5 应用二元一次方程组里程碑上的数-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

二元一次方程组 第五章 自主导学 典例精析 例题 小张从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路， 假设他始终保持平路每分钟 走 60 m ， 下坡路每分钟走 80 m ， 上坡路每分钟走 40 m ， 则他从家里到学校需 10 min ， 从 学校到家里需 15 min. 问： 从小张家到学校的平路和下坡路各有多远？ 【分析】 等量关系： 从家里到学校走平路时间 + 走下坡路时间 =10 min ， 从学校到家里走 上坡路时间 + 走平路时间 =15 min. 【解答】 设平路有 x m ， 下坡路有 y m ， 根据题意， 得 x 60 + y 80 =10 ， x 60 + y 40 =15 5 # # # # # # " # # # # # # $ ， 解得 x=300 ， y=400 0 . 答： 小张家到学校的平路和下坡路分别为 300 m 和 400 m. 【点拨】 本题考查了二元一次方程组的应用， 此题主要利用时间、 速度、 路程三者之间 的关系解答， 注意来回坡路的变化是解题的关键 . 基础巩固 达标闯关 1. 一个两位数， 十位上的数字是个位上的数字的两倍， 如果把十位上的数字与个位上的 数字调换位置， 所得到的两位数比原来的两位数小 36 ， 求原来的两位数 . 2. 某服装厂要生产某种型号的学生服一批， 已知每 3 m 长的某种布料可做上衣 2 件或 裤子 3 条， 一件上衣和一条裤子为一套 . 现计划用 600 m 长的这种布料生产学生服， 问应分 别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套 . 5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 89 八年级上册 （北师大版）数学 3. 教师节来临之际， 某校准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花， 每束由 4 枝鲜花包装 而成， 其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花， 同一种鲜花每枝的价格相同 . 请你根 据图中第一、 二束鲜花提供的信息， 求出第三束鲜花的价格 . 能力提升 综合拓展 4. 用 1 块 A 型钢板可制成 2 块 C 型钢板、 3 块 D 型钢板； 用 1 块 B 型钢板可制成 1 块 C 型钢板、 4 块 D 型钢板 ． 某工厂现需 14 块 C 型钢板、 36 块 D 型钢板， 可恰好用 A 型钢板、 B 型钢板各多少块？ （ 1 ） 根据题意， 甲和乙两同学分别列出的方程组如下： 甲： 2x+y=14 ， 3x+4y=36 6 ； 乙： x+y=14 ， 3 2 x+4y=36 6 $ $ $ $ # $ $ $ $ % . 根据两位同学所列的方程组， 请你分别指出未知数 x ， y 表示的意义 . 甲： x 表示 ， y 表示 ； 乙： x 表示 ， y 表示 . （ 2 ） 求用 A 型钢板、 B 型钢板各多少块 . （写出完整的解答过程） 5. 某通信器材商场计划用 60 000 元从厂家购进若干部新型手机， 以满足市场需求 . 已知 该厂家生产三种不同型号的手机， 出厂价分别为甲种型号的手机每部 1 800 元， 乙种型号的 手机每部 600 元， 丙种型号的手机每部 1 200 元 . 若商场同时购进其中的两种不同型号的手 机共 40 部， 并将 60 000 元恰好用完 . 请你帮助商场计算一下如何购买 . 第 3 题图 共计 19 元 共计 18 元 康乃馨 水仙花 第三束 第一束 第二束 90 二元一次方程组 第五章 6. 某公司的快车计价规则如下表： 注： 车费由里程费、 时长费、 远途费三部分构成， 其中里程费按行车的实际里程计算； 时长费按行车 的实际时间计算； 远途费的收取方式为： 行车里程 7 km 以内 （含 7 km ） 不收远途费， 超过 7 km 的， 超出部分每公里收 0.8 元 ． 小王与小张各自乘坐该公司的快车， 在同一地点约见， 已知到达约见地点时他们的实际 行车里程分别为 6 km 与 8.5 km ， 两人的乘车费相同 ． （ 1 ） 求这两辆快车的实际行车时间相差多少分钟 . （ 2 ） 实际乘车时间较少的人， 由于出发时间比另一人早， 所以提前到达约见地点在大厅 等候 ． 已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的 1.5 倍， 且比另一人的实际乘车时 间的一半多 8.5 min ， 计算两人各自的实际乘车时间 ． 