2 用配方法求解一元二次方程(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

一元二次方程 第二章 自主导学 典例精析 例题 用配方法解一元二次方程 2x 2 =6x+9. 【分析】 先将方程二次项系数化为 1 ， 再将常数项移到方程的右边， 然后配方为（ x+m ） 2 = n 的形式， 最后再用开平方法求方程的解 . 【解答】 移项， 得 2x 2 －6x=9. 方程两边除以 2 ， 得 x 2 －3x= 9 2 . 配方， 得 x 2 －3x+ 3 2 2 " 2 = 3 2 2 " 2 + 9 2 ， 即 x- 3 2 2 " 2 = 27 4 . 两边开平方， 得 x- 3 2 =± 3 3 姨 2 ， 即 x- 3 2 = 3 3 姨 2 或 x- 3 2 =- 3 3 姨 2 . 所以 x 1 = 3+3 3 姨 2 ， x 2 = 3-3 3 姨 2 ． 【点拨】 本题考查用配方法解二次项系数不等于 1 的一元二次方程， 将方程二次项系数 变为 1 ， 并将方程配方成（ x+m ） 2 =n 的形式是解题的关键 ． 基础巩固 达标闯关 1. 用配方法解方程 3x 2 -6x+1=0 ， 则方程可变形为 （ ） A. （ x-3 ） 2 = 1 3 B. 3 （ x-1 ） 2 = 1 3 C. （ 3x-1 ） 2 =1 D. （ x-1 ） 2 = 2 3 2. 用配方法解下列方程 . （ 1 ） 3x 2 －16x+5=0 ； （ 2 ） 2x 2 －6x+3=0 ； （ 3 ） 5x 2 －2=3x ； （ 4 ） 2 3 x 2 -x- 1 3 =0 ； （ 5 ） 0.3y 2 +y+0.1=0 ； （ 6 ） 3x 2 －6 3 姨 x+1=0. 2 用配方法求解一元二次方程 （第 2课时） 33 九年级上册 （北师大版）数学 能力提升 综合拓展 3. 三个连续整数两两相乘再把它们的积相加后得 431 ， 求这三个数 . 4. 某大型企业 2017 年的生产总值 （即所生产的产品的总价值） 为 5 800 万元， 2019 年 的生产总值为 6 500 万元， 求这两年平均每年的生产总值的增长率 . （保留到 0.1% ） 5. 已知 y=－x 2 +5x－4. （ 1 ） 当 x 取何值时， y=0 ？ （ 2 ） 当 y=-10 时， x 的值是多少？ 34 一元二次方程 第二章 6． 【项目学习】 “我们把多项式 a 2 +2ab+b 2 及 a 2 -2ab+b 2 叫作完全平方式” . 如果一个多项式不是完全平方式， 我们常做如下变形： 先添加一个适当的项， 使式中出 现完全平方式， 再减去这个项， 使整个式的值不变， 这种方法叫作配方法， 配方法是一种重 要的解决问题的数学方法 . 例如： 求当 a 取何值， 代数式 a 2 +6a+8 有最小值？ 最小值是多少？ 解： a 2 +6a+8＝a 2 +6a+3 2 -3 2 +8＝ （ a+3 ） 2 -1. 因为 （ a+3 ） 2 ≥0 ， 所以 a 2 +6a+8≥-1 ， 所以当 a＝-3 时， 代数式 a 2 +6a+8 有最小值， 最小 值是 -1. 【问题解决】 利用配方法解决下列问题： （ 1 ） 当 x＝ 时， 代数式 x 2 -2x-1 有最小值， 最小值为 . （ 2 ） 当 x 取何值时， 代数式 2x 2 +8x+12 有最小值？ 最小值是多少？ 【拓展提高】 （ 3 ） 当 x ， y 取何值时， 代数式 5x 2 -4xy+y 2 +6x+25 取得最小值？ 最小值为多少？ （ 4 ） 如图所示的第一个长方形边长分别是 2a+5 ， 3a+2 ， 面积为 S 1 ； 如图所示的第二个长 方形边长分别是 5a ， a+5 ， 面积为 S 2 . 