3 正方形的性质与判定(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

特殊平行四边形 第一章 自主导学 典例精析 例题 如图， 点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上 . 若 △ABE 的面积为 8 ， CE=3 ， 求线段 BE 的长 ． 【分析】 根据正方形性质得出 AD=BC=CD=AB ， 根据面积求出 AB 边上的 高， 得出 BC=4 ， 再根据勾股定理求出 BE 即可 ． 【解答】 过点 E 作 EM⊥AB 于点 M ， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=BC=CD=AB ， 四边形 ADEM 为矩形 . ∴EM=AD ， AM=DE. ∴BM=CE. ∵△ABE 的面积为 8 ， ∴ 1 2 AB · EM=8. 解得 EM=4 ， 即 AD=DC=BC=AB=4. 在 Rt△BCE 中， ∵CE=3 ， BE= BC 2 +CE 2 姨 ， ∴BE= 4 2 +3 2 姨 =5． 【点拨】 本题考查正方形性质、 勾股定理的应用， 解此题的关键是作辅助线 EM ， 利用 △ABE 的面积求出 BC 的长 ． 基础巩固 达标闯关 1. 正方形的边长为 a ， 则对角线长为 ， 若对角线长为 a ， 则正方形的边 长为 . 2. 若正方形的两条对角线长的和为 8 cm ， 则它的面积为 . 3． 如图， 已知正方形 ABCD 的边长为 5 ， 点 E ， F 分别在 AD ， DC 上， AE=DF=2 ， BE 与 AF 相交于点 G ， 点 H 为 BF 的中点， 连接 GH ， 则 GH 的长为 . 4. 如图， 延长正方形 ABCD 的一边 BC 至点 E ， 使 CE＝AC ， 连接 AE 交 CD 于点 F ， 则 ∠AFC 的度数为 （ ） A. 112.5° B. 120° C. 122.5° D. 125° 5. 如图， 正方形 ABCD 的边长为 4 ， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 点 E ， F 分别在 BC ， CD 的延长线上， 且 CE＝2 ， DF＝1 ， G 为 EF 的中点， 连接 OE ， 交 CD 于点 H ， 连接 GH ， 则 GH 的长为 . 3 正方形的性质与判定 （第 1课时） E M A B C D E A B C D 例题图 例题答图 第 3 题图 第 4 题图 G H E F A B C D A D F B C E H G E F O A B C D 第 5 题图 19 九年级上册 （北师大版）数学 6. 如图， 点 E ， F 分别在正方形 ABCD 的边 BC ， CD 上， 且 BE=CF. 求证： AE=BF 且 AE⊥BF. 7. 如图 ， 在正方形 ABCD 中 ， E ， F 分别是 AD ， BC 上的点 ． 在 ①AE=CF ， ②BE∥ DF ， ③∠1=∠2 中， 选择其中一个条件， 求证： BE=DF． （ 1 ） 你选择的条件是 （只需填写序号） . （ 2 ） 请写出证明过程 . 能力提升 综合拓展 8. 如图， 点 E ， F 分别在正方形 ABCD 的边 BC ， CD 上， 若 △ECF 的周长等于正方形周 长的一半， 求 ∠EAF 的度数 . * 9. 如图， 已知正方形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 点 E 在 BD 上， 连接 AE 并 延长交 BC 于点 N ， 过点 D 作 AE 的垂线分别交 AC ， AB 于点 F ， M. （ 1 ） 求证： OE=OF. （ 2 ） 当点 E 移动到 DB 的延长线上时， 过点 D 作 AE 的垂线分别交 EA ， CA 的延长线于 点 M ， F ， 请画出图形 . 如果其他条件不变， OE 与 OF 是否仍然相等？ 如果相等， 请证明； 如果不相等， 请说明理由 . G A B E C F D 第 6 题图 1 2 A E D B F C 第 7 题图 A D F C E B 第 8 题图 第 9 题图 A M B N C E D F O 20 特殊平行四边形 第一章 * 10. 