1 菱形的性质与判定(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

特殊平行四边形 第一章 上册 特 殊 平 行 四 边 形 定义： 有一组邻边相等的平行四边形 轴对称图形和中心对称图形 四条边都相等 对角线互相垂直， 并且每条对角线平分一组对角 四条边都相等的四边形 对角线互相垂直的平行四边形 一组邻边相等的平行四边形 直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半 有一组邻边相等， 并且有一个角是直角的平行四边形 轴对称图形和中心对称图形 四个角都是直角， 四条边都相等 两条对角线相等， 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 有一个角是直角的菱形 对角线互相垂直的矩形 对角线相等的菱形 有一组邻边相等的矩形 性质 判定 菱形 矩形 性质 判定 正方形 定义： 有一个角是直角的平行四边形 轴对称图形和中心对称图形 对角线相等 四个角都是直角 有三个角是直角的四边形 有一个角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 性质 判定 知识网络 特殊平行四边形第一章 1 九年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E ， F 分 别是 AB ， BC 边上的中点， 连接 EF． 若 EF= 3 姨 ， BD=4 ， 求菱形 ABCD 的周长 . 【分析】 首先利用三角形的中位线定理得出 AC ， 进而利用菱形的性 质和勾股定理求得边长， 得出周长 ． 【解答】 ∵E ， F 分别是 AB ， BC 边上的中点， EF= 3 姨 ， ∴AC=2EF=2 3 姨 . ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD ， OA= 1 2 AC= 3 姨 ， OB= 1 2 BD=2. ∴ 由勾股定理， 得 AB= OA 2 +OB 2 姨 = 7 姨 . ∴ 菱形 ABCD 的周长为 4 7 姨 ． 【点拨】 此题考查菱形的性质、 三角形的中位线定理、 勾股定理， 掌握菱形的性质是解 决本题的关键 ． 注意： 菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形， 求菱形边长经常借 助勾股定理 . 基础巩固 达标闯关 1. 已知菱形的周长是 40 cm ， 一条对角线长是 12 cm ， 那么这个菱形的面积是 . 2. 如图， 两个全等菱形的边长为 1 cm ， 一只蚂蚁由 A 点开始按 ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动， 行走 2 024 cm 后停下， 则 这只蚂蚁停在 点 ． 3. 如图， 在菱形 ABCD 中， ∠BAD=80° ， AB 的垂直平分线 EF 交对角线 AC 于点 E ， 交 AB 于点 F ， F 为垂足， 连接 DE ， 则 ∠CDE= 度 ． 4. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ） A. 对角相等 B. 对角线互相平分 C. 对边平行且相等 D. 对角线平分一组对角 5. 如图， 在菱形 ABCD 中， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E 为 AB 的中点， 且 OE=a ， 则菱形 ABCD 的周长为 （ ） A. 16a B. 12a C. 8a D. 4a 6. 如图， 在菱形 ABCD 中， ∠BAD=2∠B ， E ， F 分别为 BC ， CD 的中 点， 连接 AE ， AC ， AF ， 则图中与 △ABE 全等的三角形有 （ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 E F O A B C D 例题图 1 菱形的性质与判定 （第 1课时） E F A B C D G 第 2 题图 第 3 题图 E F A B C D E O A B C D 第 5 题图 E F A B C D 第 6 题图 2 特殊平行四边形 第一章 7． 