2 求解二元一次方程组(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

二元一次方程组 第五章 自主导学 典例精析 例题 利用加减消元法解方程组： 2x+5y=-10 ①， 5x-3y=6 ② ! . 【分析】 利用加减消元法解方程组 2x+5y=-10 ① ， 5x-3y=6 ② ! . 方程 ①× （ -5 ）， 方程 ②×2 ， 其方程组 变形为 -10x-25y=50 ， 10x-6y=12 ! ， 两个方程相加， 即可消去 x. 【解答】 方程 ①× （ -5 ）， 得 -10x-25y=50 ③. 方程 ②×2 ， 得 10x-6y=12 ④. ③+④ ， 得 y=-2. 将 y=-2 代入 ① ， 得 x=0. 所以原方程组的解是 x=0 ， y=-2 ! . 【点拨】 此题考查用加减消元法解二元一次方程组的基本技能 . 用加减消元法解方程组的 关键是将方程组适当变形， 使其中一个未知数的系数互为相反数或相等， 进而将变形的方程 组相加或相减， 转化为求解一元一次方程 . 解方程组的基本思想是 “消元” . 基础巩固 达标闯关 1. 用加减消元法解方程组 4x-3y=5 ① ， 2x-y=2 ② ! ， 下列消元中错误的是 （ ） A. ②×2－① B. ②×3－① C. ②×3＋① D. ②× （ －3 ） ＋① 2. 用加减消元法解方程组 2x+3y=1 ， 3x-2y= ! 8 时 ， 有以下四种变形结果 ： ① 6x+9y=1 ， 6x-4y=８ ! ； ② 4x+6y=1 ， 9x-6y=８ ! ； ③ 6x+9y=3 ， 6x-4y=16 ! ； ④ 4x+6y=2 ， 9x-6y=24 ! . 其中变形正确的是 （ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 3. 用加减消元法解下列方程组 . （ 1 ） 2x+3y=12 ， 3x+4y=-5 ! ； （ 2 ） 4x+3y=-4 ， 10x+2y=1 ! ； 2 求解二元一次方程组 （第 2课时） 79 八年级上册 （北师大版）数学 （ 3 ） 0.5x-3y=-1 ， - 1 2 x+5y-3=0 0 # # # # " # # # # $ ； （ 4 ） 5 （ y-1 ） =3 （ x+5 ）， 3x-3=4 （ y-4 ） ） . 能力提升 综合拓展 4. 在解方程组 ax+5y=5 ， 4x-by=- ） 2 时， 由于粗心， 小王看错了方程组中的 a ， 而得解为 x=-3 ， y=-1 ） ， 小 李看错了方程组中的 b ， 而得解为 x=5 ， y=4 ） . （ 1 ） 试求 a ， b 的值 . （ 2 ） 求出原方程组的正确解 . 5. 观察方程组 23x+17y=63 ① ， 17x+23y=57 ） ② 中的未知数 x ， y 的系数有什么特点， 你能利用这个特 点使方程组的解法变得简单吗？ 6. 根据要求， 解答下列问题 . （ 1 ） 解下列方程组 . （直接写出方程组的解即可） ① x+2y=3 ， 2x+y= ） 3 的解为 ； ② 3x+2y=10 ， 2x+3y=1 ） 0 的解为 ； ③ 2x-y=4 ， -x+2y= ） 4 的解 为 . 80 二元一次方程组 第五章 （ 2 ） 以上每个方程组的解中， x 值与 y 值的大小关系为 . （ 3 ） 请你构造一个具有以上外形特征的方程组， 并直接写出它的解 . 7. 阅读材料： 善于思考的小李在解方程组 2x+5y=3 ① ， 4x+11y=5 5 ② 时， 采用了一种 “整体代换” 的解法： 将方程 ② 变形： 4x+10y+y=5 ， 即 2 （ 2x+5y ） +y=5 ③. 把方程 ① 代入 ③ 中， 得 2×3+y=5 ， 所以 y=-1. 把 y=-1 代入 ① ， 得 x=4. 所以方程组的解为 x=4 ， y=-1 5 . 请你解决以下问题： （ 1 ） 模仿小李的 “整体代换” 法解方程组： 3x-2y=5 ① ， 9x-4y=19 ② 5 . （ 2 ） 已知 x ， y 满足方程组 3x 2 -2xy+12y 2 =47 ① ， 2x 2 +xy+8y 2 =36 ② 5 ， 求 x 2 +4y 2 的值 . 中考链接 真题演练 8. （ 2023 ·无锡） 二元一次方程组 2x-3y=1 ， 2x+y= 5 5 的解是 . 9. （ 2023 ·朝阳） 已知关于 x ， y 的方程组 2x+y=2a+1 ， x+2y=a- 5 1 的解满足 x-y=4 ， 则 a 的值为 . 10. （ 2023 ·常德） 解方程组： x-2y=1 ， ① 3x+4y=23. 5 ② 81 参考答案与提示 两种情况： ① 当 0≤t≤10 时， 18t-90＝18 ， ∴t＝6 ； ② 当 12≤t≤27 时， -12t+234＝18 ， ∴t＝18． 综上所述， 当 t＝6 或 18 时， d＝18． 