如图， 在正方形 ABCD 中， E 是边 AB 上的一动点 （不与点 A ， B 重合）， 连接 DE ， 点 A 关于直线 DE 的对称点为 F ， 连接 EF 并延长交 BC 于点 G ， 连接 DG ， 过点 E 作 EH⊥ DE 交 DG 的延长线于点 H ， 连接 BH． （ 1 ） 求证： GF=GC. （ 2 ） 用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系， 并证明 ． 中考链接 真题演练 11. （ 2023 ·枣庄） 如图， 在正方形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， E 为 BC 上 一点， CE=7 ， F 为 DE 的中点， 若 △CEF 的周长为 32 ， 则 OF 的长为 . 12. （ 2023 ·广西） 如图， 在边长为 2 的正方形 ABCD 中， E ， F 分别是 BC ， CD 上的动 点， M ， N 分别是 EF ， AF 的中点， 则 MN 的最大值为 . 13. （ 2023 ·河北） 如图， 在 Rt△ABC 中， AB=4 ， 点 M 是斜边 BC 的中点， 以 AM 为边作 正方形 AMEF． 若 S 正方形 AMEF =16 ， 则 S △ABC = （ ） A． 4 3 姨 B． 8 3 姨 C． 12 D． 16 14. （ 2023 ·绍兴） 如图， 在正方形 ABCD 中， G 是对角线 BD 上的一点 （与点 B ， D 不重 合）， GE⊥CD ， GF⊥BC ， E ， F 分别为垂足 ． 连接 EF ， AG ， 并延长 AG 交 EF 于点 H． （ 1 ） 求证： ∠DAG=∠EGH. （ 2 ） 判断 AH 与 EF 是否垂直， 并说明理由 ． 第 10 题图 H E F B CD A G 第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 O F A B D C E F A B D C E M N A F B M E C F A B D C E G H 21 九年级上册 （北师大版）数学 EGCF 是平行四边形 . ∵∠OEG=90° ， ∴ 四边形 EGCF 是矩形 ． 9. （ 1 ） 解： ① （或 ② ） （ 2 ） 选择 ①∠1=∠2. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ， AB=DC. ∴ ∠A+∠D=180°. ∵∠1＝∠2 ， BM＝CM ， ∴△ABM≌△DCM （ SAS ） . ∴∠A=∠D=90°. ∴荀ABCD 为矩形 . 选择 ②AM= DM. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ， AB=DC. ∴∠A+∠D=180°. ∵BM=CM ， AM=DM ， ∴△ABM≌ △DCM （ SAS ） . ∴∠A=∠D=90° ， ∴荀ABCD 为矩形 . 10. 证明： （ 1 ） ∵∠ABO=∠DCO=90° ， ∴AB∥CD. ∴∠A=∠D. ∵OB＝OC ， ∴△AOB≌△DOC （ AAS ） . ∴AO= DO. ∵ 点 E ， F 分别是 AO ， DO 的中点， ∴OE＝ 1 2 OA ， OF＝ 1 2 OD. ∴OE=OF. （ 2 ） ∵OB=OC ， OE=OF ， ∴ 四边形 BECF 是平行四边形 . ∵∠A=30° ， ∠ABO=90° ， ∴OB＝ 1 2 OA＝OE. ∵OE=OF ， ∴OB＝ 1 2 EF. ∴∠OEB=∠OBE ， ∠OFB= ∠OBF. ∴∠EBF=∠OBE+∠OBF=90°. ∴ 四边形 BECF 是矩形 . 2 矩形的性质与判定 （第 3 课时） 1. 5 2. 6 5 3. B 4. D 5. B 6. 解： （ 1 ） 四边形 AEDF 是矩形 . 理由： ∵DF∥AC ， DE∥AB ， ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形 . ∵∠BAC=90° ， ∴ 四边形 AEDF 是矩形 . （ 2 ） AD=EF. 理由： ∵ 四边形 AEDF 是矩形， ∴AD=EF. 7. 