1 认识一元二次方程(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

一元二次方程 第二章 自主导学 典例精析 例题 用 14 m 长的铁丝围成一个面积为 10 m 2 的矩形， 求矩形的两边长 . （ 1 ） 设矩形一边长为 x m ， 则矩形的另一边长为 m. （ 2 ） 根据题意， 可得方程为 . （ 3 ） x 的值小于 0 吗？ 可能大于 7 吗？ 可能等于 6 吗？ （ 4 ） 请你用估算方法求矩形的两边长 . 【分析】 （ 1 ） 矩形的长和宽的和为 7 ， 一边长为 x m ， 则另一边长为 （ 7－x ） m. （ 2 ） 由 面积公式可列方程 . （ 3 ） 根据 x 的实际意义以及方程解的定义可判断 . （ 4 ） 通过列表求近似 值的方法求方程的解 . 【解答】 （ 1 ） （ 7－x ） （ 2 ） x （ 7－x ） =10 （ 3 ） 矩形的长和宽的和为 7 ， 所以 x 不可能小于 0 ， 也不可能大于 7. 当 x=6 时， 方程左边 =x （ 7－x ） =6×1=6 ， 方程右边 =10. ∵ 左边 ≠ 右边， ∴ x 的值不可能等于 6． （ 4 ） ∴x 的两个值为 2 和 5 ， 即矩形的两边长分别为 2 m 和 5 m. 【点拨】 本题考查列一元二次方程以及估算一元二次方程的解 . 在估算一元二次方程的解 时， 应先将方程化为一般式并确定方程解的大致范围， 然后在这一范围内有规律地取一些未 知数的值， 如果把一个值代入方程使得左边的计算结果小于 0 ， 把另一个值代入方程使得左 边的计算结果大于 0 ， 那么方程的解就在这两个值之间， 这种方法通常称为 “夹逼法” . 基础巩固 达标闯关 1. 已知一元二次方程 x 2 +px+3=0 的一个根为 -3 ， 则 p= . 2. 若 x＝1 是一元二次方程 x 2 －2x－c＝0 的一个解， 则 c 3 ＝ . 3. 一元二次方程（ m+1 ） x 2 -2mx=1 的一个根是 -2 ， 则 m= . 4. 如果 x＝4 是一元二次方程 x 2 -3x=a 2 的一个根， 则常数 a 的值是 （ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. ±4 5. 如果一元二次方程 x 2 +ax+b=0 有一个根为 －2 ， 那么 2a-b 的值为 （ ） A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 0 1 认识一元二次方程 （第 2课时） x 1 2 3 4 5 x 2 －7x+10 4 0 －2 －2 0 29 九年级上册 （北师大版）数学 6. 已知方程 x 2 +bx+a=0 有一个根是 -a （ a≠0 ）， 则下列代数式的值恒为 1 的是 （ ） A. a-b B. b-a C. a+b D. ab 7. 有四个连续的正整数， 已知它们的和等于其中最大的与最小的两个整数的积 . 如果设 最小的数为 x ， 请列出关于 x 的方程， 并用估算的方法求这四个数 . 能力提升 综合拓展 8. 某商场将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出时， 就能卖出 500 个 . 商场管理部门发 现这种商品销售情况很好， 于是决定适当涨价 . 经市场调查， 这种商品每涨价 1 元， 其销售 量就减少 10 个 . 如果商场想将这种商品涨价 x 元后， 得到 8 000 元的利润， 请你列出关于 x 的方程， 并用估算的方法求出商场应涨价多少元 . 中考链接 真题演练 9. （ 2023 ·枣庄） 若 x=3 是关于 x 的方程 ax 2 -bx=6 的解， 则 2 023-6a+2b 的值为 . 10. （ 2022 ·遂宁） 已知 m 为方程 x 2 +3x-2 022=0 的根， 那么 m 3 +2m 2 -2 025m+2 022 的值 为 （ ） A. -2 022 B. 0 C. 2 022 D. 4 044 30 九年级上册 （北师大版）数学 EF. ∴ 四边形 EDFG 是正方形 . （ 2 ） 解： 过点 D 作 DE′⊥AC 于点 E′ ， 如图 2 所示 ． ∵△ABC 为等腰直角三角形， ∠ACB=90° ， AC=BC=4 ， ∴DE′= 1 2 BC=2 ， AB=4 2 姨 ， 点 E′为 AC 的 中点， ∴2≤DE＜2 2 姨 （点 E 与点 E′ 重合时取等号） ． ∴4≤S 四边形 EDFG =DE 2 ＜8． ∴ 当点 E 为 线段 AC 的中点时， 四边形 EDFG 的面积最小， 该最小值为 4． 