3 正方形的性质与判定(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

九年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， 过点 C 的直线 MN∥ AB ， D 为 AB 边上一点， 过点 D 作 DE⊥BC ， 交直线 MN 于点 E ， 垂足 为点 F ， 连接 CD ， BE． （ 1 ） 求证： CE=AD. （ 2 ） 当点 D 在 AB 的中点时， 四边形 BECD 是什么特殊四边形？ 说明你的理由 . （ 3 ） 若点 D 为 AB 的中点， 则当 ∠A 的大小满足什么条件时， 四边形 BECD 是正方形？ 请说明你的理由 ． 【分析】 （ 1 ） 先证明四边形 ADEC 是平行四边形， 再根据平行四边形的性质证出即可 . （ 2 ） 证明出四边形 BECD 是平行四边形， 再证出 CD=BD ， 根据菱形的判定证出即可 . （ 3 ） 求 出 ∠CDB=90° ， 再根据正方形的判定证出即可 ． 【解答 】 （ 1 ） ∵DE⊥BC ， ∴∠DFB=90° . ∵∠ACB=90° ， ∴∠ACB=∠DFB ， ∴ AC∥DE. ∵MN∥AB ， 即 CE∥AD ， ∴ 四边形 ADEC 是平行四边形， ∴CE=AD. （ 2 ） 四边形 BECD 是菱形 . 理由： ∵ 点 D 为 AB 的中点， ∴ AD=BD. ∵CE=AD ， ∴BD=CE. ∵BD∥CE ， ∴ 四边形 BECD 是平行四边形 . ∵∠ACB=90° ， 点 D 为 AB 的中点， ∴CD=BD ， ∴ 平行四边形 BECD 是菱形 . （ 3 ） 当 ∠A=45° 时， 四边形 BECD 是正方形 . 理由： ∵∠ACB=90° ， ∠A=45° ， ∴∠ABC= ∠A=45° ， ∴ AC=BC. ∵ 点 D 为 BA 的中点， ∴CD⊥AB ， ∴∠CDB=90°. ∵ 四边形 BECD 是菱 形， ∴ 菱形 BECD 是正方形， 即当 ∠A=45° 时， 四边形 BECD 是正方形 ． 【点拨】 本题考查综合运用正方形的判定、 平行四边形的性质和判定、 菱形的判定、 直 角三角形的性质进行推理的能力 ． 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 在四边形 ABCD 中， AB=BC=CD=DA ， 对角线 AC 与 BD 相 交于点 O ， 若不增加任何字母与辅助线， 要使四边形 ABCD 是正方形， 则 还需增加的一个条件是 . 2. 如图， 只要把一张矩形纸片的一个角沿折痕 AE 翻折上去， 使 AB 和 AD 边上的 AF 重合， 则四边形 ABEF 就是一个正方形 ． 判断的根据是 ． 3. 下列判断正确的是 （ ） A. 四边相等的四边形是正方形 O A B C D 第 1 题图 第 2 题图 E F A B C D 3 正方形的性质与判定 （第 2课时） E F M A B C D N 例题图 22 特殊平行四边形 第一章 B. 四角相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 4. 如图， 将一张长方形纸片对折两次， 然后剪下一个角， 打开 ． 如果要剪 出一个正方形， 那么剪口线与折痕所成的锐角为 （ ） A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60° 5. 如图， 在四边形 ABCD 中， ∠ADC=90° ， AB=BC ， 对角线 BD 平分 ∠ABC ， P 是 BD 上 一点， 过点 P 作 PM⊥AD ， PN⊥CD ， 垂足分别为点 M ， N. 求证： 四边形 MPND 是正方形 . 6． 如图， 四边形 EFGH 是由矩形 ABCD 的外角平分线围成的 . 求证： 四边形 EFGH 是正 方形 . 能力提升 综合拓展 7． 如图 1 ， 在正方形 ABCD 中， 点 E ， F ， G ， H 分别为边 AB ， BC ， CD ， DA 上的点， HA=EB=FC=GD ， 连接 EG ， FH ， 交点为 O． （ 1 ） 如图 2 ， 连接 EF ， FG ， GH ， HE ， 试判断四边形 EFGH 的形状， 并证明你的结论 . （ 2 ） 将图 1 的正方形 ABCD 沿线段 EG ， HF 剪开， 再把得到的四个四边形按图 3 的方式 拼接成一个新的正方形 ． 