如图， 菱形 ABCD 的对角线相交于点 O ， E ， F 分别是 AB ， AD 的中点 . 求证： OE=OF. 能力提升 综合拓展 8. 如图， E 是菱形 ABCD 边 AD 的中点， EF⊥AC 于点 H ， 交 CB 的延长线于点 F ， 交 AB 于点 G. 求证： AB 与 EF 互相平分 . 9. 如图， 在菱形 ABCD 中， E ， F 分别是 BC ， CD 上的点， ∠B=∠EAF=60° ， ∠BAE= 18°. 求 ∠CEF 的度数 . 中考链接 真题演练 10. （ 2023 ·十堰） 如图， 在菱形 ABCD 中， 点 E ， F ， G ， H 分别是 AB ， BC ， CD ， AD 上的点， 且 BE=BF=CG=AH ， 若菱形的面积等于 24 ， BD=8 ， 则 EF+GH= ． 11． （ 2023 ·绍兴） 在菱形 ABCD 中， ∠DAB=40° ， 连接 AC ， 以点 A 为 圆心， AC 长为半径作弧， 交直线 AD 于点 E ， 连接 CE ， 则 ∠AEC 的度数 是 . 12. （ 2023 ·浙江） 如图， 在菱形 ABCD 中， AE⊥BC 于点 E ， AF⊥CD 于点 F ， 连接 EF． （ 1 ） 求证： AE=AF. （ 2 ） 若 ∠B=60° ， 求 ∠AEF 的度数 ． E F O A B C D 第 7 题图 E F A B C D G H 第 8 题图 E F A B C D 第 9 题图 B F C G H A D E 第 10 题图 B D A E F C 第 12 题图 3 参考答案与提示 上册 第一章 特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 （第 1 课时） 1. 96 cm 2 2. A 3. 60 4. D 5. C 6. B 7. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴AD=AB ， BO=DO. ∴∠EBO=∠FDO. ∵E ， F 分别是 AB ， AD 的中点 ， ∴BE= 1 2 AB ， DF= 1 2 AD. ∴BE=DF. ∴△BOE≌△DOF. ∴OE=OF. 8. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴AD∥BC ， AB=AD ， ∠BAC=∠DAC. ∵EF⊥AC ， ∴∠AHG=∠AHE=90°. 又 ∵AH=AH ， ∴△AGH≌△AEH. ∴AE=AG. ∵E 是 AD 的中点， ∴AE= 1 2 AD. ∴AG= 1 2 AB. ∴AG=BG. ∵AD∥FC ， ∴∠F= ∠AEG. 又 ∵∠AGE=∠FGB ， ∴△AEG≌△BFG. ∴EG=FG ， 即 AB 与 EF 互相平分 . 9. 解 ： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴AB=BC=CD=AD ， ∠ACD=∠ACB. ∵∠B=∠EAF=60° ， ∴∠ACD=∠BAC= ∠ACB=60° ， AC=AB. ∵∠FAC+∠CAE=∠BAE+∠CAE=60° ， ∴∠FAC=∠BAE. ∴△ABE≌△ACF. ∴AE=AF. ∴∠AEF= ∠AFE=∠EAF=∠B=60°. ∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEC=120°. ∴∠CEF=∠BAE=18°. 10． 6 提示： 延长 EF 交 DC 的延长线于点 P ， 易证四边形 AEPC 是平行四边形 . 11. 10° 或 80° 12. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴AB=AD ， ∠B=∠D. 又 ∵AE⊥BC 于点 E ， AF⊥CD 于点 F ， ∴ ∠AEB=∠AFD=90°. ∴△ABE≌△ADF （ AAS ） . ∴AE=AF. （ 2 ） 解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴∠B+∠BAD=180°. ∵∠B=60° ， ∴∠BAD=120° . 