43.3％. 求 m 的值 . 中考链接 真题演练 13. （ 2022 ·梧州） 一元二次方程 （ x-2 ）（ x+7 ） =0 的根是 . 14. （ 2022 ·贵阳） 在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法， 它们分别是配 方法、 公式法和因式分解法， 请你选择恰当的方法解下列方程 . （ 1 ） x 2 +2x－1=0 ； （ 2 ） x 2 －3x=0 ； （ 3 ） x 2 －4x=4 ； （ 4 ） x 2 －4=0. 44 九年级上册 （北师大版）数学 去） . （ 3 ） 白瓷砖块数是 n （ n+1 ） ＝20×21＝420 ， 黑瓷砖块数是 506-420＝86 ， 共需 86×4+420×3＝1 604 （元 ） . （ 4 ） n （ n+1 ） ＝ （ n+3 ）（ n+2 ） -n （ n+1 ） . 化简， 得 n 2 -3n-6＝0. 解得 n 1 ＝ 3+ 33 姨 2 ， n 2 = 3- 33 姨 2 <0 （舍去） . ∵n 不为正 整数， ∴ 不存在黑、 白瓷砖数量相等的情形 . 9． k<9 10. 8 或 9 提示： 当 4 为腰长时， 将 x＝4 代入 x 2 -6x+n＝0 ， 得 n＝8. 当 n＝8 时， 原方程为 x 2 -6x+8＝0. 解得 x 1 ＝2 ， x 2 ＝4. ∵2+4＞4 ， ∴n＝8 符合题意； 当 4 为底边长时， 关于 x 的方程 x 2 -6x+n＝0 有两个相等的实数根， ∴Δ＝ （ -6 ） 2 -4×1× n＝0. 解得 n＝9. 当 n＝9 时， 原方程为 x 2 -6x+9＝0. 解得 x 1 ＝x 2 ＝3. ∵3+3＝6＞4 ， ∴n＝9 符合题意 . ∴n 的值为 8 或 9. 11. C 12． C 13． A 14. D 3 用公式法求解一元二次方程 （第 2 课时） 1. 解： 设矩形温室的宽为 x m ， 则长为 2x m. 根据题意， 得 （ x-2 ）·（ 2x-4 ） ＝288. 解这个方程， 得 x 1 ＝-10 （不 合题意， 舍去）， x 2 ＝14. ∴x＝14 ， 2x＝2×14＝28. 2. 解： 设这种长方体箱子底部宽为 x m ， 则长为 （ x+2 ） m. 依题意， 有 x （ x+2 ） ×1=15. 整理得 x 2 +2x-15=0. 解 得 x 1 =3 ， x 2 =-5 （舍去）， ∴ 这种长方体箱子底部长为 5 m ， 宽为 3 m. 由长方体展开图可知， 所购买矩形铁皮的面 积为（ 5+2 ） × （ 3+2 ） =35 （ m 2 ）， ∴ 购回这张矩形铁皮共花 35×20=700 （元） . 3. 解： 设剪去的正方形的边长为 x cm ， 则底面矩形的长为 （ 10-2x ） cm ， 宽为 1 2 （ 12-2x ） = （ 6-x ） cm ， 依题 意， 得 （ 10-2x ）（ 6-x ） ＝24. 整理， x 2 -11x+18=0. 解得 x 1 ＝2 ， x 2 ＝9． 当 x＝9 时， 6-x＝-3 ， 不合题意， x=9 ， 舍去 ． 答： 剪去的正方形的边长为 2 cm． 4. 解： （ 1 ） 方案如图： 方案 ① 具有一般性， 其他四种方案具有特殊性， 从美学的角度方案 ③ 最出色， 方案 ③④⑤ 都具有对称性 . （ 2 ） 方案 ① 可列出方程 32×20- （ 32x+20x-x 2 ） =540 ； 方案 ② 可列出方程 （ 32-x ）（ 20-x ） =540 ； 方案 ③ 可列出方程 4 32-x 2 2 # 20-x 2 2 2 =540 ； 方案 ④ 可列出方程 2 （ 20-x ） 32-x 2 2 2 =540 ； 方案 ⑤ 可列出方程 2 （ 32-x ）· 20-x 2 2 2 =540 ， x 的值都等于 2 m. 5. A 6. 解： （ 1 ） 设矩形 ABCD 的边 AB 的长为 x m ， 则边 BC=70-2x+2= （ 72-2x ） m. 根据题意， 得 x （ 72-2x ） =640. 整理方程， 得 x 2 -36x+320=0. 解得 x 1 =16 ， x 2 =20. 当 x=16 时， 72-2x=72-32=40 （ m ）， 当 x=20 时， 72-2x=72- 40=32 （ m ） . 答： 当羊圈的长为 40 m 、 宽为 16 m 或长为 32 m 、 宽为 20 m 时， 能围成一个面积为 640 m 2 的羊圈 . （ 2 ） 答： 不能 . 理由： 由题意， 得 x （ 72-2x ） =650. 