若正方形 ABCD 的边长为 3 cm ， HA=EB=FC=GD=1 cm ， 则图 3 中阴 影部分的面积为 cm 2 ， 拼出的正方形的边长为 cm. E F A B C D G H 第 6 题图 M A B C D N P 第 5 题图 第 4 题图 E F A B C D G H E F A B C D G H O 图 1 图 2 图 3 第 7 题图 23 九年级上册 （北师大版）数学 * 8. 如图， 在等腰直角三角形 ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=BC=4 ， 点 D 是 AB 的中点， 点 E ， F 分别是 AC ， BC 上的点 （点 E 不与端点 A ， C 重合）， 且 AE=CF ， 连接 EF 并取 EF 的中 点 O ， 连接 DO 并延长至点 G ， 使 GO=OD ， 连接 DE ， DF ， GE ， GF． （ 1 ） 求证： 四边形 EDFG 是正方形 . （ 2 ） 当点 E 在什么位置时， 四边形 EDFG 的面积最小？ 求四边形 EDFG 面积的最小值 ． 中考链接 真题演练 9. （ 2023 ·天津） 如图， 在边长为 3 的正方形 ABCD 的外侧， 作等腰 三角形 ADE ， EA＝ED＝ 5 2 ． （ 1 ） △ADE 的面积为 . （ 2 ） 若 F 为 BE 的中点， 连接 AF 并延长， 与 CD 相交于点 G ， 则 AG 的长为 . 10. （ 2023 ·扬州） 如图， 已知正方形 ABCD 的边长为 1 ， 点 E ， F 分 别在边 AD ， BC 上， 将正方形沿着 EF 翻折， 点 B 恰好落在 CD 边上的点 B′ 处， 如果四边形 ABFE 与四边形 EFCD 的面积比为 3 ∶ 5 ， 那么线段 FC 的长为 . 11. （ 2023 ·十堰） 如图， 荀ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ， 分别以点 B ， C 为圆心， 1 2 AC ， 1 2 BD 长为半径画弧， 两弧交于点 P ， 连接 BP ， CP． （ 1 ） 试判断四边形 BPCO 的形状， 并说明理由 . （ 2 ） 请说明当 荀ABCD 的对角线满足什么条件时， 四边形 BPCO 是正 方形 . 第 8 题图 G E F O A B C D 第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图 B A C E D F G F A B D C B′ A′ E O A D B C P 24 特殊平行四边形 第一章 12. （ 2023 ·湘潭） 【问题情境】 小李同学在学习了正方形的知识后， 进一步进行以下探究活动： 在正方形 ABCD 的边 BC 上任意取一点 G ， 以 BG 为边长向外作正方形 BEFG ， 将正方形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转 ． 【特例感知】 （ 1 ） 如图 1 ， 当 BG 在 BC 上时， 连接 DF ， AC 相交于点 P ， 小李发现点 P 恰为 DF 的中点， 针对小李发现的结论， 请给出证明 . （ 2 ） 如图 2 ， 小李继续连接 EG ， 并延长与 DF 相交于点 P ， 发现交点 P 恰好也是 DF 的 中点， 请证明小李发现的结论， 并判断 △APE 的形状 . 【规律探究】 （ 3 ） 如图 3 ， 将正方形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转角 α ， 连接 DF ， 点 P 是 DF 的中点， 连 接 AP ， EP ， AE ， △APE 的形状是否发生改变？ 请说明理由 ． 第 12 题图 图 1 图 2 图 3 A D C B G F E A D C B G F E P A D C B G F E P P 25 参考答案与提示 ∴AB=CD ， ∠A=∠C=90°. 又 ∵AE=CF ， ∴△ABE≌△CFD. ∴BE=DF. 选 ② 的证明过程如下： ∵ 四边形 ABCD 是正方 形， ∴AD∥BC. 又 ∵BE∥DF ， ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形 . ∴BE=DF. 选 ③ 的证明过程如下： ∵ 四边形 ABCD 是 正方形， ∴AB=CD ， ∠A=∠C=90°. 又 ∵∠1=∠2 ， ∴△AEB≌△CFD. ∴BE=DF. 8. 