解： 如图， 连接 CE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90° ， AO=CO= 1 2 AC ， AD= BC ， AB=CD. 又 ∵OE⊥AC ， ∴AE=CE. 在 Rt△ABC 中， AB= 2 姨 ， BC=2 ， ∴AC= AB 2 +BC 2 姨 = （ 2 姨 ） 2 +2 2 姨 = 6 姨 . 在 Rt△CDE 中， CE 2 =CD 2 +DE 2 ， 设 AE=CE=x ， 则 x 2 = （ 2 姨 ） 2 + （ 2-x ） 2 . 解得 x= 3 2 ， 即 AE= 3 2 . 在 Rt△AOE 中， AE 2 =AO 2 +OE 2 ， ∴OE= AE 2 -AO 2 姨 = 3 2 2 ) 2 - 6 姨 2 2 2 2 姨 = 3 姨 2 . ∴AE 和 OE 的长分别为 3 2 和 3 姨 2 . 8. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴BD⊥AC ， AB=AD. ∴∠AOD＝90° ， ∠DAO＝∠BAO. ∵E 是 AD 的中点， ∴OE＝ 1 2 AD=AE. ∴∠EAO＝∠AOE. ∴∠AOE＝∠BAO. ∴OE∥FG. ∵OG∥EF ， ∴ 四边形 OEFG 是平行四边形 . ∵EF⊥ AB ， ∴∠EFG＝90°. ∴ 四边形 OEFG 是矩形 . （ 2 ） 解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴BD⊥AC ， AB＝AD＝10. ∴∠AOD＝ 90°. ∵E 是 AD 的中点， ∴OE＝AE＝ 1 2 AD＝5. 由 （ 1 ） 知， 四边形 OEFG 是矩形， ∴FG＝OE＝5. ∵AE＝5 ， EF＝4 ， ∴AF＝ AE 2 -EF 2 姨 ＝3. ∴BG＝AB-AF-FG＝10-3-5＝2． * 9. 解： 如图， 连接 AM ， AC. ∵ 点 B 和点 M 关于 AP 对称， ∴AM=AB=3. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°. 在 Rt△ABC 中， AB=3 ， BC=4 ， ∴AC= AB 2 +BC 2 姨 = 3 2 +4 2 姨 =5. ∵AC－ AM＜MC＜AC+AM ， ∴ 当点 M 在 AC 上时， CM 有最小值， 此时 CM=5-3=2. 10. （ 1 ） 证明： ∵DH⊥BC ， FG⊥BC ， ∴EH∥FG ， ∠FGH=90°. 由题意知 BF=2t cm ， EH= t cm. ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴BC=CD ， AB∥CD ， BD⊥AC. ∴∠CBD=∠BDC ， ∠ABC+ ∠BCD=180°. ∵∠ABC=60° ， ∠BCD=120°. ∴∠CBD=∠BDC=30°. ∴FG= 1 2 BF=t cm. ∴EH=FG=t cm. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形 . 又 ∵∠FGH=90° ， ∴ 四边形 EFGH 是矩形 . （ 2 ） 解： △BFC 与 △DCE 能够全等 . 理由： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， AB=2 3 姨 cm ， ∴BC=CD=AB=2 3 姨 cm ， AB∥CD. ∴∠DCH=∠ABC=60°. ∵DH⊥BC ， ∴∠CHD= 90°. ∴∠CDH=90°-∠DCH=30°. 由 （ 1 ） 得 ∠CBD=30° ， ∴∠CDE=∠CBF. 故只可能有 △BFC≌△DEC. ∴BF=DE. 在 Rt△CDH 中， ∵∠CHD=90° ， ∠CDH=30° ， ∴CH= 1 2 CD= 3 姨 . 由勾股定理， 得 DH= CD 2 -CH 2 姨 = （ 2 3 姨 ） 2 - （ 3 姨 ） 2 姨 = 3. ∵BF=2t cm ， EH=t cm. ∴DE= （ 3-t ） cm. ∴ 当 BF=DE 时， 即 2t=3-t. ∴t=1. ∴ 当 t=1 时， △BFC≌△DCE. 3 正方形的性质与判定 （第 1 课时） 1. 2 姨 a 2 姨 2 a 2. 8 cm 2 3. 34 姨 2 4. A 5. 