1 认识一元二次方程(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

九年级上册 （北师大版）数学 知识网络 自主导学 典例精析 例题 下列方程一定是一元二次方程的是 （ ） A． 3x 2 + 2 x -1=0 B． 5x 2 -6y-3=0 C． ax 2 -x+2=0 D． 3x 2 -2x-1=0 【分析】 根据一元二次方程的定义解答， 一元二次方程必须满足四个条件： （ 1 ） 未知数 的最高次数是 2 ； （ 2 ） 二次项系数不为 0 ； （ 3 ） 是整式方程； （ 4 ） 含有一个未知数 ． 用这 四个条件对四个选项进行验证， 满足这四个条件者为正确答案 ． 【解答】 D 【点拨】 本题考查了一元二次方程的概念， 判断一个方程是不是一元二次方程， 首先要 看是不是整式方程， 然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2． 1 认识一元二次方程 （第 1课时） 第二章 一元二次方程 定义→ax 2 +bx+c=0 （ a， b， c为常数， a≠0） 当 b 2 -4ac>0时， 方程有两个不等实根 当 b 2 -4ac=0时， 方程有两个相等实根 当 b 2 -4ac<0时， 方程无实根 应用 根的判别式 近似解→逼近法 解方程方法 精确解 配方法 公式法 因式分解法 方程根 （x 1 ， x 2 ） 与方程系数 （a， b， c） 的关系→ x 1 +x 2 =- b a ， x 1 x 2 = c a a " 一 元 二 次 方 程 26 一元二次方程 第二章 基础巩固 达标闯关 1. 方程 （ 3x+1 ）（ x－2 ） －4=0 的一般形式是 ， 它的二次项是 ， 一次 项是 ， 常数项是 . 2. 两个连续的偶数的积是 228 ， 如果设较小的一个偶数为 x ， 则另一个偶数可以表示为 ， 根据题意可列出方程为 . 3. 若方程 （ k＋2 ） x 2 －7x－9=0 是关于 x 的一元二次方程， 则 k 满足 . 4. 已知下列方程： （ 3x－2 ）（ x＋5 ） =2 ， 2x 2 ＋y＋4=0 ， 3 x ＋x=1 ， x 2 y＋x 2 －1=xy＋1 ， x 2 －7=0 ， 4x 2 =x ， z 2 +2z=－3 ， 其中为一元二次方程的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 关于 x 的一元二次方程 （ m-3 ） x 2 +m 2 x=9x+5 化为一般形式后不含一次项， 则 m 的值为 （ ） A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3 6. 某商品经过两次连续降价， 每件售价由原来的 55 元降到了 35 元 . 设平均每次降价的 百分率为 x ， 则下列方程中正确的是 （ ） A. 55 （ 1+x ） 2 =35 B. 35 （ 1+x ） 2 =55 C. 55 （ 1－x ） 2 =35 D. 35 （ 1－x ） 2 =55 7. 将下面表格中的方程化成一元二次方程的一般形式， 并写出二次项、 一次项的系 数和常数项 . 能力提升 综合拓展 8. 关于 x 的方程 （ k+3 ）（ k-1 ） x 2 + （ k-1 ） x+5=0. k 为何值时， 方程是一元二次方程？ 一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x=5－2x 2 （ 2x－1 ） 2 +4x=7 1 2 x （ x+1 ） =3 （ x-2 ） +1 27 九年级上册 （北师大版）数学 9. 一个直角三角形的三条边的长是三个连续自然数， 如果设这个三角形最短的边长为 x ， 请列出关于 x 的方程， 并将方程整理为一般形式 . 10. 