3 用公式法求解一元二次方程(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

一元二次方程 第二章 自主导学 典例精析 例题 小李同学准备进行如下操作试验， 把一根长 40 cm 的铁丝剪成两段， 并把每段 首尾相连各围成一个正方形 ． （ 1 ） 要使这两个正方形的面积之和等于 58 cm 2 ， 小李应该怎么剪这根铁丝？ （ 2 ） 小李认为这两个正方形的面积之和不可能等于 48 cm 2 ， 你认为他的说法正确吗？ 请 说明理由 ． 【分析】 （ 1 ） 设较短的这段为 x cm ， 较长的一段为（ 40-x ） cm ， 根据两个正方形的面积 之和等于 58 cm 2 建立方程求解即可 . （ 2 ） 根据两个正方形的面积之和等于 48 cm 2 建立方程， 如果方程无解就说明小李的说法正确 ． 【解答】 （ 1 ） 设剪成的较短的这段为 x cm ， 则较长的一段为（ 40-x ） cm. 由题意， 得 x 4 4 " 2 + 40-x 4 4 " 2 =58. 整理方程， 得 x 2 －40x+336=0. 解得 x 1 =12 ， x 2 =28. 当 x=12 时， 较长的为 40-12=28 （ cm ）； 当 x=28 时， 较长的为 40-28=12＜28 （舍去） ． 答： 小李应该把铁丝剪成 12 cm 和 28 cm 的两段 . （ 2 ） 小李的说法正确 ． 理由如下： 设剪成的较短的这段为 m cm ， 较长的这段就为 （ 40- m ） cm ， 由题意， 得 m 4 4 " 2 + 40-m 4 4 " 2 =48. 整理方程， 得 m 2 -40m+416=0. ∵Δ= （ -40 ） 2 -4×416=-64＜0 ， ∴ 原方程无实数根 . ∴ 小李的说法正确 ． 【点拨】 本题考查列一元二次方程解决实际问题 . 解题的关键是找到等量关系建立方程和 运用根的判别式 ． 本例是图形等积变形问题， 这类问题通常利用体积、 面积、 周长、 直角三 角形三边关系建立等量关系 . 基础巩固 达标闯关 1. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室， 要求长与宽的比为 2 ∶ 1. 在温室内， 沿前侧 内墙保留 3 m 宽的空地， 其他三侧内墙各保留 1 m 宽的通道 . 当矩形温室的长与宽各为多少 时， 蔬菜种植区域的面积是 288 平方米？ 3 用公式法求解一元二次方程 （第 2课时） 前 侧 空 地 蔬菜种植区域 第 1 题图 39 九年级上册 （北师大版）数学 2. 如图， 张叔叔从市场上买回一块矩形铁皮， 他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长 为 1 m 的正方形后， 剩下的部分刚好能围成一个容积为 15 m 3 的无盖长方体箱子， 且此长方 体箱子的底面长比宽多 2 m ， 现已知购买这种铁皮每平方米需 20 元， 问张叔叔购回这张矩 形铁皮共花了多少元 . 能力提升 综合拓展 3． 如图是一张长 12 cm 、 宽 10 cm 的矩形铁皮， 将其剪去两个全等的正方形和两个全等 的矩形， 剩余部分 （阴影部分） 可制成底面积是 24 cm 2 的有盖的长方体铁盒 ． 求剪去的正方 形的边长 . 第 2 题图 1 m 1 m 底面 12 cm 10 cm 第 3 题图 40 一元二次方程 第二章 4. 