解： 如图， 延长 EB 到点 G ， 使 BG=DF ， 连接 AG. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=AB ， ∠D=∠ABG=90°. ∴△ADF≌△ABG. ∴∠BAG=∠DAF ， AF=AG. ∴∠GAF=90°. ∵△ECF 的周长 等于正方形 ABCD 周长的一半 ， ∴EF=BE+DF=BE+BG. ∴EF=EG. 又 ∵AE=AE ， ∴△AEF≌ △AEG. ∴∠EAG=∠EAF= 1 2 ∠GAF= 1 2 ×90°=45°. * 9. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC⊥BD ， OD=OA. ∴∠DOF=∠AOE=90°. ∵DM⊥AE ， ∴∠FAE+∠MFA=90°. 又 ∵∠MFA=∠DFO ， ∠DFO+∠MDO=90° ， ∴∠MDO= ∠FAE. ∴△FOD≌△EOA. ∴OE=OF. （ 2 ） 解： OE=OF. 如图， ∵AE⊥DF ， ∴∠ADF=90°- ∠MAD. 又 ∵∠BAE=180°-90°-∠MAD=90°-∠MAD ， ∴∠ADF=∠BAE. ∵AC ， DB 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠FOD=∠EOA=90° ， ∠ODA=∠OAB=45°. ∴∠FDO=∠ADF+∠ODA ， ∠EAO=∠BAE+∠OAB. ∴∠FDO=∠EAO. 又 ∵OD=OA ， ∴△DOF≌△AOE. ∴OE=OF. * 10. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 DF ， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB =AD=CD ， ∠A= ∠ADC=∠C=90° . 又 ∵ 点 A 关于直线 DE 的对称点为 F ， ∴△ADE≌△FDE. ∴AD=DF ， ∠DFE=∠A=90°. ∴DF=CD ， ∠DFG=90°. 又 ∵DG=DG ， ∴Rt△DFG≌Rt△DCG （ HL ） . ∴GF= GC. （ 2 ） BH= 2 姨 AE. 证明 ： 如图 ， 在线段 AD 上截取 AM ， 使 AM=AE. ∵AD=AB ， ∴DM=BE. 由 （ 1 ） 知， ∠1=∠2 ， ∠3=∠4. ∵∠ADC=90° ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°. ∴2∠2+ 2∠3=90°. ∴∠2+∠3=45° ， 即 ∠EDH=45°. ∵EH⊥DE ， ∴∠DEH=90°. ∴DE=EH. ∵∠AED+ ∠BEH=90° ， ∠AED+∠1=90° ， ∴∠1=∠BEH. 又 ∵DM=BE ， DE=HE ， ∴△DME≌△EBH. ∴EM=BH. 在 △AEM 中， ∠A=90° ， AM=AE ， ∴EM= 2 姨 AE. ∴BH= 2 姨 AE. 11. 17 2 12. 2 姨 13. B 14. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADE=90°. ∵GE⊥CD ， 即 ∠GEC=90°. ∴ ∠ADE=∠GEC. ∴AD∥GE. ∴∠DAG=∠EGH. （ 2 ） 解： AH⊥EF. 理由： 如图， 连接 GC 交 EF 于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=DC=BC ， ∠ADE=∠DCB=90°. ∴∠CDG=45°. ∴ ∠ADG=∠ADE-∠CDG=45° . ∴∠CDG=∠ADG. 又 ∵DG=DG ， AD=CD ， ∴△ADG≌△CDG （ SAS ） . ∴∠DAG=∠DCG. 又 ∵GE⊥CD ， GF⊥BC ， ∠DCB=90° ， ∴ 四边形 FCEG 为矩形 . ∴OE=OC. ∴∠OEC=∠OCE. ∴∠DAG=∠OEC. 由 （ 1 ） 得 ∠DAG=∠EGH ， ∴∠EGH=∠OEC. ∴ ∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°. ∴∠GHE=90° ， ∴AH⊥EF. 3 正方形的性质与判定 （第 2 课时） 1. AC=BD （或 ∠BAD=90° 或 ∠ADC=90° 或 ∠ABC=90° 或 ∠BCD=90° ） 2. 