整理方程， 得 x 2 -36x+325=0. ∵Δ= （ -36 ） 2 -4×325=-4＜0 ， ∴ 一 元二次方程没有实数根 . ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m 2 . 4 用因式分解法求解一元二次方程 1. x 1 =- 3 5 ， x 2 =7 2. x 1 = 1 2 ， x 2 =3 3. x 1 =1 ， x 2 =-7 4. C 5. A 6. D 7. （ 1 ） x 1 =- 1 2 ， x 2 = 9 2 （ 2 ） x 1 =x 2 = 3 4 （ 3 ） x 1 =- 3 2 ， x 2 = 3 14 （ 4 ） x 1 = 16 3 ， x 2 = 4 7 （ 5 ） x 1 =-1-2 7 姨 ， x 2 =-1+2 7 姨 （ 6 ） x 1 =3 ， x 2 =-15 8． 解： （ 1 ） 2 4 （ 2 ） ∵x 2 -3x-4=0 ， x 2 + （ -4+1 ） x+ （ -4 ） ×1=0 ， ∴ （ x-4 ）（ x+1 ） =0. 则 x+1=0 或 x-4=0. 解得 x 1 =-1 ， x 2 =4． 9. 解： 设大正方形的边长为 x cm ， 则小正方形的边长为 1 2 x+ 2 2 4 cm ， 则 2 1 2 x+ 2 2 4 2 -32=x 2 ， 整理得 x 2 -16x= 0 ， 解得 x 1 =16 ， x 2 =0 （舍去）， 1 2 ×16+4=12 （ cm ） . 10. 解： 设平均每次下调的百分率为 x ， 则 16 （ 1-x ） 2 =9 ， ［ 4 （ 1-x ） +3 ］ ［ 4 （ 1-x ） -3 ］ =0. x 1 =0.25 ， x 2 =1.75 （舍去） . 即平均每次下调的百分率为 25%. 11. 解： 设较小的数为 x ， 则 x 2 + （ x+1 ） 2 -2x=51. 整理得 x 2 -25=0. 解得 x 1 =5 ， x 2 =-5 （不合题意， 舍去） . 这两个数是 5 第 4 题答图 ① ② ③ ④ ⑤ 218 参考答案与提示 和 6. * 12. 解： 依题意， （ 1-30% ）（ 1-m% ） 2 =1-43.3% ， 整理得 （ 1-m% ） 2 ＝0.81 ， m 1 =10 ， m 2 =190 （不合题意， 舍去） . ∴m=10. 13. x 1 =2 ， x 2 =-7 14. 解： （ 1 ） 利用公式法： x 2 +2x－1=0. ∴a=1 ， b=2 ， c=－1 ， Δ=2 2 －4×1× （ －1 ） =4+4=8. ∴x= -2± 8 姨 2 = -2±2 2 姨 2 =-1± 2 姨 . ∴x 1 =-1+ 2 姨 ， x 2 =-1- 2 姨 . （ 2 ） 利用因式分解法： x 2 －3x=0. ∴x （ x－3 ） =0. ∴x 1 =0 ， x 2 =3. （ 3 ） 利用配 方法： x 2 -4x=4. 两边都加上 4 ， 得 x 2 -4x+4=8. ∴ （ x－2 ） 2 =8. ∴x-2=±2 2 姨 . ∴x 1 =2+2 2 姨 ， x 2 =2-2 2 姨 . （ 4 ） 利用 因式分解法： x 2 －4=0. ∴ （ x+2 ）（ x－2 ） =0. ∴x 1 =－2 ， x 2 =2. * 5 一元二次方程的根与系数的关系 1. -1 2. - 3 5 -7 3. D 4. C 5. 3x 2 +x-10=0 6. 4 3 - 5 2 7. （ 1 ） -6 2 姨 （ 2 ） - 14 3 8. 解： 由根与系数的关系， 得 x 1 +x 2 =-k ， x 1 x 2 =4k 2 -3 ， 由题意， 知 4k 2 -3=-k. 解这个方程， 得 k 1 =-1 ， k 2 = 3 4 . ∵ 原方程有两个实数根， ∴Δ=k 2 -4 （ 4k 2 -3 ） =12-15k 2 . 当 k=-1 时， Δ=12-15k 2 =-3＜0 ； 当 k= 3 4 时， Δ=12-15k 2 = 57 16 ＞ 0 ， ∴k= 3 4 . 9. （ 1 ） 证明： ∵Δ= ［ - （ 2m+1 ）］ 2 -4 （ m 2 +m ） =4m 2 +4m+1-4m 2 -4m=1>0 ， ∴ 无论 m 取何值时， 方程都有两个不相等 的实数根 . （ 2 ） 解： ∵ 该方程的两个实数根为 a ， b ， ∴a+b=2m+1 ， ab=m 2 +m. ∵ （ 2a+b ）（ a+2b ） =2a 2 +4ab+ab+2b 2 = 2 （ a 2 +2ab+b 2 ） +ab=2 （ a+b ） 2 +ab ， ∴2 （ a+b ） 2 +ab=20 ， ∴2 （ 2m+1 ） 2 +m 2 +m=20. 