第五章 二元一次方程组 1 认识二元一次方程组 1. 3x+2y=75 15 2. x=1 ， y= = 2 （答案不唯一） 3. １ ２ 4. C 5. D 6. B 7. x+2y=55 ， 2x+3y=90 = . 8. 解： 设每千克西 红柿 x 元， 每千克茄子 y 元， 则 x+y+4.2=12.8 ， 2x+1.5y=15 = . 9. 8x-3=y ， 7x+4= = y 10. D １1. B １2. C 2 求解二元一次方程组 （第 1 课时） 1. ① ② 5y=-14 2. y= 3 ２ x+4 x= 2 3 y- 8 3 3. A 4. C 5. B 6. （ 1 ） x=2 ， y=- = 1 （ 2 ） x=-103 ， y=3 = 7 （ 3 ） m=1 ， n= = 2 （ 4 ） x=3 ， y= = 4 7. 解： 将 x=1 ， y=- = 1 代入原方程组， 得 a-2=b ， 5+b=2a-1 = . 解得 a=4 ， b=2 = ， 则 a+b=6. 8. x=1 ， y= = 2 9. B １0. A 11. 解： 3x+y=8 ， ① 2x-y=7. = ② 由 ② 得 y=2x-7 ③ ， 将 ③ 代入 ① 得 x=3. 把 x=3 代入 ① 得 y=-1. ∴ 原方程组的解为 x=3 ， y=-1. = 2 求解二元一次方程组 （第 2 课时） 1. C 2. D 3. （ 1 ） x=-63 ， y=4 = 6 （ 2 ） x=0.5 ， y=- = 2 （ 3 ） x=4 ， y= = 1 （ 4 ） x=5 ， y= = 7 4. （ 1 ） a=-3 ， b=10. （ ２ ） x=-4 ， y=- 7 5 5 % % % $ % % % & . 5. 解： 将方程 ①+② 后整理， 得 x+y=3 ③ ， 将方程 ①-② 后整理， 得 x-y=1 ④ ， 由方程 ③④ 解得 x=2 ， y=1 = . 6. 解： （ １ ） ① x=1 ， y= = １ ② x=2 ， y= = 2 ③ x=4 ， y= = 4 （ ２ ） x=y （ ３ ） 答案不唯一 ， 如 3x+2y=25 ， 2x+3y=2 = 5 的解为 x=5 ， y=5 = . 7. 解： （ 1 ） 把方程 ② 变形为 3 （ 3x-2y ） +2y=19 ③ ， 把 ① 代入 ③ 得 15+2y=19 ， 即 y=2. 把 y=2 代入 ① 得 x= 3 ， 则方程组的解为 x=3 ， y=2 = . （ 2 ） 由 ① 得 3 （ x 2 +4y 2 ） =47+2xy ， 即 x 2 +4y 2 = 47+2xy 3 ③ ， 把 ③ 代入 ② 得 2× 47+2xy 3 =36- xy ， 得 xy=2 ， 则 x 2 +4y 2 =17． 8. x=2 ， y= = １ 9. 2 10. 解： ①×2+② 得 5x=25. 解得 x=5. 将 x=5 代入 ① ， 得 5-2y=1. 解 得 y=2. ∴ 原方程组的解是 x=5 ， y=2 = . 3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼 1. 解： 设租大船 x 只、 小船 y 只， 根据题意， 得 x+y=10 ， 12x+5y=99 = . 解得 x=7 ， y=3 = . 2. 解： 设甲放羊 x 只、 乙放羊 y 只， 则 x+9=2 （ y-9 ）， x-8=y+8 = . 解得 x=５9 ， y=43 = . 3. 解： 设乌鸦有 x 只， 树有 y 棵， 则 x-5=3y ， x=5 （ y-1 ） = . 解得 x=20 ， y=5 = . 4. 解： 设 x 只 饭碗、 y 只羹碗， 则 x+y=364 ， 3x=4y = . 解得 x=208 ， y=156 = . ∴ 有僧 3×208=624 （人） . 5. A 6. B 7. 解： 设租用甲型客车 x 辆、 乙型客车 y 辆， 根据题意， 得 x+y=15 ， 600x+500y=8 000 = . 解得 x=5 ， y=10 = . 答： 租用甲型客车 5 辆， 乙型客车 10 辆 ． 8. 解： （ 1 ） 设一块长方形墙砖的长为 x m ， 宽为 y m ， 根据题意， 得 x+y=1.5 ， 2x=x+4y = . 解得 x=1.2 ， y=0.3 = . 答： 一块长方形墙砖的长为 1.2 m ， 宽为 0.3 m. （ 2 ） 电视背景墙的面积为 2×1.2×1.5=3.6 （ m 2 ） ． 答： 电视背景墙的面积为 3.6 m 2 ． 9. 解： （ 1 ） 设 A 种商品每件的进价为 x 元， B 种商品每件的进价为 y 元， 则根据题意， 得 3x=5y ， 3x+y=360 = ， 解得 x=100 ， y=60 = . 答： A 种商品每件的进价为 100 元， B 种商品每件的进价为 60 元 . （ 2 ） ∵ 购进 A 种商品 m 件， 则购进 B 种商品 185