3 用公式法求解一元二次方程(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

九年级上册 （北师大版）数学 3 用公式法求解一元二次方程 （第 1课时） 自主导学 典例精析 例题 1 关于 x 的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0 有实数根， 求 m 的取值范围. 【分析】 根据方程的意义及根的判别式即可得到 m 的取值范围 ． 【解答】 ∵ 关于 x 的一元二次方程 （ m-2 ） x 2 +2x+1=0 有实数根， ∴m-2≠0 且 2 2 -4× （ m-2 ） × 1≥0. 解得 m≤3. ∴m 的取值范围是 m≤3 且 m≠2． 【点拨】 本题考查了一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ） 根的判别式 Δ=b 2 -4ac. 当 Δ＞0 ， 方 程有两个不相等的实数根； 当 Δ=0 ， 方程有两个相等的实数根； 当 Δ＜0 ， 方程没有实数根 ． 根的判别式的优势是不用解方程， 就可以直接判断方程是否有实数根 . 例题 2 用公式法解方程：（x+2）（2x－5）=－9. 【分析】 先将方程化为一般式， 然后再利用求根公式解方程 . 【解答】 方程整理， 得 2x 2 －x－1=0. 这里 a=2 ， b=－1 ， c=－1 ， ∵b 2 －4ac= （ -1 ） 2 －4×2× （ －1 ） =9＞0 ， ∴x= - （ -1 ） ± 9 姨 2×2 = 1±3 4 ， 即 x 1 =1 ， x 2 =- 1 2 . 【点拨】 本题考查用公式法解一元二次方程 ． 用公式法解方程关键要把握两点： 一是要将 方程化为一般形式， 二是要牢记求根公式 . 基础巩固 达标闯关 1. 方程 3x 2 －4x+2=0 中， a= ， b= ， c= ， 其中 b 2 －4ac= . 2. 已知一元二次方程 mx 2 +nx+ （ n-m ） =0 （ m≠0 ）， 则判别式 Δ= ， 该 方程根的情况是 . 3. 不解方程， 判别下列方程根的情况 . （ 1 ） 2x 2 +4x+35=0 ； （ 2 ） 4y （ y－1 ） －7=0 ； （ 3 ） 0.2x 2 － 3 2 x=5 ； （ 4 ） 3t 2 =2 6 姨 t－2. 36 一元二次方程 第二章 4. 下面解方程 3x 2 －7x=2 的过程是否正确？ 如果错误， 请改正 . 解： ∵a=3 ， b=7 ， c=2 ， b 2 －4ac=7 2 －4×3×2=25 ， ∴x= -7± 25 姨 2×3 = -7±5 6 . ∴x 1 =－ 1 3 ， x 2 =－2. 5. 解下列方程 . （ 1 ） x 2 －4x－12=0 ； （ 2 ） 4y 2 -12y+9=0 ； （ 3 ） 2x 2 +x－6=0 ； （ 4 ） 6x 2 －13x－5=0 ； （ 5 ） x 2 －2 2 姨 x+2=0 ； （ 6 ） 3x 2 －4x－21=0. 能力提升 综合拓展 6. 已知两个数的差等于 6 ， 积等于 16 ， 求这两个数 . 7. 从社会效益和经济效益出发， 某地计划三年内投入 1 900 万元资金进行生态建设， 以 此来带动本地旅游业的发展 . 本年度当地旅游业收入估计为 400 万元， 如果在今后的三年内 （本年度为第一年） 每年旅游业的收入比上年增长相同的百分数， 则这三年内旅游业的总收 入恰好等于投资总额， 求这个百分数 . 37 九年级上册 （北师大版）数学 8. 