13 姨 2 6. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC ， ∠ABC=∠C=90°. ∵BE=CF ， ∴△ABE≌△BCF. ∴AE=BF. ∴∠BAE= ∠CBF. ∵∠BAE+∠BEA=90° ， ∴∠CBF+∠BEA=90°. ∴∠BGE=90°. ∴AE⊥BF. 7. 解： （ 1 ） 答案不唯一， 选 ① 或选 ② 或选 ③. （ 2 ） 选 ① 的证明过程如下 ： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， 第 9 题答图 M P A B C D 第 7 题答图 E O A B C D 214 参考答案与提示 ∴AB=CD ， ∠A=∠C=90°. 又 ∵AE=CF ， ∴△ABE≌△CFD. ∴BE=DF. 选 ② 的证明过程如下： ∵ 四边形 ABCD 是正方 形， ∴AD∥BC. 又 ∵BE∥DF ， ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形 . ∴BE=DF. 选 ③ 的证明过程如下： ∵ 四边形 ABCD 是 正方形， ∴AB=CD ， ∠A=∠C=90°. 又 ∵∠1=∠2 ， ∴△AEB≌△CFD. ∴BE=DF. 8. 解： 如图， 延长 EB 到点 G ， 使 BG=DF ， 连接 AG. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=AB ， ∠D=∠ABG=90°. ∴△ADF≌△ABG. ∴∠BAG=∠DAF ， AF=AG. ∴∠GAF=90°. ∵△ECF 的周长 等于正方形 ABCD 周长的一半 ， ∴EF=BE+DF=BE+BG. ∴EF=EG. 又 ∵AE=AE ， ∴△AEF≌ △AEG. ∴∠EAG=∠EAF= 1 2 ∠GAF= 1 2 ×90°=45°. * 9. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC⊥BD ， OD=OA. ∴∠DOF=∠AOE=90°. ∵DM⊥AE ， ∴∠FAE+∠MFA=90°. 又 ∵∠MFA=∠DFO ， ∠DFO+∠MDO=90° ， ∴∠MDO= ∠FAE. ∴△FOD≌△EOA. ∴OE=OF. （ 2 ） 解： OE=OF. 如图， ∵AE⊥DF ， ∴∠ADF=90°- ∠MAD. 又 ∵∠BAE=180°-90°-∠MAD=90°-∠MAD ， ∴∠ADF=∠BAE. ∵AC ， DB 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠FOD=∠EOA=90° ， ∠ODA=∠OAB=45°. ∴∠FDO=∠ADF+∠ODA ， ∠EAO=∠BAE+∠OAB. ∴∠FDO=∠EAO. 又 ∵OD=OA ， ∴△DOF≌△AOE. ∴OE=OF. * 10. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 DF ， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB =AD=CD ， ∠A= ∠ADC=∠C=90° . 又 ∵ 点 A 关于直线 DE 的对称点为 F ， ∴△ADE≌△FDE. ∴AD=DF ， ∠DFE=∠A=90°. ∴DF=CD ， ∠DFG=90°. 又 ∵DG=DG ， ∴Rt△DFG≌Rt△DCG （ HL ） . ∴GF= GC. （ 2 ） BH= 2 姨 AE. 证明 ： 如图 ， 在线段 AD 上截取 AM ， 使 AM=AE. ∵AD=AB ， ∴DM=BE. 由 （ 1 ） 知， ∠1=∠2 ， ∠3=∠4. ∵∠ADC=90° ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°. ∴2∠2+ 2∠3=90°. ∴∠2+∠3=45° ， 即 ∠EDH=45°. ∵EH⊥DE ， ∴∠DEH=90°. ∴DE=EH. ∵∠AED+ ∠BEH=90° ， ∠AED+∠1=90° ， ∴∠1=∠BEH. 又 ∵DM=BE ， DE=HE ， ∴△DME≌△EBH. ∴EM=BH. 