1 菱形的性质与判定(第3课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

特殊平行四边形 第一章 自主导学 典例精析 例题 如图， 已知 △ABC ， 直线 PQ 垂直平分 AC ， 与边 AB 交于点 E ， 连接 CE ， 过点 C 作 CF 平行于 BA 交 PQ 于点 F ， 连接 AF． （ 1 ） 求证 ： △AED≌△CFD. （ 2 ） 求证： 四边形 AECF 是菱形 . （ 3 ） 若 AD=3 ， AE=5 ， 则菱形 AECF 的面积是多少？ 【分析】 （ 1 ） 由 PQ 为线段 AC 的垂直平分线， 得到 AE=CE ， AD=CD ， 然后根据 CF∥AB 得到 ∠EAC=∠FCA ， ∠CFD=∠AED ， 利用 “ ASA ” 证得 两三角形全等即可 . （ 2 ） 根据三角形全等得到 AE=CF ， 然后根据 EF 为线段 AC 的垂直平 分线， 得到 EC=EA ， FC=FA ， 从而得到 EC=EA=FC=FA ， 利用四边相等的四边形是菱形判定 四边形 AECF 为菱形 . （ 3 ） 根据菱形的对角线长求面积 ． 【解答】 （ 1 ） ∵PQ 为线段 AC 的垂直平分线， ∴AD=CD. ∵CF∥AB ， ∴∠EAC=∠FCA ， ∠CFD=∠AED. ∴△AED≌△CFD. （ 2 ） ∵△AED≌△CFD ， ∴AE=CF. ∵EF 为线段 AC 的垂直平分线， ∴EC=EA ， FC=FA. ∴EC=EA=FC=FA. ∴ 四边形 AECF 为菱形 ． （ 3 ） ∵PQ 为线段 AC 的垂直平分线， AD=3 ， AE=5 ， ∴ 根据勾股定理， 得 ED=4. ∵ 四边形 AECF 为菱形， ∴ EF=2ED=8 ， AC=2AD=6. ∴S 菱形 AECF = 1 2 AC · EF= 1 2 ×6×8=24. ∴ 菱形 AECF 的面积是 24． 【点拨】 本题考查菱形的判定与性质、 三角形全等的判定与性质、 垂直平分线的性质以及 平行线段的性质 . 解题的关键是灵活运用垂直平分线和平行线的性质证明线段相等和角相等 ． 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 已知菱形 ABCD ， 其顶点 A ， B 在数轴上对应的数分别为 －4 和 1 ， 则 BC= . 2. 如图， 活动衣帽架由三个菱形组成， 利用四边形的不稳定性， 调 整菱形的内角 α ， 使衣帽架拉伸或收缩 ． 当菱形的边长为 18 cm ， α=120° 时， A ， B 两点的距离为 . E F A B C D P Q 例题图 第 1 题图 1 菱形的性质与判定 （第 3课时） α A B 第 2 题图 O A B C D 7 九年级上册 （北师大版）数学 3. 如图， 菱形 ABCD 的周长为 12 cm ， BC 的垂直平分线 EF 经过点 A ， 则对角线 BD 的长为 cm. 4. 下列说法中错误的是 （ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 5. 如图， 四边形 ABCD 是菱形， 对角线 AC=8 cm ， BD=6 cm ， DH⊥ AB 于点 H ， 且 DH 与 AC 交于点 G ， 则 BH 的长为 （ ） A. 12 5 cm B. 18 5 cm C. 24 5 cm D. 28 5 cm 6. 如图， 四边形 ABCD 内有一点 E ， AE=BE=DE=BC=DC ， AB=AD ， 若 ∠C=100° ， 则 ∠BAD 的大小是 （ ） A. 50° B. 60° C. 65° D. 80° 7. 如图， 在 荀ABCD 中， AE⊥BC ， AF⊥CD ， 垂足分别为 E ， F ， 且 BE=DF． （ 1 ） 求证： 荀ABCD 是菱形 . （ 2 ） 若 AB=5 ， AC=6 ， 求 荀ABCD 的面积 ． 能力提升 综合拓展 8. 如图， 已知 荀ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ， 且 ∠1=∠2. （ 1 ） 求证： 四边形 ABCD 是菱形 . （ 2 ） F 为 AD 上一点， 连接 BF 交 AC 于点 E ， 且 AE=AF. 求证： AO= 1 2 （ AF+AB ） ． 