整理得 m 2 +m-2=0 ， 解得 m 1 =-2 ， m 2 =1 ， ∴m 的值为 -2 或 1. 6 应用一元二次方程 （第 1 课时） 1. 解： 设主持人站在舞台前沿线段上的这点离端点较短的距离为 x m ， 根据题意 （ 20-x ）（ 20-x ） =20x. 解得 x 1 = 30+10 5 姨 （舍去）， x 2 =30-10 5 姨 . ∴x≈7.64. 答： 主持人应站在离舞台前沿左 （或右） 7.64 m 的位置. 2. 解： 设阔 （宽） 为 x 步， 则长为 （ 60-x ） 步， 则 x （ 60-x ） =864. x 1 =24 ， x 2 =36. 则阔 （宽） 为 24 步， 长为 36 步 . 3. 解： 设 P ， Q 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 x m ， 根据题意， 得 （ 60-3x ） × （ 40-2x ） =60×40× 1 4 . 解得 x 1 = 10 ， x 2 =30. 经检验， x 2 =30 不符合题意， 舍去 . ∴ 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 10 m. 4. 解： 设机器人在 （ x ， 0 ） 处与小球相遇， 由题意， 得 4 ２ + （ x-4 ） 2 = 1 2 （ 17-x x $ ） 2 ， 解得 x 1 =7 ， x 2 =- 23 3 （不合 题意， 舍去）， ∴ 机器人最快在点 （ 7 ， 0 ） 处截住小球 . 5. 解： 如图， 设侦察船需 t h 能侦察到军舰 . 在 Rt△AA′B′ 中， AB′ 2 +AA′ 2 =B′A′ 2 ， 即 （ 20t ） 2 + （ 90-30t ） 2 =50 2 . 整理得 13t 2 -54t+56=0. 解得 t 1 =2 ， t 2 = 28 13 ， 故能侦察到军舰， 且最早要经过 2 h. * 6. 解： （ 1 ） 在 Rt△ABC 中， AC= 2.5 2 -0.7 2 姨 =2.4. 设梯子的顶端沿墙垂直下滑 0.4 m 后 ， 梯子的位置为 A 1 B 1 ， 梯足外移 x m ， 则 A 1 C=2.4-0.4=2. 在 Rt△A 1 B 1 C 中 ， （ 0.7+x ） 2 +2 2 =2.5 2 . 化简方程， 得 x 2 +1.4x-1.76=0. 解得 x 1 =-2.2 （舍去）， x 2 =0.8. （ 2 ） y< x ， ∵ 5 2 姨 4 - - ' x 2 + 5 2 姨 4 + - ' y 2 =2.5 2 ， 则 x 2 +y 2 + 5 2 姨 2 （ y-x ） =0. ∵x>0 ， y>0 ， 则 x 2 +y 2 > 0 ， ∴y-x<0 ， 即 y<x. （ 3 ） 设 AA 1 =BB 1 =x ， 则 A 1 C=2.4-x ， B 1 C=0.7+x ， 则 2.5 2 = （ 2.4-x ） 2 + （ 0.7+x ） 2 ， 化简 ， 得 2x 2 - 3.4x=0. ∵x>0 ， ∴x=1.7. （ 4 ） 设 AA 1 =BB 1 =0.4 ， A 1 C=x ， BC=y ， 则 2.5 2 =y 2 + （ x+0.4 ） 2 ， 2.5 2 = （ y+0.4 ） 2 +x 2 . 则 x=y. 在 Rt△ABC 中， 2.5 2 =y 2 + （ y+0.4 ） 2 ， 即 2y 2 +0.8y-6.09=0 ， 则 y≈1.6. * 7. 解： （ 1 ） ② （ 2 ） 由图 ② 可知大正方形的面积为 （ x+x-4 ） 2 ， 其中它又等于四个矩形的面积加上中间小 正方形的面积， 即 4×12+4 2 . （ 3 ） x=6. 8. 解： （ 1 ） 设将绿地的长、 宽增加 x m ， 则新的矩形绿地的长为 （ 35+x ） m ， 宽为 （ 15+x ） m ， 根据题意， 得 （ 35+x ）（ 15+x ） =800. 整理方程， 得 x 2 +50x-275=0. 解得 x 1 =5 ， x 2 =-55 （不符合题意 ， 舍去 ） . ∴35+x=35+5= 40 ， 15+x=15+5=20. 答： 新的矩形绿地的长为 40 m 、 宽为 20 m. （ 2 ） 设将绿地的长、 宽增加 y m ， 则新的矩形绿 地的长为 （ 35+y ） m ， 宽为 （ 15+y ） m ， 根据题意， 得 3 （ 35+y ） =5 （ 15+y ） . 解得 y=15. ∴ （ 35+y ）（ 15+y ） = （ 35+15 ） × A A′ B′ B 东 北 第 5 题答图 219