育光中学为美化校园， 准备在东西长 32 m 、 南北宽 20 m 的长方形土地上， 修筑分别 为东西与南北方向两条宽度相等的长方形水泥道路， 余下部分作为花坛， 并且使花坛的总面 积为 540 m 2 . （ 1 ） 请为学校设计出尽可能多的方案， 并对各方案的优劣进行说明 （画出草图） . （ 2 ） 如果设道路的宽为 x m ， 列出各种方案中关于 x 的方程， 并求出 x 的值 . 中考链接 真题演练 5. （ 2023 ·黑龙江） 如图， 在长为 100 m 、 宽为 50 m 的矩形空地上 修筑四条宽度相等的小路， 若余下的部分全部种上花卉， 且花圃的面 积是 3 600 m 2 ， 则小路的宽是 （ ） A. 5 m B. 70 m C. 5 m 或 70 m D. 10 m 6. （ 2023 ·东营） 如图， 老李想用长为 70 m 的栅栏， 再借助房屋的外墙 （外墙足够长） 围成一个矩形羊圈 ABCD ， 并在边 BC 上留一个 2 m 宽的门 （建在 EF 处， 另用其他材料） . （ 1 ） 当羊圈的长和宽分别为多少米时， 能围成一个面积为 640 m 2 的羊圈？ （ 2 ） 羊圈的面积能达到 650 m 2 吗？ 如果能， 请你给出设计方案； 如果不能， 请说明理由 . 第 6 题图 A D C FEB 第 5 题图 41 九年级上册 （北师大版）数学 去） . （ 3 ） 白瓷砖块数是 n （ n+1 ） ＝20×21＝420 ， 黑瓷砖块数是 506-420＝86 ， 共需 86×4+420×3＝1 604 （元 ） . （ 4 ） n （ n+1 ） ＝ （ n+3 ）（ n+2 ） -n （ n+1 ） . 化简， 得 n 2 -3n-6＝0. 解得 n 1 ＝ 3+ 33 姨 2 ， n 2 = 3- 33 姨 2 <0 （舍去） . ∵n 不为正 整数， ∴ 不存在黑、 白瓷砖数量相等的情形 . 9． k<9 10. 8 或 9 提示： 当 4 为腰长时， 将 x＝4 代入 x 2 -6x+n＝0 ， 得 n＝8. 当 n＝8 时， 原方程为 x 2 -6x+8＝0. 解得 x 1 ＝2 ， x 2 ＝4. ∵2+4＞4 ， ∴n＝8 符合题意； 当 4 为底边长时， 关于 x 的方程 x 2 -6x+n＝0 有两个相等的实数根， ∴Δ＝ （ -6 ） 2 -4×1× n＝0. 解得 n＝9. 当 n＝9 时， 原方程为 x 2 -6x+9＝0. 解得 x 1 ＝x 2 ＝3. ∵3+3＝6＞4 ， ∴n＝9 符合题意 . ∴n 的值为 8 或 9. 11. C 12． C 13． A 14. D 3 用公式法求解一元二次方程 （第 2 课时） 1. 解： 设矩形温室的宽为 x m ， 则长为 2x m. 根据题意， 得 （ x-2 ）·（ 2x-4 ） ＝288. 解这个方程， 得 x 1 ＝-10 （不 合题意， 舍去）， x 2 ＝14. ∴x＝14 ， 2x＝2×14＝28. 2. 解： 设这种长方体箱子底部宽为 x m ， 则长为 （ x+2 ） m. 依题意， 有 x （ x+2 ） ×1=15. 整理得 x 2 +2x-15=0. 解 得 x 1 =3 ， x 2 =-5 （舍去）， ∴ 这种长方体箱子底部长为 5 m ， 宽为 3 m. 由长方体展开图可知， 所购买矩形铁皮的面 积为（ 5+2 ） × （ 3+2 ） =35 （ m 2 ）， ∴ 购回这张矩形铁皮共花 35×20=700 （元） . 3. 解： 设剪去的正方形的边长为 x cm ， 则底面矩形的长为 （ 10-2x ） cm ， 宽为 1 2 （ 12-2x ） = （ 6-x ） cm ， 依题 意， 得 （ 10-2x ）（ 6-x ） ＝24. 整理， x 2 -11x+18=0. 解得 x 1 ＝2 ， x 2 ＝9． 