2 用配方法求解一元二次方程(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

一元二次方程 第二章 自主导学 典例精析 例题 用配方法解一元二次方程 x 2 -8x-1=0. 【分析】 根据配方法解题步骤即可求解 ． 【解答】 方程变形， 得 x 2 -8x=1. 两边都加上 4 2 ， 得 x 2 -8x+16=17 ， 即 （ x-4 ） 2 =17. 两边开平方， 得 x-4= 17 姨 或 x-4=－ 17 姨 . 所以 x 1 =4+ 17 姨 ， x 2 =4－ 17 姨 . 【点拨】 此题考查用配方法解一元二次方程， 熟练掌握完全平方公式是解题的关键 ． 基础巩固 达标闯关 1. 填上适当的数， 使下列等式成立 . （ 1 ） x 2 +4x+ （ ） = （ x+ ） 2 ； （ 2 ） x 2 +6x+ （ ） = （ x+ ） 2 ； （ 3 ） x 2 －12x+ （ ） = （ x－ ） 2 ； （ 4 ） x 2 －5x+ （ ） = （ x－ ） 2 ； （ 5 ） x 2 + 3 2 x+ （ ） = （ x+ ） 2 ； （ 6 ） x 2 － 4 3 x+ （ ） = （ x－ ） 2 . 2. 把方程 x 2 －8x+3=0 转化成（ x+m ） 2 =n 的形式为 （ ） A. （ x－4 ） 2 =13 B. （ x－4 ） 2 =19 C. （ x+4 ） 2 =19 D. （ x+4 ） 2 =13 3. 用配方法解方程 x 2 -2x-5=0 时， 原方程应变形为 （ ） A. （ x+1 ） 2 =6 B. （ x-1 ） 2 =6 C. （ x+2 ） 2 =9 D. （ x-2 ） 2 =9 4. 能转化为 x+ 1 2 2 # 2 = 5 4 的形式的方程是 （ ） A. x 2 + 1 4 x+ 1 4 =0 B. x 2 + 1 4 x+1=0 C. x 2 +x+1=0 D. x 2 +x-1=0 5. 用配方法解下列方程 . （ 1 ） x 2 -2x-3=0 ； （ 2 ） x 2 +4x-7=0 ； 2 用配方法求解一元二次方程 （第 1课时） 31 九年级上册 （北师大版）数学 （ 3 ） x 2 +3x-4=0 ； （ 4 ） x 2 －12x－28=0 ； （ 5 ） x 2 -2 3 姨 x+1=0 ； （ 6 ） （ x-3 ）（ x-2 ） =5. 中考链接 真题演练 6． （ 2023 ·连云港） 若 W=5x 2 -4xy+y 2 -2y+8x+3 （ x ， y 为实数）， 则 W 的最小值为 . 7. （ 2023 ·新疆） 用配方法解一元二次方程 x 2 -6x+8=0 配方后得到的方程是 （ ） A. （ x+6 ） 2 =28 B. （ x-6 ） 2 =28 C. （ x+3 ） 2 =1 D. （ x-3 ） 2 =1 8. （ 2021 ·荆州） 已知： a 是不等式 5 （ a-2 ） +8＜6 （ a-1 ） +7 的最小整数解， 请用配方法解关 于 x 的方程 x 2 +2ax+a+1＝0. 32 参考答案与提示 由题意， 可得方程 ［（ 50+x ） -40 ］（ 500-10x ） =8 000. 整理得 x 2 -40x+300=0. 利用列表法估算出 x=10. 9. 2 019 10. B 2 用配方法求解一元二次方程 （第 1 课时） 1. （ 1 ） 4 2 （ 2 ） 9 3 （ 3 ） 36 6 （ 4 ） 25 4 5 2 （ 5 ） 9 16 3 4 （ 6 ） 4 9 2 3 2. A 3. B 4. D 5. 