有一间长 20 m 、 宽 15 m 的会议室， 在它的中间铺一块地毯， 地毯的面积是会议室 面积的 1 2 ， 四周未铺地毯的留空宽度相同， 求留空的宽度 . （只要求列出方程， 并将方程 整理为一般形式） 11. 某宾馆有 50 个标准间， 每个标准间收费 120 元时可全部租出 . 为了尽可能降低消耗， 同时又增加收入， 宾馆决定提高标准间的出租价格， 若每个标准间每晚涨价 10 元， 每晚减 少 2 个标准间租出 . 宾馆若每晚收入 6 600 元， 那么每个标准间应涨价多少元？ 这时每晚出 租多少个标准间？ （只要求列出方程， 并将方程整理为一般形式） 中考链接 真题演练 12. （ 2023 ·哈尔滨） 为了改善居民生活环境， 云宁小区对一块矩形空地进行绿化， 这块 空地的长比宽多 6 m ， 面积为 720 m 2 ， 设矩形空地的长为 x m ， 根据题意， 所列方程正确的 是 （ ） A. x （ x-6 ） =720 B. x （ x+6 ） =720 C. x （ x-6 ） =360 D. x （ x+6 ） =360 13. （ 2022 ·泰安） 我国古代著作 《四元玉鉴》 记载 “买椽多少” 问题： 六贯二百一十钱， 遣人去买几株椽 . 每株脚钱三文足， 无钱准与一株椽 . 其大意为： 现请人代买一批椽， 这批椽 的价钱为 6 210 文 . 如果每株椽的运费是 3 文， 那么少拿一株椽后， 剩下的椽的运费恰好等 于一株椽的价钱， 试问 6 210 文能买多少株椽 . 设这批椽的数量为 x 株， 则符合题意的方程 是 （ ） A. 3 （ x-1 ） x=6 210 B. 3 （ x-1 ） =6 210 C. （ 3x-1 ） x=6 210 D. 3x=6 210 28 九年级上册 （北师大版）数学 EF. ∴ 四边形 EDFG 是正方形 . （ 2 ） 解： 过点 D 作 DE′⊥AC 于点 E′ ， 如图 2 所示 ． ∵△ABC 为等腰直角三角形， ∠ACB=90° ， AC=BC=4 ， ∴DE′= 1 2 BC=2 ， AB=4 2 姨 ， 点 E′为 AC 的 中点， ∴2≤DE＜2 2 姨 （点 E 与点 E′ 重合时取等号） ． ∴4≤S 四边形 EDFG =DE 2 ＜8． ∴ 当点 E 为 线段 AC 的中点时， 四边形 EDFG 的面积最小， 该最小值为 4． 9. （ 1 ） 3 （ 2 ） 13 姨 10. 3 8 11. 解： （ 1 ） 四边形 BPCO 为平行四边形 . 理由： ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴OC=OA= 1 2 AC ， OB=OD= 1 2 BD. ∵ 以点 B ， C 为圆心， 1 2 AC ， 1 2 BD 长为半径画弧， 两弧交于点 P ， ∴OB=CP ， BP=OC. ∴ 四边形 BPCO 为平行四边形 . （ 2 ） 当 AC⊥BD ， AC=BD 时 ， 四边形 BPCO 为正方形 . ∵AC=BD ， OB= 1 2 BD ， OC= 1 2 AC ， ∴OB=OC. ∵AC⊥BD ， ∴∠BOC=90°. ∵ 四边形 BPCO 为平行四边形 . ∴ 四边形 BPCO 为正方形 . 12. 解： （ 1 ） 如图 1 ， 延长 FG ， 交 AC 于点 H ， ∵ 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形， ∴BC＝CD=AD ， FG＝BG ， CD∥AE ， FG∥AE ， ∠CGH＝∠BGF＝∠DCB=90°. ∴ ∠ACD＝45° ， CD∥FG. ∴∠CHG=∠ACD＝∠ACB＝45° ， ∠CDP＝∠HFP. ∴CG＝GH. ∴CG+ BG＝GH+FG ， 即 BC＝FH. ∴CD＝FH. ∴△CDP≌△HFP （ ASA ） . ∴DP=FP. （ 2 ） △APE 是等腰直角三角形 . 理由： 如图 2 ， 延长 EG ， 交 AD 的延长线于点 M ， 设 DF 和 EG 交 于点 Q. 