当 x＝9 时， 6-x＝-3 ， 不合题意， x=9 ， 舍去 ． 答： 剪去的正方形的边长为 2 cm． 4. 解： （ 1 ） 方案如图： 方案 ① 具有一般性， 其他四种方案具有特殊性， 从美学的角度方案 ③ 最出色， 方案 ③④⑤ 都具有对称性 . （ 2 ） 方案 ① 可列出方程 32×20- （ 32x+20x-x 2 ） =540 ； 方案 ② 可列出方程 （ 32-x ）（ 20-x ） =540 ； 方案 ③ 可列出方程 4 32-x 2 2 # 20-x 2 2 2 =540 ； 方案 ④ 可列出方程 2 （ 20-x ） 32-x 2 2 2 =540 ； 方案 ⑤ 可列出方程 2 （ 32-x ）· 20-x 2 2 2 =540 ， x 的值都等于 2 m. 5. A 6. 解： （ 1 ） 设矩形 ABCD 的边 AB 的长为 x m ， 则边 BC=70-2x+2= （ 72-2x ） m. 根据题意， 得 x （ 72-2x ） =640. 整理方程， 得 x 2 -36x+320=0. 解得 x 1 =16 ， x 2 =20. 当 x=16 时， 72-2x=72-32=40 （ m ）， 当 x=20 时， 72-2x=72- 40=32 （ m ） . 答： 当羊圈的长为 40 m 、 宽为 16 m 或长为 32 m 、 宽为 20 m 时， 能围成一个面积为 640 m 2 的羊圈 . （ 2 ） 答： 不能 . 理由： 由题意， 得 x （ 72-2x ） =650. 整理方程， 得 x 2 -36x+325=0. ∵Δ= （ -36 ） 2 -4×325=-4＜0 ， ∴ 一 元二次方程没有实数根 . ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m 2 . 4 用因式分解法求解一元二次方程 1. x 1 =- 3 5 ， x 2 =7 2. x 1 = 1 2 ， x 2 =3 3. x 1 =1 ， x 2 =-7 4. C 5. A 6. D 7. （ 1 ） x 1 =- 1 2 ， x 2 = 9 2 （ 2 ） x 1 =x 2 = 3 4 （ 3 ） x 1 =- 3 2 ， x 2 = 3 14 （ 4 ） x 1 = 16 3 ， x 2 = 4 7 （ 5 ） x 1 =-1-2 7 姨 ， x 2 =-1+2 7 姨 （ 6 ） x 1 =3 ， x 2 =-15 8． 解： （ 1 ） 2 4 （ 2 ） ∵x 2 -3x-4=0 ， x 2 + （ -4+1 ） x+ （ -4 ） ×1=0 ， ∴ （ x-4 ）（ x+1 ） =0. 则 x+1=0 或 x-4=0. 解得 x 1 =-1 ， x 2 =4． 9. 解： 设大正方形的边长为 x cm ， 则小正方形的边长为 1 2 x+ 2 2 4 cm ， 则 2 1 2 x+ 2 2 4 2 -32=x 2 ， 整理得 x 2 -16x= 0 ， 解得 x 1 =16 ， x 2 =0 （舍去）， 1 2 ×16+4=12 （ cm ） . 10. 解： 设平均每次下调的百分率为 x ， 则 16 （ 1-x ） 2 =9 ， ［ 4 （ 1-x ） +3 ］ ［ 4 （ 1-x ） -3 ］ =0. x 1 =0.25 ， x 2 =1.75 （舍去） . 即平均每次下调的百分率为 25%. 11. 解： 设较小的数为 x ， 则 x 2 + （ x+1 ） 2 -2x=51. 整理得 x 2 -25=0. 解得 x 1 =5 ， x 2 =-5 （不合题意， 舍去） . 这两个数是 5 第 4 题答图 ① ② ③ ④ ⑤ 218