有一组邻边相等的矩形是正方形 3. D 4. C 5. 证明 ： ∵BD 平分 ∠ABC ， ∴∠ABD=∠CBD. 又 ∵BA=BC ， BD=BD ， ∴△ABD≌△CBD （ SAS ） . ∴∠ADB= ∠CDB. 又 ∵PM⊥AD ， PN⊥CD ， ∴∠PMD=∠PND=90° ， PM=PN. 又 ∵∠ADC=90° ， ∴ 四边形 MPND 是正方形 . 6. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°. ∴∠BAD ， ∠ABC ， ∠BCD ， ∠ADC 的外角都等于 90°. ∵AE ， BF 分别是 ∠BAD ， ∠ABC 的外角平分线， ∴∠BAE=∠CBF=45°. ∴∠ABE=45°. ∴AE=BE ， ∠E=90° . 同理 ∠F=∠G=∠H=90° . ∴ 四边形 EFGH 是矩形 . ∵AD=BC ， ∠HAD=∠CBF=45° ， ∴△AHD≌△BFC （ AAS ） . ∴AH=BF. ∴HE=EF. ∴ 四边形 EFGH 是正方形 . 7. 解： （ 1 ） 四边形 EFGH 是正方形 . 证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° ， AB=BC= CD=AD. ∵HA=EB=FC=GD ， ∴AE=BF=CG=DH. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG （ SAS ） . ∴EF=FG=GH=EH. ∴ 四边形 EFGH 是菱形 . 由 △AEH≌△DHG 知， ∠DHG=∠AEH. ∵∠AEH+∠AHE=90° ， ∴∠DHG+∠AHE=90°. ∴∠GHE=90°. ∴ 四边形 EFGH 是正方形 . （ 2 ） 1 10 姨 * 8. （ 1 ） 证明 ： 连接 CD ， 如图 1 ， ∵AC=BC ， ∠ACB=90° ， 点 D 是 AB 的中点 ， ∴CD=AD ， ∠ADC=90° . ∴∠A=∠DCF=∠ACD=45° ． 又 ∵AE=CF ， ∴△ADE≌△CDF （ SAS ） . ∴DE=DF ， ∠ADE=∠CDF． ∵∠ADE+∠EDC=90° ， ∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°. ∴△EDF 为等腰直角三角形 ． ∵ 点 O 为 EF 的中点， GO=OD ， ∴GD⊥EF ， 且 GD=2OD= 第 10 题答图 M G H E F A B C D 1 2 3 4 第 14 题答图 图 1 G E F O A B C D A M B E D O C F 第 9 题答图 H O E G DA C F B 第 8 题答图 A D F C E B G 215 九年级上册 （北师大版）数学 EF. ∴ 四边形 EDFG 是正方形 . （ 2 ） 解： 过点 D 作 DE′⊥AC 于点 E′ ， 如图 2 所示 ． ∵△ABC 为等腰直角三角形， ∠ACB=90° ， AC=BC=4 ， ∴DE′= 1 2 BC=2 ， AB=4 2 姨 ， 点 E′为 AC 的 中点， ∴2≤DE＜2 2 姨 （点 E 与点 E′ 重合时取等号） ． ∴4≤S 四边形 EDFG =DE 2 ＜8． ∴ 当点 E 为 线段 AC 的中点时， 四边形 EDFG 的面积最小， 该最小值为 4． 9. （ 1 ） 3 （ 2 ） 13 姨 10. 3 8 11. 解： （ 1 ） 四边形 BPCO 为平行四边形 . 理由： ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴OC=OA= 1 2 AC ， OB=OD= 1 2 BD. ∵ 以点 B ， C 为圆心， 1 2 AC ， 1 2 BD 长为半径画弧， 两弧交于点 P ， ∴OB=CP ， BP=OC. ∴ 四边形 BPCO 为平行四边形 . （ 2 ） 当 AC⊥BD ， AC=BD 时 ， 四边形 BPCO 为正方形 . ∵AC=BD ， OB= 1 2 BD ， OC= 1 2 AC ， ∴OB=OC. ∵AC⊥BD ， ∴∠BOC=90°. ∵ 四边形 BPCO 为平行四边形 . ∴ 四边形 BPCO 为正方形 . 12. 