如图， 用同样规格黑、 白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面， 请观察下列图形并解答有 关问题： （ 1 ） 在第 n 个图形中， 每一横行共有 块瓷砖， 每一竖列共有 块瓷砖 . （均用含有 n 的代数式表示） （ 2 ） 按上述铺设方案， 铺一块这样的矩形地面共用了 506 块瓷砖， 求此时 n 的值 . （ 3 ） 如果黑瓷砖每块 4 元， 白瓷砖每块 3 元， 在问题 （ 2 ） 中， 共需花多少元钱购买 瓷砖？ （ 4 ） 是否存在黑瓷砖与白瓷砖数量相等的情形？ 请通过计算说明 . 中考链接 真题演练 9． （ 2023 ·抚顺） 若关于 x 的一元二次方程 x 2 -6x+k=0 有两个不相等的实数根， 则 k 的取 值范围是 . 10. （ 2021 ·枣庄） 若等腰三角形的一边长是 4 ， 另两边的长是关于 x 的方程 x 2 -6x+n=0 的 两个根， 则 n 的值为 . 11. （ 2022 ·本溪） 下列一元二次方程无实数根的是 （ ） A. x 2 +x-2＝0 B. x 2 -2x＝0 C. x 2 +x+5＝0 D. x 2 -2x+1＝0 12. （ 2023 ·北京） 若关于 x 的一元二次方程 x 2 -3x+m=0 有两个相等的实数根， 则实数 m 的值为 （ ） A. -9 B. - 9 4 C. 9 4 D. 9 13. （ 2023 ·河南） 关于 x 的一元二次方程 x 2 +mx-8=0 的根的情况是 （ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 14. （ 2023 ·锦州） 若关于 x 的一元二次方程 kx 2 -2x+3=0 有两个实数根， 则 k 的取值范围 是 （ ） A. k＜ 1 3 B. k≤ 1 3 C. k＜ 1 3 且 k≠0 D. k≤ 1 3 且 k≠0 第 8 题图 n=1 n=2 n=3 … 38 参考答案与提示 由题意， 可得方程 ［（ 50+x ） -40 ］（ 500-10x ） =8 000. 整理得 x 2 -40x+300=0. 利用列表法估算出 x=10. 9. 2 019 10. B 2 用配方法求解一元二次方程 （第 1 课时） 1. （ 1 ） 4 2 （ 2 ） 9 3 （ 3 ） 36 6 （ 4 ） 25 4 5 2 （ 5 ） 9 16 3 4 （ 6 ） 4 9 2 3 2. A 3. B 4. D 5. 解： （ 1 ） （ x-1 ） 2 =4 ， x 1 =-1 ， x 2 =3 （ 2 ） （ x+2 ） 2 =11 ， x 1 =-2+ 11 姨 ， x 2 =-2- 11 姨 （ 3 ） x+ 3 2 2 # 2 = 25 4 ， x 1 =1 ， x 2 =-4 （ 4 ） （ x-6 ） 2 =64 ， x 1 =14 ， x 2 =-2 （ 5 ） （ x- 3 姨 ） 2 =2 ， x 1 = 3 姨 + 2 姨 ， x 2 = 3 姨 - 2 姨 （ 6 ） x 2 -5x+1=0 ， x- 5 2 2 2 2 = 21 4 ， x 1 = 5+ 21 姨 2 ， x 2 = 5- 21 姨 2 6． -2 提示： W=5x 2 -4xy+y 2 -2y+8x+3=x 2 +4x 2 -4xy+y 2 -2y+8x+3=4x 2 -4xy+y 2 -2y+x 2 +8x+3= （ 4x 2 -4xy+y 2 ） -2y+x 2 +8x+ 3= （ 2x-y ） 2 -2y+x 2 +4x+4x+3= （ 2x-y ） 2 +4x-2y+x 2 +4x+3= （ 2x-y ） 2 +2 （ 2x-y ） +1-1+x 2 +4x+4-4+3= ［（ 2x-y ） 2 +2 （ 2x-y ） +1 ］ + （ x 2 + 4x+4 ） -2= （ 2x-y+1 ） 2 + （ x+2 ） 2 -2. ∵x ， y 均为实数， ∴ （ 2x-y+1 ） 2 ≥0 ， （ x+2 ） 2 ≥0. ∴W≥-2 ， 即 W 的最小值为 -2. 