9. （ 1 ） 3 （ 2 ） 13 姨 10. 3 8 11. 解： （ 1 ） 四边形 BPCO 为平行四边形 . 理由： ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴OC=OA= 1 2 AC ， OB=OD= 1 2 BD. ∵ 以点 B ， C 为圆心， 1 2 AC ， 1 2 BD 长为半径画弧， 两弧交于点 P ， ∴OB=CP ， BP=OC. ∴ 四边形 BPCO 为平行四边形 . （ 2 ） 当 AC⊥BD ， AC=BD 时 ， 四边形 BPCO 为正方形 . ∵AC=BD ， OB= 1 2 BD ， OC= 1 2 AC ， ∴OB=OC. ∵AC⊥BD ， ∴∠BOC=90°. ∵ 四边形 BPCO 为平行四边形 . ∴ 四边形 BPCO 为正方形 . 12. 解： （ 1 ） 如图 1 ， 延长 FG ， 交 AC 于点 H ， ∵ 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形， ∴BC＝CD=AD ， FG＝BG ， CD∥AE ， FG∥AE ， ∠CGH＝∠BGF＝∠DCB=90°. ∴ ∠ACD＝45° ， CD∥FG. ∴∠CHG=∠ACD＝∠ACB＝45° ， ∠CDP＝∠HFP. ∴CG＝GH. ∴CG+ BG＝GH+FG ， 即 BC＝FH. ∴CD＝FH. ∴△CDP≌△HFP （ ASA ） . ∴DP=FP. （ 2 ） △APE 是等腰直角三角形 . 理由： 如图 2 ， 延长 EG ， 交 AD 的延长线于点 M ， 设 DF 和 EG 交 于点 Q. 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形 ， ∴∠ABC＝∠BAD＝∠GBE=∠BEF＝ 90° ， AD＝AB=BC ， BE＝EF ， ∴AD∥BC∥EF ， ∴∠M＝∠BEG＝45°. ∴AM＝AE. ∴AM-AD＝ AE-AB. ∴DM＝BE＝EF. ∵AD∥EF ， ∴∠M＝∠GEF ， ∠MDQ＝∠EFQ. ∴△DQM≌△FQE （ ASA ） . ∴DQ＝FQ. ∴ 点 Q 和点 P 重合， 即 EG 与 DF 的交点 P 恰好也是 DF 的中点 . ∵ ∠ABC＝90° ， AB=BC ， ∴∠BAC＝45°. ∵∠BEG＝45° ， ∴∠APE＝90° ， AP＝EP. ∴△APE 是 等腰直角三角形 . （ 3 ） △APE 仍然是等腰直角三角形 . 理由： 如图 3 ， 延长 EP 至 Q ， 使 PQ＝PE ， 连接 DQ ， 延长 DA 和 FE ， 交于点 N ， ∵DP＝PF ， ∠DPQ＝∠EPF ， PQ=PE ， ∴△PDQ≌△PFE （ SAS ） . ∴DQ＝EF ， ∠PQD＝∠PEF. ∴QD∥NF. ∴∠N+∠ADQ＝180°. ∵ 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形， ∴∠BAN＝∠DAB＝90° ， ∠BEN＝∠BEF＝90° ， AB＝AD ， BE＝EF. ∴∠N+∠ABE＝360°-∠BAN-∠BEN＝180° ， DQ＝BE. ∴∠ABE＝∠ADQ. ∴△ADQ≌△ABE （ SAS ） . ∴AE ＝AQ ， ∠DAQ ＝∠BAE. ∴∠BAE +∠BAQ ＝∠DAQ+ ∠BAQ＝∠BAD＝90° ， 即 ∠QAE＝90°. ∴AP⊥EQ ， AP＝PE＝ 1 2 EQ. ∴△APE 是等腰直角 三角形 . 第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程 （第 1 课时） 1. 3x 2 -5x-6=0 3x 2 -5x -6 2. x+2 x （ x+2 ） =228 3. k≠-2 4. C 5. D 6. C 7. 2x 2 +3x-5=0 2 3 -5 ； 4x 2 -6=0 4 0 -6 ； x 2 -5x+10=0 1 -5 10 8. 解： 若方程是一元二次方程， 则二次项系数（ k+3 ）（ k-1 ） ≠0 ， 即 k≠-3 ， k≠1 ， ∴ 当 k≠-3 ， k≠1 时， 方程 是一元二次方程 . 