4 应用二元一次方程组增收节支-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

二元一次方程组 第五章 自主导学 典例精析 例题 小林在某商店购买商品 A ， B 共三次， 只有一次购买时， 商品 A ， B 同时打折， 其余两次均按标价购买， 三次购买商品 A ， B 的数量和费用如下表： （ 1 ） 小林以折扣价购买商品 A ， B 是第 次购买的 . （ 2 ） 求出商品 A ， B 的标价 . （ 3 ） 若商品 A ， B 的折扣相同， 问商店是打几折出售这两种商品的 . 【分析】 （ 1 ） 观察表格中数据发现第三次购买商品 A ， B 的数量最多， 购买总费用最 少， 所以第三次是以折扣价购买的 . （ 2 ） 根据表格得到等量关系： 购买商品 A 的数量 ×A 的 标价 + 购买商品 B 的数量 ×B 的标价 = 购买总费用 . （ 3 ） 根据表格可得到等量关系： （购买商 品 A 的数量 ×A 的标价 + 购买商品 B 的数量 ×B 的标价） × 折扣 = 购买总费用 . 【解答】 （ 1 ） 三 （ 2 ） 设商品 A 的标价为 x 元， 商品 B 的标价为 y 元， 根据题意， 得 6x+5y=1 140 ， 3x+7y=1 110 0 . 解得 x=90 ， y=120 0 . 答： 商品 A 的标价为 90 元， 商品 B 的标价为 120 元 . （ 3 ） 设商店是打 a 折出售这两种商品， 根据题意， 得 （ 9×90+8×120 ） ×0.1a=1 062. 解得 a=6. 答： 商店是打六折出售这两种商品的 . 【点拨】 本题考查二元一次方程组的应用， 解题时需要借助表格中数据进行分析， 找出 问题中所蕴含的等量关系 . 基础巩固 达标闯关 1. 五一期间， 某商场搞优惠促销， 决定由顾客抽奖决定折扣， 某顾客购买甲、 乙两种商 品， 分别抽到七折券 （按售价的 70％ 销售） 和九折券 （按售价的 90％ 销售）， 共付款 386 元， 这两种商品原销售价之和为 500 元， 问这两种商品的原销售价分别为多少元 . 4 应用二元一次方程组——增收节支 购买商品 A 的数量 / 个 购买商品 B 的数量 / 个 购买总费用 / 元 第一次购买 6 5 1 140 第二次购买 3 7 1 110 第三次购买 9 8 1 062 85 八年级上册 （北师大版）数学 2. 某商场上个月共卖出甲、 乙两种商品 1 000 件， 这个月甲商品多卖出 50% ， 乙商品少 卖出 10% ， 结果产品的总销量减少了 4% ， 上个月甲、 乙两种商品各卖出多少件？ 3. 随着中国传统节日端午节的临近， 某商场决定开展 “欢度端午， 回馈顾客” 的让利促 销活动， 对部分品牌粽子进行打折销售， 其中甲品牌粽子打八折， 乙品牌粽子打七五折 . 已 知打折前， 买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需要 600 元； 打折后， 买 50 盒甲品牌粽子 和 40 盒乙品牌粽子需要 5 200 元 ． （ 1 ） 打折前甲、 乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？ （ 2 ） 某敬老院需购买甲品牌粽子 80 盒、 乙品牌粽子 100 盒， 问打折后购买这批粽子比 不打折节省了多少钱 . 4. 小李家和小陈家都从甲、 乙两家供水点购买同样的一种桶装矿泉水， 小李家第一季度 从甲、 乙两供水点分别购买了 8 桶和 12 桶， 且在乙供水点比在甲供水点多花 36 元 . 小陈家 从甲、 乙两供水点分别购买了 10 桶和 6 桶， 共花了 102 元 . 若只考虑价格因素， 通过计算说 明到哪家供水点购买这种桶装矿泉水更便宜一些 . 86 二元一次方程组 第五章 能力提升 综合拓展 5. 某商场购进甲、 乙两种服装后， 都加价 40% 标价出售 . 春节期间商场搞优惠促销， 决 定将甲、 乙两种服装分别按标价的八折和九折出售 . 某顾客购买甲、 乙两种服装共付款 182 元， 两种服装标价之和为 210 元 . 问这两种服装的进价和标价各是多少元 . 6. 为了提高农田利用效益， 某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的 “虾·稻” 轮作模式 ． 某农户有农田 20 亩， 去年开始实施 “虾·稻” 轮作， 去年出售小龙虾每 千克获得的利润为 32 元 （利润 ＝ 售价 － 成本） ． 