中考链接 真题演练 7. （ 2022 ·娄底） “绿水青山就是金山银山”， 科学研究表明： 树叶在光合作用后产生的 分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物， 具有滞尘净化空气的作用 . 已知一片银杏树叶一年的 平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的 2 倍少 4 mg ， 若一片国槐树叶与一片银杏 树叶一年的平均滞尘总量为 62 mg. （ 1 ） 请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量 . （ 2 ） 娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树， 据估计三棵银杏树共 有约 50 000 片树叶 . 问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克 . 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8 元 /km 0.3 元 /min 0.8 元 /km 91 八年级上册 （北师大版）数学 8. （ 2021 ·百色） 据国际田联 《田径场地设施标准手册》， 400 m 标准跑道由两个平行的 直道和两个半径相等的弯道组成， 有 8 条跑道， 每条跑道宽 1.2 m ， 直道长 87 m ； 跑道的弯 道是半圆形， 环形跑道第一圈 （最内圈） 弯道半径为 35.00 m 到 38.00 m 之间 ． 某校据国际田联标准和学校场地实际， 建成第一圈弯道半径为 36 m 的标准跑道 ． 小王 同学计算了各圈的长： 第一圈长： 87×2+2π （ 36+1.2×0 ） ≈400 （ m ）； 第二圈长： 87×2+2π （ 36+1.2×1 ） ≈408 （ m ）； 第三圈长： 87×2+2π （ 36+1.2×2 ） ≈415 （ m ）； … （ 1 ） 第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多少米？ 小王同学计算的第八圈长是 多少？ （ 2 ） 小王同学紧靠第一圈边线逆时针跑步、 邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车 （均 以所靠边线长计路程）， 在如图的起跑线同时出发， 经过 20 s 两人在直道第一次相遇 ． 若邓 教练的平均速度是小王同学的平均速度的 2 倍， 求他们的平均速度各是多少 . （注： 在同侧直道， 过两人所在点的直线与跑道边线垂直时， 称两人直道相遇） 足球场 起跑线 第 8 题图 92 八年级上册 （北师大版）数学 （ 80-m ） 件， ∴w= （ 150-100 ） m+ （ 80-60 ）（ 80-m ） =30m+1 600. 4 应用二元一次方程组——增收节支 1. 解： 设甲、 乙两种商品原销售价分别为 x 元、 y 元， 则 x+y=500 ， 70%x+90%y=386 6 . 解得 x=320 ， y=180 6 . 2. 解： 设该商场 上个月卖出甲 、 乙两种商品分别为 x 件 、 y 件 ， 则 x+y=1 000 ， x （ 1+50% ） +y （ 1-10% ） =1 000 （ 1-4% ） 6 . 解得 x=100 ， y=900 6 . 3. 解 ： （ 1 ） 设打折前甲品牌粽子每盒 x 元、 乙品牌粽子每盒 y 元， 根据题意得 6x+3y=600 ， 50 · 0.8x+40 · 0.75y=5 200 6 . 解得 x=40 ， y=120 6 . ∴ 打折前 甲品牌粽子每盒 40 元， 乙品牌粽子每盒 120 元 . （ 2 ） 80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3 640 （元） ． ∴ 打折后购买这批粽子比不打折节省了 3 640 元 ． 4. 解： 设这种矿泉水在甲、 乙两家供水点每桶的价格分别为 x ， y 元 . 由题意， 得 10x+6y=102 ， 12y-8x=36 6 . 解得 x=6 ， y=7 6 . ∴ 甲供水点便宜些 . 5. 解： 设甲种服装的标价为 x 元， 则进价为 x 1.4 元； 乙种服装的标价为 y 元， 则进价为 y 1.4 元， 则 x+y=210 ， 0.8x+0.9y=182 6 . 解得 x=70 ， y=140 6 . 则 x 1.4 =50 （元）， y 1.4 =100 （元） . 答： 甲种服装的进价为 50 元， 标价为 70 元， 乙种服装的进价为 100 元， 标价为 140 元 . 6. 解： 设去年每千克小 龙虾的养殖成本与售价分别为 x 元、 y 元， 由题意， 得 y-x=32 ， （ 1-10% ） y- （ 1-25% ） x=30 6 . 解得 x=8 ， y=40 6 . ∴ 去年每千克小龙虾 的养殖成本与售价分别为 8 元和 40 元 . 7. 