9. 解： 设三边长分别为 x ， x+1 ， x+2 ， 则 x 2 + （ x+1 ） 2 = （ x+2 ） 2 ， x 2 -2x-3=0. 10. 解： 设四周未铺地毯的留空宽度为 x m ， 则（ 20-2x ）（ 15-2x ） = 1 2 ×20×15 ， 整理得 2x 2 -35x+75=0. 11. 解： 设每个标准间涨价为 x 元， 则宾馆每晚出租 （ 50-0.2x ） 个标准间， 可列出 （ 50-0.2x ）（ 120+x ） =6 600. 整理得 x 2 -130x+3 000=0. 12. A 13. A 1 认识一元二次方程 （第 2 课时） 1. 4 2. -1 3. - 3 8 4. C 5. A 6. B 7. 解： x+x+1+x+2+x+3=x （ x+3 ）， 整理得 x 2 -x-6=0. 可利用列表方法估算出 x=3 ， 则四个数为 3 ， 4 ， 5 ， 6. 8. 解： 由题意知， 商品的单价为 （ 50+x ） 元， 则每个的利润是 ［（ 50+x ） -40 ］ 元， 销售量是 （ 500-10x ） 个， A D C B G F E P Q N A D C B G F E P H 图 1 图 2 图 3 第 12 题答图 A D C B G F E P M （ Q ） 图 2 第 8 题答图 G E F O A B C D E′ 216 参考答案与提示 由题意， 可得方程 ［（ 50+x ） -40 ］（ 500-10x ） =8 000. 整理得 x 2 -40x+300=0. 利用列表法估算出 x=10. 9. 2 019 10. B 2 用配方法求解一元二次方程 （第 1 课时） 1. （ 1 ） 4 2 （ 2 ） 9 3 （ 3 ） 36 6 （ 4 ） 25 4 5 2 （ 5 ） 9 16 3 4 （ 6 ） 4 9 2 3 2. A 3. B 4. D 5. 解： （ 1 ） （ x-1 ） 2 =4 ， x 1 =-1 ， x 2 =3 （ 2 ） （ x+2 ） 2 =11 ， x 1 =-2+ 11 姨 ， x 2 =-2- 11 姨 （ 3 ） x+ 3 2 2 # 2 = 25 4 ， x 1 =1 ， x 2 =-4 （ 4 ） （ x-6 ） 2 =64 ， x 1 =14 ， x 2 =-2 （ 5 ） （ x- 3 姨 ） 2 =2 ， x 1 = 3 姨 + 2 姨 ， x 2 = 3 姨 - 2 姨 （ 6 ） x 2 -5x+1=0 ， x- 5 2 2 2 2 = 21 4 ， x 1 = 5+ 21 姨 2 ， x 2 = 5- 21 姨 2 6． -2 提示： W=5x 2 -4xy+y 2 -2y+8x+3=x 2 +4x 2 -4xy+y 2 -2y+8x+3=4x 2 -4xy+y 2 -2y+x 2 +8x+3= （ 4x 2 -4xy+y 2 ） -2y+x 2 +8x+ 3= （ 2x-y ） 2 -2y+x 2 +4x+4x+3= （ 2x-y ） 2 +4x-2y+x 2 +4x+3= （ 2x-y ） 2 +2 （ 2x-y ） +1-1+x 2 +4x+4-4+3= ［（ 2x-y ） 2 +2 （ 2x-y ） +1 ］ + （ x 2 + 4x+4 ） -2= （ 2x-y+1 ） 2 + （ x+2 ） 2 -2. ∵x ， y 均为实数， ∴ （ 2x-y+1 ） 2 ≥0 ， （ x+2 ） 2 ≥0. ∴W≥-2 ， 即 W 的最小值为 -2. 7． D 8． 解： 解不等式 5 （ a-2 ） +8＜6 （ a-1 ） +7 ， 得 a＞-3. ∴ 最小整数解为 -2. 将 a＝-2 代入方程 x 2 +2ax+a+1＝0 ， 得 x 2 -4x- 1＝0. 配方， 得 （ x-2 ） 2 ＝5. 两边开平方， 得 x-2＝± 5 姨 . 解得 x 1 ＝2+ 5 姨 ， x 2 ＝2- 5 姨 . 2 用配方法求解一元二次方程 （第 2 课时） 1. D 2. 