又 ∵∠AEB=90° ， ∠B=60° ， ∴∠BAE=30° . 由 （ 1 ） 知 △ABE≌△ADF ， ∴∠BAE= ∠DAF=30°. ∴∠EAF=120°-30°-30°=60°. 又 ∵AE=AF ， ∴△AEF 是等边三角形 . ∴∠AEF=60°. 1 菱形的性质与判定 （第 2 课时） 1. AB=BC 或 AC⊥BD 2. AB=AC （或 ∠B=∠C 或 AE=AF ） 3. B 4. C 5. A 6. 证明： ∵AB=AD ， BC=DC ， ∴AC⊥BD ， OB=OD. ∵OE=OA ， ∴ 四边形 ABED 是平行四边形 . 又 ∵AE⊥BD ， ∴ 四边形 ABED 是菱形 . 7. 证明： ∵ 点 D ， E ， F 分别是 BC ， AB ， AC 的中点， ∴DE ， DF 是 △ABC 的中位线 . ∴DE∥AC ， DF∥AB ， ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形 . 又 ∵AD⊥BC ， BD=CD ， ∴AB=AC. ∴AE=AF. ∴ 四边形 AEDF 是菱形 . 8. 证明： ∵∠B=60° ， AB=AC ， ∴△ABC 为等边三角形 . ∴AB=BC ， ∠ACB=∠BAC=60°. ∴∠FAC=∠ACE=120°. ∵AD 平分 ∠FAC ， CD 平分 ∠ACE ， ∴∠CAD=∠ACD=∠DCE=60°. ∴∠DCE=∠B=60° ， ∠CAD=∠ACB=60°. ∴AB∥CD ， BC∥AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵AB=BC ， ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 9. 证明 ： ∵∠ACB=90° ， DE⊥AB ， AD 平分 ∠BAC ， ∴CD=DE ， ∠CAD=∠DAB. ∵CM⊥AB ， ∴∠DAB+ ∠AFM=90°. ∵∠CAD+∠ADC=90° ， ∴∠ADC=∠AFM. ∵∠AFM=∠CFD ， ∴∠CFD=∠ADC. ∴CF=CD=DE. 又 ∵CM⊥AB ， DE⊥AB ， ∴CF∥DE. ∴ 四边形 CDEF 是菱形 . * 10. 证明： （ 1 ） 如图， 延长 AO 到点 E. ∵OA=OB ， ∴∠ABO=∠BAO. 又 ∠BOE=∠ABO+ ∠BAO ， ∴∠BOE=2∠BAO. 同理 ∠DOE=2∠DAO. ∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO= 2 （ ∠BAO+∠DAO ）， 即 ∠BOD=2∠BAD. 又 ∠C=2∠BAD ， ∴∠BOD=∠C. （ 2 ） 连接 OC ， ∵OB=OD ， CB=CD ， OC=OC ， ∴△OBC≌△ODC. ∴∠BOC=∠DOC ， ∠BCO=∠DCO. ∵∠BOD=∠BOC+∠DOC ， ∠BCD=∠BCO+∠DCO ， ∴∠BOC= 1 2 ∠BOD ， ∠BCO= 1 2 ∠BCD. 又 ∠BOD=∠BCD ， ∴∠BOC=∠BCO. ∴BO=BC. 又 ∵OB=OD ， BC=CD ， ∴OB=BC=CD=DO. ∴ 四边形 OBCD 是菱形 ． * 11. （ 1 ） 解： 设 AE=x ， ∵EF 是 AD 的垂直平分线， ∴AE=ED=x. 又 ∵BC=AC=2 ， ∴EC=2-x. 在 Rt△CED 中， 由 勾股定理得， DE 2 -CE 2 =CD 2 ， 即 x 2 - （ 2-x ） 2 = （ 2 姨 ） 2 . 解得 x= 3 2 ， 即 AE= 3 2 . （ 2 ） 证明： ∵CD=2 （ 2 姨 -1 ）， 同 （ 1 ） 方法可得方程 x 2 - （ 2-x ） 2 = ［ 2 （ 2 姨 -1 ） ］ 2 . 解得 x=4-2 2 姨 ， 即 AE=4-2 2 姨 . ∴EC=2 2 姨 -2. ∴EC= CD=2 2 姨 -2. ∵∠C=90° ， ∴∠CDE=∠B=45°. ∴DE∥AF. 又 ∵EF 是 AD 的垂直平分线， ∴AE=ED ， AF=DF ， EF=EF. 参考答案与提示 第 10 题答图 E O A B C D 211