解： 设洗衣机中需加入水 x kg 、 y 匙洗衣粉， 则 x+0.02y+4.94=15 ， 0.02y=15×0.4% 6 . 解得 x=10 ， y=3 6 . 8. 解： （ 1 ） 设小孔同学测试成绩为 x 分， 平时成绩为 y 分， 依题意得 x+y=185 ， 80%x+20%y=91 6 . 解得 x=90 ， y=95 6 . ∴ 小孔 同学测试成绩为 90 分， 平时成绩为 95 分 . （ 2 ） 由题意可得 80-70×80%=24 ， 24÷20%=120＞100. ∴ 不可能达到 A 等 . （ 3 ） 设平时成绩为满分， 即 100 分， 综合成绩为 100×20%=20. 设测试成绩为 a 分， 根据题意可得 20+80%a= 80. 解得 a=75. ∴ 他的测试成绩至少要 75 分 . ９. 解： 设调整前甲地该商品的销售单价为 x 元， 乙地该商品的销售 单价为 y 元 . 根据题意， 得 y-x=10 ， （ y-5 ） - （ 1+10% ） x=1 6 . 解得 x=40 ， y=50 6 . 答： 调整前甲地该商品的销售单价为 40 元， 乙地该 商 品 的 销 售 单 价 为 50 元 ． 10. 解 ： （ 1 ） 1.25x +1.3y （ 2 ） 根 据 题 意 得 1.25x +1.3y =520 +140 ， 则 x+y=520 ， 1.25x+1.3y=520+140 6 . 解得 x=320 ， y=200 6 . ∴1.25x=400 ， 1.3y=260. 答： 2021 年进口额为 400 亿元， 出口额为 260 亿元 . 5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 1. 解： 设十位上的数字为 x ， 个位上的数字为 y ， 则 x=2y ， 10x+y=10y+x+36 6 . 解得 x=8 ， y=4 6 . ∴ 原来的两位数为 84. 2. 解： 设用 x m 布料生产上衣， 用 y m 布料生产裤子， 则 x+y=600 ， x 3 · 2= y 3 · 3 3 $ $ $ # $ $ $ % . 解得 x=360 ， y=240 6 . 3. 解： 设每枝康乃馨 x 元、 每枝水仙花 y 元， 则 3x+y=19 ， 2x+2y=18 6 . 解得 x=5 ， y=4 6 . 故第三束花的价格为 x+3y=5+3×4=17 （元） . 4. 解： （ 1 ） 甲： x 表示 A 型钢板块数， y 表示 B 型钢板块数； 乙： x 表示 A 型钢板可制成的 C 型钢板块数， y 表示 B 型钢板可制成的 C 型钢板块数 . （ 2 ） 设用 A 型钢板 x 块， 用 B 型钢板 y 块， 则 2x+y=14 ， 3x+4y=36 6 . 解得 x=4 ， y=6 6 . 答： 用 A 型钢板 4 块、 B 型 钢板 6 块 . 5. 解 ： 设甲种型号手机购进 x 部 ， 乙种型号手机购进 y 部 ， 丙种型号手机购进 z 部 ， 则 x+y=40 ， 1 800x+600y=60 000 6 . 解得 x=30 ， y=10 6 . x+z=40 ， 1 800x+1 200z=60 000 6 . 解得 x=20 ， z=20 6 . y+z=40 ， 600y+1 200z=60 000 6 . 解得 y=-20 ， z=60 6 . （舍去 ） 答： 商场可以购进甲种手机 30 部、 乙种手机 10 部或购进甲种、 丙种手机各 20 部 . 6. 解： （ 1 ） 设小王的实际行 车时间为 x min ， 小张的实际行车时间为 y min ， 由题意， 得 1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8× （ 8.5-7 ） . 整理方程， 得 10.8+0.3x＝16.5+0.3y ， 即 0.3 （ x-y ） ＝5.7. ∴x-y＝19. 答： 这两辆快车的实际行车时间相差 19 min． （ 2 ） 由 （ 1 ） 及题 186 参考答案与提示 意， 得 x-y=19 ， 1.5y=0.5x+8.5 ! . 化简得 x-y=19 ， 3y-x=17 ! . 解这个方程组， 得 x=37 ， y=18 ! . 答： 小王的实际乘车时间为 37 min ， 小张的实 际乘车时间为 18 min. 7. 解： （ 1 ） 设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 x mg ， 一片国槐树叶一年的平均滞尘量 为 y mg ， 由题意， 得 x+y=62 ， x=2y-4 ! . 解得 x=40 ， y=22 ! . 答： 一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 40 mg ， 一片国槐树叶一年的 平均滞尘量为 22 mg. （ 2 ） 50 000×40=2 000 000 （ mg ） =2 kg. 