解： （ 1 ） （ x-1 ） 2 =4 ， x 1 =-1 ， x 2 =3 （ 2 ） （ x+2 ） 2 =11 ， x 1 =-2+ 11 姨 ， x 2 =-2- 11 姨 （ 3 ） x+ 3 2 2 # 2 = 25 4 ， x 1 =1 ， x 2 =-4 （ 4 ） （ x-6 ） 2 =64 ， x 1 =14 ， x 2 =-2 （ 5 ） （ x- 3 姨 ） 2 =2 ， x 1 = 3 姨 + 2 姨 ， x 2 = 3 姨 - 2 姨 （ 6 ） x 2 -5x+1=0 ， x- 5 2 2 2 2 = 21 4 ， x 1 = 5+ 21 姨 2 ， x 2 = 5- 21 姨 2 6． -2 提示： W=5x 2 -4xy+y 2 -2y+8x+3=x 2 +4x 2 -4xy+y 2 -2y+8x+3=4x 2 -4xy+y 2 -2y+x 2 +8x+3= （ 4x 2 -4xy+y 2 ） -2y+x 2 +8x+ 3= （ 2x-y ） 2 -2y+x 2 +4x+4x+3= （ 2x-y ） 2 +4x-2y+x 2 +4x+3= （ 2x-y ） 2 +2 （ 2x-y ） +1-1+x 2 +4x+4-4+3= ［（ 2x-y ） 2 +2 （ 2x-y ） +1 ］ + （ x 2 + 4x+4 ） -2= （ 2x-y+1 ） 2 + （ x+2 ） 2 -2. ∵x ， y 均为实数， ∴ （ 2x-y+1 ） 2 ≥0 ， （ x+2 ） 2 ≥0. ∴W≥-2 ， 即 W 的最小值为 -2. 7． D 8． 解： 解不等式 5 （ a-2 ） +8＜6 （ a-1 ） +7 ， 得 a＞-3. ∴ 最小整数解为 -2. 将 a＝-2 代入方程 x 2 +2ax+a+1＝0 ， 得 x 2 -4x- 1＝0. 配方， 得 （ x-2 ） 2 ＝5. 两边开平方， 得 x-2＝± 5 姨 . 解得 x 1 ＝2+ 5 姨 ， x 2 ＝2- 5 姨 . 2 用配方法求解一元二次方程 （第 2 课时） 1. D 2. 解： （ 1 ） x- 8 3 3 2 2 = 49 9 ， x 1 = 1 3 ， x 2 =5 （ 2 ） x- 3 2 3 2 2 = 3 4 ， x 1 = 3+ 3 姨 2 ， x 2 = 3- 3 姨 2 （ 3 ） x- 3 10 3 2 2 = 49 100 ， x 1 =- 2 5 ， x 2 =1 （ 4 ） 方程变形， 得 2x 2 -3x-1=0 ， 配方后得 x- 3 4 3 2 2 = 1 2 + 3 4 3 2 2 ， 则 x= 3 4 ± 17 姨 4 ， 即 x 1 = 3+ 17 姨 4 ， x 2 = 3- 17 姨 4 （ 5 ） y+ 5 3 3 2 2 = 22 9 ， y 1 = -5+ 22 姨 3 ， y 2 = -5- 22 姨 3 （ 6 ） （ x- 3 姨 ） 2 =- 1 3 + （ 3 姨 ） 2 ， 则 x= 3 姨 ± 2 6 姨 3 ， 即 x 1 = 3 3 姨 +2 6 姨 3 ， x 2 = 3 3 姨 -2 6 姨 3 3. 解： 设三个连续整数中间的一个数为 x ， 则另外两个数分别为 （ x-1 ）， （ x+1 ） . 依题意， 得 x （ x-1 ） +x （ x+1 ） + （ x+1 ）（ x-1 ） =431. 化简方程得， 3x 2 =432. 