第 5 题图 O A B C D G H E A B C D 第 6 题图 第 7 题图 D A B C E F 1 2 E F A B C D O 第 8 题图 E F A B C D 第 3 题图 8 特殊平行四边形 第一章 9. 如图， 在四边形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 交于点 O ， 已知 OA＝OC ， OB＝OD ， 过点 O 作 EF⊥BD ， 分别交 AB ， DC 于点 E ， F ， 连接 DE ， BF ， AF． （ 1 ） 求证： 四边形 DEBF 是菱形 . （ 2 ） 设 AD∥EF ， AD+AB＝12 ， BD＝4 3 姨 ， 求 AF 的长 ． 中考链接 真题演练 10. （ 2023 ·云南） 如图， 在 荀ABCD 中， AE ， CF 分别是 ∠BAD ， ∠BCD 的平分线， 且 E ， F 分别在边 BC ， AD 上， AE＝AF． （ 1 ） 求证： 四边形 AECF 是菱形 . （ 2 ） 若 ∠ABC＝60° ， △ABE 的面积等于 4 3 姨 ， 求平行线 AB 与 DC 间的距离 ． E F O A B C D 第 9 题图 第 10 题图 A F D B E C 9 九年级上册 （北师大版）数学 ∴△AEF≌△DEF. ∴∠EDF=∠EAF=45°. ∴∠FDB=180°-∠CDE-∠EDF=90°. ∴AE∥DF. ∴ 四边形 AEDF 是菱形 . 12. 证明 ： ∵AB=AC ， AD 是 BC 边上的中线 ， ∴AD 垂直平分 BC. ∴EB=EC ， FB=FC. ∵CF∥BE ， ∴∠BED= ∠CFD ， ∠EBD=∠FCD. ∵DB=CD ， ∴△EBD≌△FCD （ AAS ） . ∴BE=FC. ∴EB=BF=FC=EC. ∴ 四边形 EBFC 是菱形 . 13. 证明： （ 1 ） ∵AD=BC ， ∴AD+CD=BC+CD. ∴AC=BD. ∵AE=BF ， CE=DF ， ∴△AEC≌△BFD （ SSS ） . ∴∠A= ∠B. ∴AE∥BF. （ 2 ） ∵△AEC≌△BFD ， ∴∠ECA=∠FDB. ∴EC∥DF. ∵EC=DF ， ∴ 四边形 DECF 是平行四边形 . ∵DF=FC ， ∴ 四边形 DECF 是菱形 . 1 菱形的性质与判定 （第 3 课时） 1. 5 2. 54 cm 3. 3 3 姨 4. D 5. B 6. A 7． （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D. ∵AE⊥BC ， AF⊥CD ， ∴∠AEB= ∠AFD=90°. ∵BE=DF ， ∴△AEB≌△AFD. ∴AB=AD. ∴荀ABCD 是菱形 ． （ 2 ） 解： 如图， 连接 BD 交 AC 于点 O． ∵ 四边形 ABCD 是菱形， AC=6 ， ∴AC⊥BD. AO=OC= 1 2 AC= 1 2 ×6=3. ∵AB= 5 ， AO=3 ， ∴BO= AB 2 -AO 2 姨 = 5 2 -3 2 姨 =4. ∴BD=2BO=8. ∴S 荀ABCD = 1 2 AC · BD=24． 8. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠2=∠ACB. 又 ∵∠1=∠2 ， ∴∠1=∠ACB. ∴AB= BC. ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . （ 2 ） 解 ： ∵AD∥BC ， ∴∠AFE=∠EBC. 又 ∵AF=AE ， ∴∠AFE=∠AEF=∠BEC. ∴∠EBC=∠BEC. ∴BC=CE. ∵AC=2OA=AE+CE ， ∴2OA=AF+BC. ∴OA= 1 2 （ AF+BC ） . 又 ∵AB=BC ， ∴AO= 1 2 （ AF+AB ） . 9. （ 1 ） 证明 ： ∵OA＝OC ， OB＝OD ， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形 . ∴AB∥CD. ∴∠ABD＝∠CDB. ∵∠BOE= ∠DOF ， OB=OD ， ∴△BOE≌△DOF （ ASA ） . ∴BE＝DF. ∵BE∥DF ， ∴ 四边形 DEBF 是平行四边形 . ∵EF⊥BD ， ∴ 四 边形 DEBF 是菱形 . （ 2 ） 解： 如图， 过点 F 作 FG⊥AB 于点 G. ∵AD∥EF ， EF⊥ BD ， ∴∠ADB＝∠BOE=90° . ∴ 在 Rt△ABD 中 ， 由勾股定理 ， 得 AD 2 +BD 2 ＝AB 2 . ∵AD+AB＝12 ， BD＝4 3 姨 ， ∴AD 2 + （ 4 3 姨 ） 2 ＝ （ 12-AD ） 2 . 