答： 这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约 2 kg． 8. 解： （ 1 ） 由题意， 得 1 2 × （ 415-400 ） ＝7.5 （ m ） . 87×2+2π （ 36+1.2×7 ） ≈453 （ m ） . 答： 第三圈半圆形弯道长比第一 圈半圆形弯道长多 7.5 m ， 小王同学计算的第八圈长约 453 m. （ 2 ） 设小王同学的平均速度为 x m/s ， 邓教练的平 均速度为 y m/s ， 由题意， 得 y=2x ， 20 （ x+y ） =400+7.5 ! . 解得 x= 163 24 ， y= 163 12 2 % % % % $ % % % % & . 答： 小王同学的平均速度为 163 24 m/s ， 邓教练的平 均速度为 163 12 m/s. 6 二元一次方程与一次函数 1. （ -4 ， 1 ） 2. x=1 ， y=- ! 2 3. C 4. A 5. y=x-4 ， 3y+5x=12 ! . 6. 解 ： 由已知得直线 a 与直线 y=2x+1 的交点为 （ 2 ， 5 ）， 直线 a 与直线 y=-x+2 的交点为 （ 1 ， 1 ）， ∴ 直线 a 过 （ 2 ， 5 ）， （ 1 ， 1 ）， 可求得直线 a 的函数表达式为 y=4x-3. 7. x=1 ， y= ! 2 8. B 9. C ７ 用二元一次方程组确定一次函数表达式 1. D 2. 解： （ 1 ） 在 y=x+3 中， 令 y=0 ， 得 x=-3. ∴B （ -3 ， 0 ） . 把 x=1 代入 y=x+3 得 y=4 ， 即 m=4. ∴C （ 1 ， 4 ） . 设 直线 l 2 对应的函数表达式为 y=kx+b ， ∴ k+b=4 ， 3k+b=0 ! . 解得 k=-2 ， b=6 ! . ∴ 直线 l 2 对应的函数表达式为 y=-2x+6. （ 2 ） ∵A （ 3 ， 0 ）， B （ -3 ， 0 ）， ∴AB=3- （ -3 ） =6. 设 M （ a ， a+3 ）， 由 MN∥y 轴， 得 N （ a ， -2a+6 ）， 则 MN=|a+3- （ -2a+6 ） |= AB=6. 解得 a=3 或 a=-1. ∴ 点 M 的坐标为 （ 3 ， 6 ） 或 （ -1 ， 2 ） . 3. 解： （ 1 ） v 快 = 180 ２ =90 （ km/h ）， v 慢 = １80 3 = 60 （ km/h ） . ∴ 快车的速度为 90 km/h ， 慢车的速度为 60 km/h. （ 2 ） 由题意， 得点 E 的横坐标为 2+1.5=3.5 ， 则 点 E 的坐标为 （ 3.5 ， 180 ） . 快车从点 E 到点 C 用的时间为 360-180 90 =2 （ h ）， 则点 C 的坐标为 （ 5.5 ， 360 ） . 设 线段 EC 所表示的 y 1 与 x 之间的函数关系式为 y 1 =kx+b ， 根据题意， 得 3.5k+b=180 ， 5.5k+b=360 ! . 解得 k=90 ， b=-135 ! . 即线段 EC 所表 示的 y 1 与 x 之间的函数关系式是 y 1 =90x－135 （ 3.5≤x≤5.5 ） . （ 3 ） 由题意知， OD 所表示的函数关系式为 y=60x. 由图象知， 线段 OD 与线段 EC 交于点 F. 设点 F 的坐标为 （ a ， b ）， 则 b=60a ， b=90a-135 ! . 解得 a=4.5 ， b=270 ! . ∴ 点 F 的坐标为 （ 4.5 ， 270 ）， 点 F 代表的实际意义是在 4.5 h 时， 快车与慢车行驶的路程相等 . 4. 解： （ 1 ） 设 y 与 x 的函数关系 式为 y＝kx+b ， 由题意， 得 2k+b=148 ， 8k+b=136 ! . 解得 k=-2 ， b=152 ! . ∴y＝-2x+152. 将表中 x ， y 的对应值代入均满足， ∴y 与 x 的函 数关系式为 y＝-2x+152. （ 2 ） 根据题意， 得 x+y=130 ， y=-2x+152 ! . 解得 x=22 ， y=108 ! . ∴ 双层部分的长度为 22 cm. （ 3 ） 由题知， 当 x＝0 时， y＝152 ， 当 y＝0 时， x＝76. ∴76≤L≤152. 5. 解： （ 1 ） 把点 A （ 2 ， m ） 的坐标代入 y＝2x- 5 2 中， 得 m＝ 3 2 . 设直线 AB 的函数表达式为 y＝kx+b ， 把 A 2 ， 3 2 * ， B （ 0 ， 3 ） 的坐标代入， 得 2k+b= 3 2 ， b=3 2 % % % $ % % % & . 解得 k=- 3 4 ， b=3 2 % % % $ % % % & . ∴ 直 线 AB 的函数表达式为 y＝- 3 4 x+3． （ 2 ） ∵ 点 P （ t ， y 1 ） 在线段 AB 上， ∴y 1 ＝- 3 4 t+3 （ 0≤t≤2 ） . ∵ 点 Q （ t-1 ， y 2 ） 187