7． D 8． 解： 解不等式 5 （ a-2 ） +8＜6 （ a-1 ） +7 ， 得 a＞-3. ∴ 最小整数解为 -2. 将 a＝-2 代入方程 x 2 +2ax+a+1＝0 ， 得 x 2 -4x- 1＝0. 配方， 得 （ x-2 ） 2 ＝5. 两边开平方， 得 x-2＝± 5 姨 . 解得 x 1 ＝2+ 5 姨 ， x 2 ＝2- 5 姨 . 2 用配方法求解一元二次方程 （第 2 课时） 1. D 2. 解： （ 1 ） x- 8 3 3 2 2 = 49 9 ， x 1 = 1 3 ， x 2 =5 （ 2 ） x- 3 2 3 2 2 = 3 4 ， x 1 = 3+ 3 姨 2 ， x 2 = 3- 3 姨 2 （ 3 ） x- 3 10 3 2 2 = 49 100 ， x 1 =- 2 5 ， x 2 =1 （ 4 ） 方程变形， 得 2x 2 -3x-1=0 ， 配方后得 x- 3 4 3 2 2 = 1 2 + 3 4 3 2 2 ， 则 x= 3 4 ± 17 姨 4 ， 即 x 1 = 3+ 17 姨 4 ， x 2 = 3- 17 姨 4 （ 5 ） y+ 5 3 3 2 2 = 22 9 ， y 1 = -5+ 22 姨 3 ， y 2 = -5- 22 姨 3 （ 6 ） （ x- 3 姨 ） 2 =- 1 3 + （ 3 姨 ） 2 ， 则 x= 3 姨 ± 2 6 姨 3 ， 即 x 1 = 3 3 姨 +2 6 姨 3 ， x 2 = 3 3 姨 -2 6 姨 3 3. 解： 设三个连续整数中间的一个数为 x ， 则另外两个数分别为 （ x-1 ）， （ x+1 ） . 依题意， 得 x （ x-1 ） +x （ x+1 ） + （ x+1 ）（ x-1 ） =431. 化简方程得， 3x 2 =432. 解得 x 1 =12 ， x 2 =-12. 三个连续整数为 11 ， 12 ， 13 或 -13 ， -12 ， -11. 4. 解： 设这两年平均每年的生产总值的增长率为 x ， 得 5 800× （ 1+x ） 2 =6 500. 解这个方程得 x 1 ≈0.059 ， x 2 =-2.059. ∵ 今年的生产总值大于前年的生产总值， ∴x=-2.059＜0 不合题意， 舍去 . ∴x 1 ≈0.059=5.9%. 5. （ 1 ） x=1 或 x=4. （ 2 ） x=-1 或 x=6. 6. 解： （ 1 ） 1 -2 提示： 原式 ＝x 2 -2x+1-1-1＝ （ x-1 ） 2 -2. ∵ （ x-1 ） 2 ≥0 ， ∴x 2 -2x-1≥-2. ∴ 当 x＝1 时， 代数式 x 2 -2x-1 有最小值， 最小值是 -2. （ 2 ） 原式 ＝2 （ x 2 +4x ） +12＝2 （ x 2 +4x+4-4 ） +12＝2 ［（ x+2 ） 2 -4 ］ +12＝2 （ x+2 ） 2 -8+12＝2 （ x+ 2 ） 2 +4. ∵ （ x+2 ） 2 ≥0 ， ∴2x 2 +8x+12≥4. ∴ 当 x＝-2 时， 代数式 2x 2 +8x+12 有最小值， 最小值是 4. （ 3 ） 原式 ＝ （ 4x 2 - 4xy+y 2 ） + （ x 2 +6x+9 ） +16＝ （ 2x-y ） 2 + （ x+3 ） 2 +16. ∵ （ 2x-y ） 2 ≥0 ， （ x+3 ） 2 ≥0 ， ∴5x 2 -4xy+y 2 +6x+25≥16. ∴ 当 x＝-3 ， y＝-6 时， 代数式 5x 2 -4xy+y 2 +6x+25 取得最小值， 最小值是 16. （ 4 ） S 1 ＞S 2 . 理由如下： ∵S 1 ＝ （ 2a+5 ）（ 3a+2 ） ＝6a 2 +19a+10 ， S 2 ＝5a （ a+5 ） ＝5a 2 +25a ， ∴S 1 -S 2 ＝a 2 -6a+10＝ （ a-3 ） 2 +1＞0. ∴S 1 ＞S 2 . 