由于开发成本下降和市场供求关系变化， 今年 每千克小龙虾的养殖成本下降 25% ， 售价下降 10% ， 出售小龙虾每千克获得利润为 30 元 ． 求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价 . 7. 据研究， 当洗衣机中洗衣粉的含量在 0.2%～0.5% 之间时， 衣服的洗涤效果较好， 因为 这时表面活性较大 . 现将 4.94 kg 的衣服放入最大容量为 15 kg 的洗衣机中， 欲使洗衣机中洗 衣粉的含量达到 0.4% ， 那么洗衣机中需要加入多少千克水、 多少匙洗衣粉？ （ 1 匙洗衣粉约 0.02 kg ， 假设洗衣机以最大容量洗涤） 87 八年级上册 （北师大版）数学 8. 某市对八年级综合素质测评中的审美与艺术进行考核， 规定如下： 考核综合评价得分 由测试成绩 （满分 100 分） 和平时成绩 （满分 100 分） 两部分组成， 其中测试成绩占 80% ， 平时成绩占 20% ， 并且当综合评价得分大于或等于 80 分时， 该生综合评价为 A 等 ． （ 1 ） 小孔同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为 185 分， 而综合评价得分为 91 分， 则小孔同学测试成绩和平时成绩各得多少分？ （ 2 ） 某同学测试成绩为 70 分， 他的综合评价有可能达到 A 等吗？ 为什么？ （ 3 ） 如果一个同学综合评价要达到 A 等， 他的测试成绩至少要多少分？ 中考链接 真题演练 9. （ 2023 ·安徽） 根据经营情况， 公司对某商品在甲、 乙两地的销售单价进行了如下调 整： 甲地上涨 10% ， 乙地降价 5 元 . 已知销售单价调整前甲地比乙地少 10 元， 调整后甲地比 乙地少 1 元， 求调整前甲、 乙两地该商品的销售单价 . 10. （ 2022 ·安徽） 某地区 2020 年进出口总额为 520 亿元 . 2021 年进出口总额比 2020 年 有所增加， 其中进口额增加了 25% ， 出口额增加了 30%. 注： 进出口总额 ＝ 进口额 ＋ 出口额 . （ 1 ） 设 2020 年进口额为 x 亿元， 出口额为 y 亿元， 请用含 x ， y 的代数式填下表： （ 2 ） 已知 2021 年进出口总额比 2020 年增加了 140 亿元， 求 2021 年进口额和出口额分 别是多少亿元 . 年份 进口额 / 亿元 出口额 / 亿元 进出口总额 / 亿元 2020 x y 520 2021 1.25x 1.3y 88 八年级上册 （北师大版）数学 （ 80-m ） 件， ∴w= （ 150-100 ） m+ （ 80-60 ）（ 80-m ） =30m+1 600. 4 应用二元一次方程组——增收节支 1. 解： 设甲、 乙两种商品原销售价分别为 x 元、 y 元， 则 x+y=500 ， 70%x+90%y=386 6 . 解得 x=320 ， y=180 6 . 2. 解： 设该商场 上个月卖出甲 、 乙两种商品分别为 x 件 、 y 件 ， 则 x+y=1 000 ， x （ 1+50% ） +y （ 1-10% ） =1 000 （ 1-4% ） 6 . 解得 x=100 ， y=900 6 . 3. 解 ： （ 1 ） 设打折前甲品牌粽子每盒 x 元、 乙品牌粽子每盒 y 元， 根据题意得 6x+3y=600 ， 50 · 0.8x+40 · 0.75y=5 200 6 . 解得 x=40 ， y=120 6 . ∴ 打折前 甲品牌粽子每盒 40 元， 乙品牌粽子每盒 120 元 . （ 2 ） 80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3 640 （元） ． ∴ 打折后购买这批粽子比不打折节省了 3 640 元 ． 4. 解： 设这种矿泉水在甲、 乙两家供水点每桶的价格分别为 x ， y 元 . 由题意， 得 10x+6y=102 ， 12y-8x=36 6 . 解得 x=6 ， y=7 6 . ∴ 甲供水点便宜些 . 5. 解： 设甲种服装的标价为 x 元， 则进价为 x 1.4 元； 乙种服装的标价为 y 元， 则进价为 y 1.4 元， 则 x+y=210 ， 0.8x+0.9y=182 6 . 解得 x=70 ， y=140 6 . 则 x 1.4 =50 （元）， y 1.4 =100 （元） . 