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形 ， ∴∠ABC＝∠BAD＝∠GBE=∠BEF＝ 90° ， AD＝AB=BC ， BE＝EF ， ∴AD∥BC∥EF ， ∴∠M＝∠BEG＝45°. ∴AM＝AE. ∴AM-AD＝ AE-AB. ∴DM＝BE＝EF. ∵AD∥EF ， ∴∠M＝∠GEF ， ∠MDQ＝∠EFQ. ∴△DQM≌△FQE （ ASA ） . ∴DQ＝FQ. ∴ 点 Q 和点 P 重合， 即 EG 与 DF 的交点 P 恰好也是 DF 的中点 . ∵ ∠ABC＝90° ， AB=BC ， ∴∠BAC＝45°. ∵∠BEG＝45° ， ∴∠APE＝90° ， AP＝EP. ∴△APE 是 等腰直角三角形 . （ 3 ） △APE 仍然是等腰直角三角形 . 理由： 如图 3 ， 延长 EP 至 Q ， 使 PQ＝PE ， 连接 DQ ， 延长 DA 和 FE ， 交于点 N ， ∵DP＝PF ， ∠DPQ＝∠EPF ， PQ=PE ， ∴△PDQ≌△PFE （ SAS ） . ∴DQ＝EF ， ∠PQD＝∠PEF. ∴QD∥NF. ∴∠N+∠ADQ＝180°. ∵ 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形， ∴∠BAN＝∠DAB＝90° ， ∠BEN＝∠BEF＝90° ， AB＝AD ， BE＝EF. ∴∠N+∠ABE＝360°-∠BAN-∠BEN＝180° ， DQ＝BE. ∴∠ABE＝∠ADQ. ∴△ADQ≌△ABE （ SAS ） . ∴AE ＝AQ ， ∠DAQ ＝∠BAE. ∴∠BAE +∠BAQ ＝∠DAQ+ ∠BAQ＝∠BAD＝90° ， 即 ∠QAE＝90°. ∴AP⊥EQ ， AP＝PE＝ 1 2 EQ. ∴△APE 是等腰直角 三角形 . 第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程 （第 1 课时） 1. 3x 2 -5x-6=0 3x 2 -5x -6 2. x+2 x （ x+2 ） =228 3. k≠-2 4. C 5. D 6. C 7. 2x 2 +3x-5=0 2 3 -5 ； 4x 2 -6=0 4 0 -6 ； x 2 -5x+10=0 1 -5 10 8. 解： 若方程是一元二次方程， 则二次项系数（ k+3 ）（ k-1 ） ≠0 ， 即 k≠-3 ， k≠1 ， ∴ 当 k≠-3 ， k≠1 时， 方程 是一元二次方程 . 9. 解： 设三边长分别为 x ， x+1 ， x+2 ， 则 x 2 + （ x+1 ） 2 = （ x+2 ） 2 ， x 2 -2x-3=0. 10. 解： 设四周未铺地毯的留空宽度为 x m ， 则（ 20-2x ）（ 15-2x ） = 1 2 ×20×15 ， 整理得 2x 2 -35x+75=0. 11. 解： 设每个标准间涨价为 x 元， 则宾馆每晚出租 （ 50-0.2x ） 个标准间， 可列出 （ 50-0.2x ）（ 120+x ） =6 600. 整理得 x 2 -130x+3 000=0. 12. A 13. A 1 认识一元二次方程 （第 2 课时） 1. 4 2. -1 3. - 3 8 4. C 5. A 6. B 7. 解： x+x+1+x+2+x+3=x （ x+3 ）， 整理得 x 2 -x-6=0. 可利用列表方法估算出 x=3 ， 则四个数为 3 ， 4 ， 5 ， 6. 8. 解： 由题意知， 商品的单价为 （ 50+x ） 元， 则每个的利润是 ［（ 50+x ） -40 ］ 元， 销售量是 （ 500-10x ） 个， A D C B G F E P Q N A D C B G F E P H 图 1 图 2 图 3 第 12 题答图 A D C B G F E P M （ Q ） 图 2 第 8 题答图 G E F O A B C D E′ 216