解得 x 1 =12 ， x 2 =-12. 三个连续整数为 11 ， 12 ， 13 或 -13 ， -12 ， -11. 4. 解： 设这两年平均每年的生产总值的增长率为 x ， 得 5 800× （ 1+x ） 2 =6 500. 解这个方程得 x 1 ≈0.059 ， x 2 =-2.059. ∵ 今年的生产总值大于前年的生产总值， ∴x=-2.059＜0 不合题意， 舍去 . ∴x 1 ≈0.059=5.9%. 5. （ 1 ） x=1 或 x=4. （ 2 ） x=-1 或 x=6. 6. 解： （ 1 ） 1 -2 提示： 原式 ＝x 2 -2x+1-1-1＝ （ x-1 ） 2 -2. ∵ （ x-1 ） 2 ≥0 ， ∴x 2 -2x-1≥-2. ∴ 当 x＝1 时， 代数式 x 2 -2x-1 有最小值， 最小值是 -2. （ 2 ） 原式 ＝2 （ x 2 +4x ） +12＝2 （ x 2 +4x+4-4 ） +12＝2 ［（ x+2 ） 2 -4 ］ +12＝2 （ x+2 ） 2 -8+12＝2 （ x+ 2 ） 2 +4. ∵ （ x+2 ） 2 ≥0 ， ∴2x 2 +8x+12≥4. ∴ 当 x＝-2 时， 代数式 2x 2 +8x+12 有最小值， 最小值是 4. （ 3 ） 原式 ＝ （ 4x 2 - 4xy+y 2 ） + （ x 2 +6x+9 ） +16＝ （ 2x-y ） 2 + （ x+3 ） 2 +16. ∵ （ 2x-y ） 2 ≥0 ， （ x+3 ） 2 ≥0 ， ∴5x 2 -4xy+y 2 +6x+25≥16. ∴ 当 x＝-3 ， y＝-6 时， 代数式 5x 2 -4xy+y 2 +6x+25 取得最小值， 最小值是 16. （ 4 ） S 1 ＞S 2 . 理由如下： ∵S 1 ＝ （ 2a+5 ）（ 3a+2 ） ＝6a 2 +19a+10 ， S 2 ＝5a （ a+5 ） ＝5a 2 +25a ， ∴S 1 -S 2 ＝a 2 -6a+10＝ （ a-3 ） 2 +1＞0. ∴S 1 ＞S 2 . 3 用公式法求解一元二次方程 （第 1 课时） 1. 3 -4 2 -8 2. n 2 -4mn+4m 2 ［或（ n-2m ） 2 ］ 有一个或两个实数根 3. （ 1 ） 原方程没有实数根 . （ 2 ） 原 方程有两个不相等实数根 . （ 3 ） 原方程有两个不相等实数根 . （ 4 ） 原方程有两个相等实数根 . 4. 解： 不正确， b=-7 ， c=-2 ， x 1 = 7+ 73 姨 6 ， x 2 = 7- 73 姨 6 . 5. （ 1 ） x 1 =6 ， x 2 =-2 （ 2 ） y 1 =y 2 = 3 2 （ 3 ） x 1 =-2 ， x 2 = 3 2 （ 4 ） x 1 = 5 2 ， x 2 =- 1 3 （ 5 ） x 1 =x 2 = 2 姨 （ 6 ） x 1 = 2+ 67 姨 3 ， x 2 = 2- 67 姨 3 6. 2 ， 8 或 -2 ， -8 7. 解： 设这个百分数是 x ， 则 400+400 （ 1+x ） +400 （ 1+x ） 2 =1 900. 整理得 （ 1+x ） 2 + （ x+1 ） -3.75=0. 解得 x 1 =0.5= 50% ， x 2 =-3.5 （舍去） . 8. 解： （ 1 ） （ n+3 ） （ n+2 ） （ 2 ） 由题意， 得 （ n+3 ）（ n+2 ） ＝506 ， 即 n 2 +5n-500＝0 ， 解得 n 1 ＝20 ， n 2 ＝-25 （舍 217