答： 甲种服装的进价为 50 元， 标价为 70 元， 乙种服装的进价为 100 元， 标价为 140 元 . 6. 解： 设去年每千克小 龙虾的养殖成本与售价分别为 x 元、 y 元， 由题意， 得 y-x=32 ， （ 1-10% ） y- （ 1-25% ） x=30 6 . 解得 x=8 ， y=40 6 . ∴ 去年每千克小龙虾 的养殖成本与售价分别为 8 元和 40 元 . 7. 解： 设洗衣机中需加入水 x kg 、 y 匙洗衣粉， 则 x+0.02y+4.94=15 ， 0.02y=15×0.4% 6 . 解得 x=10 ， y=3 6 . 8. 解： （ 1 ） 设小孔同学测试成绩为 x 分， 平时成绩为 y 分， 依题意得 x+y=185 ， 80%x+20%y=91 6 . 解得 x=90 ， y=95 6 . ∴ 小孔 同学测试成绩为 90 分， 平时成绩为 95 分 . （ 2 ） 由题意可得 80-70×80%=24 ， 24÷20%=120＞100. ∴ 不可能达到 A 等 . （ 3 ） 设平时成绩为满分， 即 100 分， 综合成绩为 100×20%=20. 设测试成绩为 a 分， 根据题意可得 20+80%a= 80. 解得 a=75. ∴ 他的测试成绩至少要 75 分 . ９. 解： 设调整前甲地该商品的销售单价为 x 元， 乙地该商品的销售 单价为 y 元 . 根据题意， 得 y-x=10 ， （ y-5 ） - （ 1+10% ） x=1 6 . 解得 x=40 ， y=50 6 . 答： 调整前甲地该商品的销售单价为 40 元， 乙地该 商 品 的 销 售 单 价 为 50 元 ． 10. 解 ： （ 1 ） 1.25x +1.3y （ 2 ） 根 据 题 意 得 1.25x +1.3y =520 +140 ， 则 x+y=520 ， 1.25x+1.3y=520+140 6 . 解得 x=320 ， y=200 6 . ∴1.25x=400 ， 1.3y=260. 答： 2021 年进口额为 400 亿元， 出口额为 260 亿元 . 5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 1. 解： 设十位上的数字为 x ， 个位上的数字为 y ， 则 x=2y ， 10x+y=10y+x+36 6 . 解得 x=8 ， y=4 6 . ∴ 原来的两位数为 84. 2. 解： 设用 x m 布料生产上衣， 用 y m 布料生产裤子， 则 x+y=600 ， x 3 · 2= y 3 · 3 3 $ $ $ # $ $ $ % . 解得 x=360 ， y=240 6 . 3. 解： 设每枝康乃馨 x 元、 每枝水仙花 y 元， 则 3x+y=19 ， 2x+2y=18 6 . 解得 x=5 ， y=4 6 . 故第三束花的价格为 x+3y=5+3×4=17 （元） . 4. 解： （ 1 ） 甲： x 表示 A 型钢板块数， y 表示 B 型钢板块数； 乙： x 表示 A 型钢板可制成的 C 型钢板块数， y 表示 B 型钢板可制成的 C 型钢板块数 . （ 2 ） 设用 A 型钢板 x 块， 用 B 型钢板 y 块， 则 2x+y=14 ， 3x+4y=36 6 . 解得 x=4 ， y=6 6 . 答： 用 A 型钢板 4 块、 B 型 钢板 6 块 . 5. 解 ： 设甲种型号手机购进 x 部 ， 乙种型号手机购进 y 部 ， 丙种型号手机购进 z 部 ， 则 x+y=40 ， 1 800x+600y=60 000 6 . 解得 x=30 ， y=10 6 . x+z=40 ， 1 800x+1 200z=60 000 6 . 解得 x=20 ， z=20 6 . y+z=40 ， 600y+1 200z=60 000 6 . 解得 y=-20 ， z=60 6 . （舍去 ） 答： 商场可以购进甲种手机 30 部、 乙种手机 10 部或购进甲种、 丙种手机各 20 部 . 6. 解： （ 1 ） 设小王的实际行 车时间为 x min ， 小张的实际行车时间为 y min ， 由题意， 得 1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8× （ 8.5-7 ） . 整理方程， 得 10.8+0.3x＝16.5+0.3y ， 即 0.3 （ x-y ） ＝5.7. ∴x-y＝19. 答： 这两辆快车的实际行车时间相差 19 min． （ 2 ） 由 （ 1 ） 及题 186