试比较 S 1 与 S 2 的大小， 并说明理由 . 3a+2 2a+5 a+5 5a S 1 S 2 第 6 题图 35 参考答案与提示 由题意， 可得方程 ［（ 50+x ） -40 ］（ 500-10x ） =8 000. 整理得 x 2 -40x+300=0. 利用列表法估算出 x=10. 9. 2 019 10. B 2 用配方法求解一元二次方程 （第 1 课时） 1. （ 1 ） 4 2 （ 2 ） 9 3 （ 3 ） 36 6 （ 4 ） 25 4 5 2 （ 5 ） 9 16 3 4 （ 6 ） 4 9 2 3 2. A 3. B 4. D 5. 解： （ 1 ） （ x-1 ） 2 =4 ， x 1 =-1 ， x 2 =3 （ 2 ） （ x+2 ） 2 =11 ， x 1 =-2+ 11 姨 ， x 2 =-2- 11 姨 （ 3 ） x+ 3 2 2 # 2 = 25 4 ， x 1 =1 ， x 2 =-4 （ 4 ） （ x-6 ） 2 =64 ， x 1 =14 ， x 2 =-2 （ 5 ） （ x- 3 姨 ） 2 =2 ， x 1 = 3 姨 + 2 姨 ， x 2 = 3 姨 - 2 姨 （ 6 ） x 2 -5x+1=0 ， x- 5 2 2 2 2 = 21 4 ， x 1 = 5+ 21 姨 2 ， x 2 = 5- 21 姨 2 6． -2 提示： W=5x 2 -4xy+y 2 -2y+8x+3=x 2 +4x 2 -4xy+y 2 -2y+8x+3=4x 2 -4xy+y 2 -2y+x 2 +8x+3= （ 4x 2 -4xy+y 2 ） -2y+x 2 +8x+ 3= （ 2x-y ） 2 -2y+x 2 +4x+4x+3= （ 2x-y ） 2 +4x-2y+x 2 +4x+3= （ 2x-y ） 2 +2 （ 2x-y ） +1-1+x 2 +4x+4-4+3= ［（ 2x-y ） 2 +2 （ 2x-y ） +1 ］ + （ x 2 + 4x+4 ） -2= （ 2x-y+1 ） 2 + （ x+2 ） 2 -2. ∵x ， y 均为实数， ∴ （ 2x-y+1 ） 2 ≥0 ， （ x+2 ） 2 ≥0. ∴W≥-2 ， 即 W 的最小值为 -2. 7． D 8． 解： 解不等式 5 （ a-2 ） +8＜6 （ a-1 ） +7 ， 得 a＞-3. ∴ 最小整数解为 -2. 将 a＝-2 代入方程 x 2 +2ax+a+1＝0 ， 得 x 2 -4x- 1＝0. 配方， 得 （ x-2 ） 2 ＝5. 两边开平方， 得 x-2＝± 5 姨 . 解得 x 1 ＝2+ 5 姨 ， x 2 ＝2- 5 姨 . 2 用配方法求解一元二次方程 （第 2 课时） 1. D 2. 解： （ 1 ） x- 8 3 3 2 2 = 49 9 ， x 1 = 1 3 ， x 2 =5 （ 2 ） x- 3 2 3 2 2 = 3 4 ， x 1 = 3+ 3 姨 2 ， x 2 = 3- 3 姨 2 （ 3 ） x- 3 10 3 2 2 = 49 100 ， x 1 =- 2 5 ， x 2 =1 （ 4 ） 方程变形， 得 2x 2 -3x-1=0 ， 配方后得 x- 3 4 3 2 2 = 1 2 + 3 4 3 2 2 ， 则 x= 3 4 ± 17 姨 4 ， 即 x 1 = 3+ 17 姨 4 ， x 2 = 3- 17 姨 4 （ 5 ） y+ 5 3 3 2 2 = 22 9 ， y 1 = -5+ 22 姨 3 ， y 2 = -5- 22 姨 3 （ 6 ） （ x- 3 姨 ） 2 =- 1 3 + （ 3 姨 ） 2 ， 则 x= 3 姨 ± 2 6 姨 3 ， 即 x 1 = 3 3 姨 +2 6 姨 3 ， x 2 = 3 3 姨 -2 6 姨 3 3. 