3 用公式法求解一元二次方程 （第 1 课时） 1. 3 -4 2 -8 2. n 2 -4mn+4m 2 ［或（ n-2m ） 2 ］ 有一个或两个实数根 3. （ 1 ） 原方程没有实数根 . （ 2 ） 原 方程有两个不相等实数根 . （ 3 ） 原方程有两个不相等实数根 . （ 4 ） 原方程有两个相等实数根 . 4. 解： 不正确， b=-7 ， c=-2 ， x 1 = 7+ 73 姨 6 ， x 2 = 7- 73 姨 6 . 5. （ 1 ） x 1 =6 ， x 2 =-2 （ 2 ） y 1 =y 2 = 3 2 （ 3 ） x 1 =-2 ， x 2 = 3 2 （ 4 ） x 1 = 5 2 ， x 2 =- 1 3 （ 5 ） x 1 =x 2 = 2 姨 （ 6 ） x 1 = 2+ 67 姨 3 ， x 2 = 2- 67 姨 3 6. 2 ， 8 或 -2 ， -8 7. 解： 设这个百分数是 x ， 则 400+400 （ 1+x ） +400 （ 1+x ） 2 =1 900. 整理得 （ 1+x ） 2 + （ x+1 ） -3.75=0. 解得 x 1 =0.5= 50% ， x 2 =-3.5 （舍去） . 8. 解： （ 1 ） （ n+3 ） （ n+2 ） （ 2 ） 由题意， 得 （ n+3 ）（ n+2 ） ＝506 ， 即 n 2 +5n-500＝0 ， 解得 n 1 ＝20 ， n 2 ＝-25 （舍 217 九年级上册 （北师大版）数学 去） . （ 3 ） 白瓷砖块数是 n （ n+1 ） ＝20×21＝420 ， 黑瓷砖块数是 506-420＝86 ， 共需 86×4+420×3＝1 604 （元 ） . （ 4 ） n （ n+1 ） ＝ （ n+3 ）（ n+2 ） -n （ n+1 ） . 化简， 得 n 2 -3n-6＝0. 解得 n 1 ＝ 3+ 33 姨 2 ， n 2 = 3- 33 姨 2 <0 （舍去） . ∵n 不为正 整数， ∴ 不存在黑、 白瓷砖数量相等的情形 . 9． k<9 10. 8 或 9 提示： 当 4 为腰长时， 将 x＝4 代入 x 2 -6x+n＝0 ， 得 n＝8. 当 n＝8 时， 原方程为 x 2 -6x+8＝0. 解得 x 1 ＝2 ， x 2 ＝4. ∵2+4＞4 ， ∴n＝8 符合题意； 当 4 为底边长时， 关于 x 的方程 x 2 -6x+n＝0 有两个相等的实数根， ∴Δ＝ （ -6 ） 2 -4×1× n＝0. 解得 n＝9. 当 n＝9 时， 原方程为 x 2 -6x+9＝0. 解得 x 1 ＝x 2 ＝3. ∵3+3＝6＞4 ， ∴n＝9 符合题意 . ∴n 的值为 8 或 9. 11. C 12． C 13． A 14. D 3 用公式法求解一元二次方程 （第 2 课时） 1. 解： 设矩形温室的宽为 x m ， 则长为 2x m. 根据题意， 得 （ x-2 ）·（ 2x-4 ） ＝288. 解这个方程， 得 x 1 ＝-10 （不 合题意， 舍去）， x 2 ＝14. ∴x＝14 ， 2x＝2×14＝28. 2. 解： 设这种长方体箱子底部宽为 x m ， 则长为 （ x+2 ） m. 依题意， 有 x （ x+2 ） ×1=15. 整理得 x 2 +2x-15=0. 解 得 x 1 =3 ， x 2 =-5 （舍去）， ∴ 这种长方体箱子底部长为 5 m ， 宽为 3 m. 由长方体展开图可知， 所购买矩形铁皮的面 积为（ 5+2 ） × （ 3+2 ） =35 （ m 2 ）， ∴ 购回这张矩形铁皮共花 35×20=700 （元） . 3. 解： 设剪去的正方形的边长为 x cm ， 则底面矩形的长为 （ 10-2x ） cm ， 宽为 1 2 （ 12-2x ） = （ 6-x ） cm ， 依题 意， 得 （ 10-2x ）（ 6-x ） ＝24. 