在 △AEM 中， ∠A=90° ， AM=AE ， ∴EM= 2 姨 AE. ∴BH= 2 姨 AE. 11. 17 2 12. 2 姨 13. B 14. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADE=90°. ∵GE⊥CD ， 即 ∠GEC=90°. ∴ ∠ADE=∠GEC. ∴AD∥GE. ∴∠DAG=∠EGH. （ 2 ） 解： AH⊥EF. 理由： 如图， 连接 GC 交 EF 于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=DC=BC ， ∠ADE=∠DCB=90°. ∴∠CDG=45°. ∴ ∠ADG=∠ADE-∠CDG=45° . ∴∠CDG=∠ADG. 又 ∵DG=DG ， AD=CD ， ∴△ADG≌△CDG （ SAS ） . ∴∠DAG=∠DCG. 又 ∵GE⊥CD ， GF⊥BC ， ∠DCB=90° ， ∴ 四边形 FCEG 为矩形 . ∴OE=OC. ∴∠OEC=∠OCE. ∴∠DAG=∠OEC. 由 （ 1 ） 得 ∠DAG=∠EGH ， ∴∠EGH=∠OEC. ∴ ∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°. ∴∠GHE=90° ， ∴AH⊥EF. 3 正方形的性质与判定 （第 2 课时） 1. AC=BD （或 ∠BAD=90° 或 ∠ADC=90° 或 ∠ABC=90° 或 ∠BCD=90° ） 2. 有一组邻边相等的矩形是正方形 3. D 4. C 5. 证明 ： ∵BD 平分 ∠ABC ， ∴∠ABD=∠CBD. 又 ∵BA=BC ， BD=BD ， ∴△ABD≌△CBD （ SAS ） . ∴∠ADB= ∠CDB. 又 ∵PM⊥AD ， PN⊥CD ， ∴∠PMD=∠PND=90° ， PM=PN. 又 ∵∠ADC=90° ， ∴ 四边形 MPND 是正方形 . 6. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°. ∴∠BAD ， ∠ABC ， ∠BCD ， ∠ADC 的外角都等于 90°. ∵AE ， BF 分别是 ∠BAD ， ∠ABC 的外角平分线， ∴∠BAE=∠CBF=45°. ∴∠ABE=45°. ∴AE=BE ， ∠E=90° . 同理 ∠F=∠G=∠H=90° . ∴ 四边形 EFGH 是矩形 . ∵AD=BC ， ∠HAD=∠CBF=45° ， ∴△AHD≌△BFC （ AAS ） . ∴AH=BF. ∴HE=EF. ∴ 四边形 EFGH 是正方形 . 7. 解： （ 1 ） 四边形 EFGH 是正方形 . 证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° ， AB=BC= CD=AD. ∵HA=EB=FC=GD ， ∴AE=BF=CG=DH. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG （ SAS ） . ∴EF=FG=GH=EH. ∴ 四边形 EFGH 是菱形 . 由 △AEH≌△DHG 知， ∠DHG=∠AEH. ∵∠AEH+∠AHE=90° ， ∴∠DHG+∠AHE=90°. ∴∠GHE=90°. ∴ 四边形 EFGH 是正方形 . （ 2 ） 1 10 姨 * 8. （ 1 ） 证明 ： 连接 CD ， 如图 1 ， ∵AC=BC ， ∠ACB=90° ， 点 D 是 AB 的中点 ， ∴CD=AD ， ∠ADC=90° . ∴∠A=∠DCF=∠ACD=45° ． 又 ∵AE=CF ， ∴△ADE≌△CDF （ SAS ） . ∴DE=DF ， ∠ADE=∠CDF． ∵∠ADE+∠EDC=90° ， ∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°. ∴△EDF 为等腰直角三角形 ． ∵ 点 O 为 EF 的中点， GO=OD ， ∴GD⊥EF ， 且 GD=2OD= 第 10 题答图 M G H E F A B C D 1 2 3 4 第 14 题答图 图 1 G E F O A B C D A M B E D O C F 第 9 题答图 H O E G DA C F B 第 8 题答图 A D F C E B G 215