解： 设三个连续整数中间的一个数为 x ， 则另外两个数分别为 （ x-1 ）， （ x+1 ） . 依题意， 得 x （ x-1 ） +x （ x+1 ） + （ x+1 ）（ x-1 ） =431. 化简方程得， 3x 2 =432. 解得 x 1 =12 ， x 2 =-12. 三个连续整数为 11 ， 12 ， 13 或 -13 ， -12 ， -11. 4. 解： 设这两年平均每年的生产总值的增长率为 x ， 得 5 800× （ 1+x ） 2 =6 500. 解这个方程得 x 1 ≈0.059 ， x 2 =-2.059. ∵ 今年的生产总值大于前年的生产总值， ∴x=-2.059＜0 不合题意， 舍去 . ∴x 1 ≈0.059=5.9%. 5. （ 1 ） x=1 或 x=4. （ 2 ） x=-1 或 x=6. 6. 解： （ 1 ） 1 -2 提示： 原式 ＝x 2 -2x+1-1-1＝ （ x-1 ） 2 -2. ∵ （ x-1 ） 2 ≥0 ， ∴x 2 -2x-1≥-2. ∴ 当 x＝1 时， 代数式 x 2 -2x-1 有最小值， 最小值是 -2. （ 2 ） 原式 ＝2 （ x 2 +4x ） +12＝2 （ x 2 +4x+4-4 ） +12＝2 ［（ x+2 ） 2 -4 ］ +12＝2 （ x+2 ） 2 -8+12＝2 （ x+ 2 ） 2 +4. ∵ （ x+2 ） 2 ≥0 ， ∴2x 2 +8x+12≥4. ∴ 当 x＝-2 时， 代数式 2x 2 +8x+12 有最小值， 最小值是 4. （ 3 ） 原式 ＝ （ 4x 2 - 4xy+y 2 ） + （ x 2 +6x+9 ） +16＝ （ 2x-y ） 2 + （ x+3 ） 2 +16. ∵ （ 2x-y ） 2 ≥0 ， （ x+3 ） 2 ≥0 ， ∴5x 2 -4xy+y 2 +6x+25≥16. ∴ 当 x＝-3 ， y＝-6 时， 代数式 5x 2 -4xy+y 2 +6x+25 取得最小值， 最小值是 16. （ 4 ） S 1 ＞S 2 . 理由如下： ∵S 1 ＝ （ 2a+5 ）（ 3a+2 ） ＝6a 2 +19a+10 ， S 2 ＝5a （ a+5 ） ＝5a 2 +25a ， ∴S 1 -S 2 ＝a 2 -6a+10＝ （ a-3 ） 2 +1＞0. ∴S 1 ＞S 2 . 3 用公式法求解一元二次方程 （第 1 课时） 1. 3 -4 2 -8 2. n 2 -4mn+4m 2 ［或（ n-2m ） 2 ］ 有一个或两个实数根 3. （ 1 ） 原方程没有实数根 . （ 2 ） 原 方程有两个不相等实数根 . （ 3 ） 原方程有两个不相等实数根 . （ 4 ） 原方程有两个相等实数根 . 4. 解： 不正确， b=-7 ， c=-2 ， x 1 = 7+ 73 姨 6 ， x 2 = 7- 73 姨 6 . 5. （ 1 ） x 1 =6 ， x 2 =-2 （ 2 ） y 1 =y 2 = 3 2 （ 3 ） x 1 =-2 ， x 2 = 3 2 （ 4 ） x 1 = 5 2 ， x 2 =- 1 3 （ 5 ） x 1 =x 2 = 2 姨 （ 6 ） x 1 = 2+ 67 姨 3 ， x 2 = 2- 67 姨 3 6. 2 ， 8 或 -2 ， -8 7. 解： 设这个百分数是 x ， 则 400+400 （ 1+x ） +400 （ 1+x ） 2 =1 900. 整理得 （ 1+x ） 2 + （ x+1 ） -3.75=0. 解得 x 1 =0.5= 50% ， x 2 =-3.5 （舍去） . 8. 解： （ 1 ） （ n+3 ） （ n+2 ） （ 2 ） 由题意， 得 （ n+3 ）（ n+2 ） ＝506 ， 即 n 2 +5n-500＝0 ， 解得 n 1 ＝20 ， n 2 ＝-25 （舍 217