整理， x 2 -11x+18=0. 解得 x 1 ＝2 ， x 2 ＝9． 当 x＝9 时， 6-x＝-3 ， 不合题意， x=9 ， 舍去 ． 答： 剪去的正方形的边长为 2 cm． 4. 解： （ 1 ） 方案如图： 方案 ① 具有一般性， 其他四种方案具有特殊性， 从美学的角度方案 ③ 最出色， 方案 ③④⑤ 都具有对称性 . （ 2 ） 方案 ① 可列出方程 32×20- （ 32x+20x-x 2 ） =540 ； 方案 ② 可列出方程 （ 32-x ）（ 20-x ） =540 ； 方案 ③ 可列出方程 4 32-x 2 2 # 20-x 2 2 2 =540 ； 方案 ④ 可列出方程 2 （ 20-x ） 32-x 2 2 2 =540 ； 方案 ⑤ 可列出方程 2 （ 32-x ）· 20-x 2 2 2 =540 ， x 的值都等于 2 m. 5. A 6. 解： （ 1 ） 设矩形 ABCD 的边 AB 的长为 x m ， 则边 BC=70-2x+2= （ 72-2x ） m. 根据题意， 得 x （ 72-2x ） =640. 整理方程， 得 x 2 -36x+320=0. 解得 x 1 =16 ， x 2 =20. 当 x=16 时， 72-2x=72-32=40 （ m ）， 当 x=20 时， 72-2x=72- 40=32 （ m ） . 答： 当羊圈的长为 40 m 、 宽为 16 m 或长为 32 m 、 宽为 20 m 时， 能围成一个面积为 640 m 2 的羊圈 . （ 2 ） 答： 不能 . 理由： 由题意， 得 x （ 72-2x ） =650. 整理方程， 得 x 2 -36x+325=0. ∵Δ= （ -36 ） 2 -4×325=-4＜0 ， ∴ 一 元二次方程没有实数根 . ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m 2 . 4 用因式分解法求解一元二次方程 1. x 1 =- 3 5 ， x 2 =7 2. x 1 = 1 2 ， x 2 =3 3. x 1 =1 ， x 2 =-7 4. C 5. A 6. D 7. （ 1 ） x 1 =- 1 2 ， x 2 = 9 2 （ 2 ） x 1 =x 2 = 3 4 （ 3 ） x 1 =- 3 2 ， x 2 = 3 14 （ 4 ） x 1 = 16 3 ， x 2 = 4 7 （ 5 ） x 1 =-1-2 7 姨 ， x 2 =-1+2 7 姨 （ 6 ） x 1 =3 ， x 2 =-15 8． 解： （ 1 ） 2 4 （ 2 ） ∵x 2 -3x-4=0 ， x 2 + （ -4+1 ） x+ （ -4 ） ×1=0 ， ∴ （ x-4 ）（ x+1 ） =0. 则 x+1=0 或 x-4=0. 解得 x 1 =-1 ， x 2 =4． 9. 解： 设大正方形的边长为 x cm ， 则小正方形的边长为 1 2 x+ 2 2 4 cm ， 则 2 1 2 x+ 2 2 4 2 -32=x 2 ， 整理得 x 2 -16x= 0 ， 解得 x 1 =16 ， x 2 =0 （舍去）， 1 2 ×16+4=12 （ cm ） . 10. 解： 设平均每次下调的百分率为 x ， 则 16 （ 1-x ） 2 =9 ， ［ 4 （ 1-x ） +3 ］ ［ 4 （ 1-x ） -3 ］ =0. x 1 =0.25 ， x 2 =1.75 （舍去） . 即平均每次下调的百分率为 25%. 11. 解： 设较小的数为 x ， 则 x 2 + （ x+1 ） 2 -2x=51. 整理得 x 2 -25=0. 解得 x 1 =5 ， x 2 =-5 （不合题意， 舍去） . 这两个数是 5 第 4 题答图 ① ② ③ ④ ⑤ 218