解得 AD＝4 ， AB＝8. ∵ 四边 形 DEBF 是菱形， ∴DE∥BF ， DE=BE=BF=DF. ∵BE∥DF ， AD∥EF ， ∴ 四边形 AEFD 是平行四边形 . ∴DF=AE=BE=BF= 1 2 AB=4. ∴AE=DE=AD＝4. ∴△AED 是等边三角形 . ∴∠AED＝60°. ∵DE∥BF ， ∠ABF＝∠AED＝60° ， ∴△EBF 是等边三角形 . ∵FG⊥BE ， ∴EG＝BG＝2. 在 Rt△BGF 中， BF＝4 ， BG＝2 ， 由勾股定理， 得 FG＝ 4 2 -2 2 姨 =2 3 姨 . 在 Rt△AGF 中， AG＝6 ， 由勾股定理， 得 AF＝ AG 2 +FG 2 姨 ＝ 6 2 + （ 2 3 姨 ） 2 姨 ＝4 3 姨 . 10. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD ， AD∥BC. ∵AE ， CF 分别是 ∠BAD ， ∠BCD 的平分线， ∴∠BAE＝∠DAE= 1 2 ∠BAD ， ∠BCF＝∠DCF= 1 2 ∠BCD ， ∴∠DAE＝∠BCF. ∵AD∥BC ， ∴∠DAE＝∠AEB. ∴∠BCF＝∠AEB. ∴AE∥FC. ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 . ∵AE＝AF ， ∴ 四边形 AECF 是 菱形 . （ 2 ） 解 ： 如图 ， 连接 AC ， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AD∥BC ， ∴ ∠DAE ＝∠AEB. ∵AE 平 分 ∠BAD ， ∴∠BAE ＝∠DAE. ∴∠BAE ＝∠AEB. ∴AB ＝EB. ∵ ∠ABC＝60° ， ∴△ABE 是等边三角形 . ∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°. ∵△ABE 的面积等于 4 3 姨 ， ∴ 3 姨 4 AB 2 =4 3 姨 . ∴AB＝4. ∴AE＝EB＝AB＝4. 由 （ 1 ） 知， 四边形 AECF 是菱形， ∴AE＝CE＝4. ∴∠EAC＝∠ECA. ∵∠AEB 是 △AEC 的一个外角， ∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°. ∴∠EAC＝∠ECA＝30°. ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90° ， 即 AC⊥AB. 由勾股定理， 得 AC= BC 2 -AB 2 姨 = （ 4+4 ） 2 -4 2 姨 =4 3 姨 . ∴ 平行线 AB 与 DC 间的距离是 4 3 姨 . 2 矩形的性质与判定 （第 1 课时） 1. 12 ， 6 2. 8 cm 3. 30 4. C 5. D 6. C 7. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴AB=DC ， ∠BAD=∠ADC=90° . ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. ∴∠PAB= ∠PDC. ∴△PAB≌△PDC （ SAS ） . ∴ PB=PC. 8. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AC=BD ， AB∥DC. ∴BE∥DC. ∵CE∥DB ， ∴ 四边形 BDCE 是平行四边形 . ∴BD=CE. ∴AC=CE. ∴△ACE 是等腰三角形 . 9. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥DC. ∴∠BAC=∠DCA ， ∠AEO=∠CFO. ∵EF 垂直平分 AC ， ∴AO=CO. 第 7 题答图 O E F A B C D 第 9 题答图 E F O A B C D G A F D CEB 第 10 题答图 212