解： （ 1 ） x- 8 3 3 2 2 = 49 9 ， x 1 = 1 3 ， x 2 =5 （ 2 ） x- 3 2 3 2 2 = 3 4 ， x 1 = 3+ 3 姨 2 ， x 2 = 3- 3 姨 2 （ 3 ） x- 3 10 3 2 2 = 49 100 ， x 1 =- 2 5 ， x 2 =1 （ 4 ） 方程变形， 得 2x 2 -3x-1=0 ， 配方后得 x- 3 4 3 2 2 = 1 2 + 3 4 3 2 2 ， 则 x= 3 4 ± 17 姨 4 ， 即 x 1 = 3+ 17 姨 4 ， x 2 = 3- 17 姨 4 （ 5 ） y+ 5 3 3 2 2 = 22 9 ， y 1 = -5+ 22 姨 3 ， y 2 = -5- 22 姨 3 （ 6 ） （ x- 3 姨 ） 2 =- 1 3 + （ 3 姨 ） 2 ， 则 x= 3 姨 ± 2 6 姨 3 ， 即 x 1 = 3 3 姨 +2 6 姨 3 ， x 2 = 3 3 姨 -2 6 姨 3 3. 解： 设三个连续整数中间的一个数为 x ， 则另外两个数分别为 （ x-1 ）， （ x+1 ） . 依题意， 得 x （ x-1 ） +x （ x+1 ） + （ x+1 ）（ x-1 ） =431. 化简方程得， 3x 2 =432. 解得 x 1 =12 ， x 2 =-12. 三个连续整数为 11 ， 12 ， 13 或 -13 ， -12 ， -11. 4. 解： 设这两年平均每年的生产总值的增长率为 x ， 得 5 800× （ 1+x ） 2 =6 500. 解这个方程得 x 1 ≈0.059 ， x 2 =-2.059. ∵ 今年的生产总值大于前年的生产总值， ∴x=-2.059＜0 不合题意， 舍去 . ∴x 1 ≈0.059=5.9%. 5. （ 1 ） x=1 或 x=4. （ 2 ） x=-1 或 x=6. 6. 解： （ 1 ） 1 -2 提示： 原式 ＝x 2 -2x+1-1-1＝ （ x-1 ） 2 -2. ∵ （ x-1 ） 2 ≥0 ， ∴x 2 -2x-1≥-2. ∴ 当 x＝1 时， 代数式 x 2 -2x-1 有最小值， 最小值是 -2. （ 2 ） 原式 ＝2 （ x 2 +4x ） +12＝2 （ x 2 +4x+4-4 ） +12＝2 ［（ x+2 ） 2 -4 ］ +12＝2 （ x+2 ） 2 -8+12＝2 （ x+ 2 ） 2 +4. ∵ （ x+2 ） 2 ≥0 ， ∴2x 2 +8x+12≥4. ∴ 当 x＝-2 时， 代数式 2x 2 +8x+12 有最小值， 最小值是 4. （ 3 ） 原式 ＝ （ 4x 2 - 4xy+y 2 ） + （ x 2 +6x+9 ） +16＝ （ 2x-y ） 2 + （ x+3 ） 2 +16. ∵ （ 2x-y ） 2 ≥0 ， （ x+3 ） 2 ≥0 ， ∴5x 2 -4xy+y 2 +6x+25≥16. ∴ 当 x＝-3 ， y＝-6 时， 代数式 5x 2 -4xy+y 2 +6x+25 取得最小值， 最小值是 16. （ 4 ） S 1 ＞S 2 . 理由如下： ∵S 1 ＝ （ 2a+5 ）（ 3a+2 ） ＝6a 2 +19a+10 ， S 2 ＝5a （ a+5 ） ＝5a 2 +25a ， ∴S 1 -S 2 ＝a 2 -6a+10＝ （ a-3 ） 2 +1＞0. ∴S 1 ＞S 2 . 3 用公式法求解一元二次方程 （第 1 课时） 1. 3 -4 2 -8 2. n 2 -4mn+4m 2 ［或（ n-2m ） 2 ］ 有一个或两个实数根 3. （ 1 ） 原方程没有实数根 . （ 2 ） 原 方程有两个不相等实数根 . （ 3 ） 原方程有两个不相等实数根 . （ 4 ） 原方程有两个相等实数根 . 4. 解： 不正确， b=-7 ， c=-2 ， x 1 = 7+ 73 姨 6 ， x 2 = 7- 73 姨 6 . 5. （ 1 ） x 1 =6 ， x 2 =-2 （ 2 ） y 1 =y 2 = 3 2 （ 3 ） x 1 =-2 ， x 2 = 3 2 （ 4 ） x 1 = 5 2 ， x 2 =- 1 3 （ 5 ） x 1 =x 2 = 2 姨 （ 6 ） x 1 = 2+ 67 姨 3 ， x 2 = 2- 67 姨 3 6. 2 ， 8 或 -2 ， -8 7. 解： 设这个百分数是 x ， 则 400+400 （ 1+x ） +400 （ 1+x ） 2 =1 900. 整理得 （ 1+x ） 2 + （ x+1 ） -3.75=0. 解得 x 1 =0.5= 50% ， x 2 =-3.5 （舍去） . 8. 解： （ 1 ） （ n+3 ） （ n+2 ） （ 2 ） 由题意， 得 （ n+3 ）（ n+2 ） ＝506 ， 即 n 2 +5n-500＝0 ， 解得 n 1 ＝20 ， n 2 ＝-25 （舍 217