解： （ 1 ） 如图 1 ， 延长 FG ， 交 AC 于点 H ， ∵ 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形， ∴BC＝CD=AD ， FG＝BG ， CD∥AE ， FG∥AE ， ∠CGH＝∠BGF＝∠DCB=90°. ∴ ∠ACD＝45° ， CD∥FG. ∴∠CHG=∠ACD＝∠ACB＝45° ， ∠CDP＝∠HFP. ∴CG＝GH. ∴CG+ BG＝GH+FG ， 即 BC＝FH. ∴CD＝FH. ∴△CDP≌△HFP （ ASA ） . ∴DP=FP. （ 2 ） △APE 是等腰直角三角形 . 理由： 如图 2 ， 延长 EG ， 交 AD 的延长线于点 M ， 设 DF 和 EG 交 于点 Q. 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形 ， ∴∠ABC＝∠BAD＝∠GBE=∠BEF＝ 90° ， AD＝AB=BC ， BE＝EF ， ∴AD∥BC∥EF ， ∴∠M＝∠BEG＝45°. ∴AM＝AE. ∴AM-AD＝ AE-AB. ∴DM＝BE＝EF. ∵AD∥EF ， ∴∠M＝∠GEF ， ∠MDQ＝∠EFQ. ∴△DQM≌△FQE （ ASA ） . ∴DQ＝FQ. ∴ 点 Q 和点 P 重合， 即 EG 与 DF 的交点 P 恰好也是 DF 的中点 . ∵ ∠ABC＝90° ， AB=BC ， ∴∠BAC＝45°. ∵∠BEG＝45° ， ∴∠APE＝90° ， AP＝EP. ∴△APE 是 等腰直角三角形 . （ 3 ） △APE 仍然是等腰直角三角形 . 理由： 如图 3 ， 延长 EP 至 Q ， 使 PQ＝PE ， 连接 DQ ， 延长 DA 和 FE ， 交于点 N ， ∵DP＝PF ， ∠DPQ＝∠EPF ， PQ=PE ， ∴△PDQ≌△PFE （ SAS ） . ∴DQ＝EF ， ∠PQD＝∠PEF. ∴QD∥NF. ∴∠N+∠ADQ＝180°. ∵ 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形， ∴∠BAN＝∠DAB＝90° ， ∠BEN＝∠BEF＝90° ， AB＝AD ， BE＝EF. ∴∠N+∠ABE＝360°-∠BAN-∠BEN＝180° ， DQ＝BE. ∴∠ABE＝∠ADQ. ∴△ADQ≌△ABE （ SAS ） . ∴AE ＝AQ ， ∠DAQ ＝∠BAE. ∴∠BAE +∠BAQ ＝∠DAQ+ ∠BAQ＝∠BAD＝90° ， 即 ∠QAE＝90°. ∴AP⊥EQ ， AP＝PE＝ 1 2 EQ. ∴△APE 是等腰直角 三角形 . 第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程 （第 1 课时） 1. 3x 2 -5x-6=0 3x 2 -5x -6 2. x+2 x （ x+2 ） =228 3. k≠-2 4. C 5. D 6. C 7. 2x 2 +3x-5=0 2 3 -5 ； 4x 2 -6=0 4 0 -6 ； x 2 -5x+10=0 1 -5 10 8. 解： 若方程是一元二次方程， 则二次项系数（ k+3 ）（ k-1 ） ≠0 ， 即 k≠-3 ， k≠1 ， ∴ 当 k≠-3 ， k≠1 时， 方程 是一元二次方程 . 9. 解： 设三边长分别为 x ， x+1 ， x+2 ， 则 x 2 + （ x+1 ） 2 = （ x+2 ） 2 ， x 2 -2x-3=0. 10. 解： 设四周未铺地毯的留空宽度为 x m ， 则（ 20-2x ）（ 15-2x ） = 1 2 ×20×15 ， 整理得 2x 2 -35x+75=0. 11. 解： 设每个标准间涨价为 x 元， 则宾馆每晚出租 （ 50-0.2x ） 个标准间， 可列出 （ 50-0.2x ）（ 120+x ） =6 600. 整理得 x 2 -130x+3 000=0. 12. A 13. A 1 认识一元二次方程 （第 2 课时） 1. 4 2. -1 3. - 3 8 4. C 5. A 6. B 7. 解： x+x+1+x+2+x+3=x （ x+3 ）， 整理得 x 2 -x-6=0. 可利用列表方法估算出 x=3 ， 则四个数为 3 ， 4 ， 5 ， 6. 8. 解： 由题意知， 商品的单价为 （ 50+x ） 元， 则每个的利润是 ［（ 50+x ） -40 ］ 元， 销售量是 （ 500-10x ） 个， A D C B G F E P Q N A D C B G F E P H 图 1 图 2 图 3 第 12 题答图 A D C B G F E P M （ Q ） 图 2 第 8 题答图 G E F O A B C D E′ 216