1 认识二元一次方程组-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

八年级上册 （北师大版）数学 知识网络 自主导学 典例精析 例题 1 《九章算术》 中记载： 今有牛五、 羊二， 直金十两； 牛二、 羊五， 直金八两 . 问： 牛、 羊各直金几何？ 译文： 假设有 5 头牛、 2 只羊， 值金 10 两； 2 头牛、 5 只羊， 值金 8 两 . 问： 每头牛、 每只羊各值金多少两？ 设每头牛值金 x 两， 每只羊值金 y 两， 请你列方 程组 . 【分析】 根据 “ 5 头牛、 2 只羊， 值金 10 两； 2 头牛、 5 只羊， 值金 8 两” 得到等量关 系： “ 5 头牛的钱 +2 只羊的钱 =10 两金； 2 头牛的钱 +5 只羊的钱 =8 两金” 即可列出方程组 . 【解答】 5x+2y=10 ， 2x+5y=8 8 . 【点拨】 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组， 解题的关键是找到题目中所存 在的等量关系， 并用含未知数 x ， y 的代数式表示等量关系中的其他未知量， 代入等量关系 中， 即可列出方程组 . 1 认识二元一次方程组 二元一次方程组 丰富的现 实情境 概念 二元一次方程组及二元一次方程组的解 二元一次方程及二元一次方程的解 三元一次方程组 解法 （代入法、 加减法） 相关概念 解法 应用 图象法→二元一次方程与一次函数的关系 代入法 加减法 鸡兔同笼问题 增收节支问题 里程碑上的数 第五章 二元一次方程组 74 二元一次方程组 第五章 例题 2 小张带 7 元钱去买中性笔和橡皮 （两种文具都买）， 中性笔每支 2 元， 橡皮每 块 1 元， 那么小张能买中性笔多少支？ 【分析】 设小张买中性笔与橡皮的数量分别为 x ， y ， 根据 “中性笔钱数 + 橡皮钱数 =7 ” 这个等量关系列出二元一次方程， 并结合 x ， y 的解为正整数的特点， 将可能符合要求的 y 的正整数解代入方程中， 求符合要求的 x 正整数解 . 【解答】 设买中性笔 x 支、 橡皮 y 块， 根据题意得 2x+y=7. 当 y=1 时， 代入方程， 得 x=3 ， 解是正整数， 即 x=3 ， y= = 1 是方程的一组解； 当 y=2 时， 代入方程， 得 x=2.5 ， 解不是正整数， 舍去； 当 y=3 时， 代入方程， 得 x=2 ， 解是正整数， 即 x=2 ， y= = 3 是方程的一组解 ; 当 y=4 时， 代入方程， 得 x=1.5 ， 解不是正整数， 舍去； 当 y=5 时， 代入方程， 得 x=1 ， 解是正整数， 即 x=1 ， y= = 5 是方程的一组解 . 所以小张能买中性笔 1 支、 2 支或 3 支 . 【点拨】 此题主要考查了二元一次方程的正整数解， 正确分类讨论是解题关键 . 基础巩固 达标闯关 1. 小李和她的同学到超市为班级买奖品 . 她们买了单价为 3 元的钢笔和单价为 2 元的笔 记本， 共花了 75 元 . 如果设她们买了 x 支钢笔、 y 个笔记本， 则可列出关于 x ， y 的二元一次 方程为 ， 若小李她们买了 15 支钢笔， 那么购买了 个笔记本 . 2. 二元一次方程 3x+2y=7 的一组解为 （只写出一组解即可） . 3. 若 x=-3 ， y= = 2 是关于 x ， y 的二元一次方程 2x+4y+2a=3 的一个解， 则 a= . 4. 下列方程组中， 是二元一次方程组的是 （ ） A. x+y=-7 ， xy=1 = 2 B. 3x+y=7 ， x y =1 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % 2 C. 2x-y=12 ， y=3- = x D. 2x-y=12 ， x 2 -2y+1= = 0 5. 方程组 2x-y=3 ， 3x+2y= = 1 的解是 （ ） A. x=0 ， y=0. = 5 B. x=0 ， y=- = 3 C. x=0.5 ， y=- = 2 D. x=1 ， y=- = 1 6. 把一根 9 m 长的钢管截成 1 m 长和 2 m 长两种规格均有的短钢管， 且没有余料， 设某 种截法中 1 m 长的钢管有 a 根， 则 a 的值可能有 （ ） A． 3 种 B． 4 种 C． 5 种 D． 9 种 75 八年级上册 （北师大版）数学 7. 母亲节那天， 小李同学给妈妈准备了鲜花和礼盒， 如图 . 如果设鲜花每束 x 元， 礼盒每个 y 元， 请根据图中信息列出关于 x ， y 的方程组 . 8. 王阿姨和李奶奶一起去超市买菜， 王阿姨买西红柿、 茄子、 青椒各 1 kg ， 共花 12.8 元； 李奶奶买西红柿 2 kg 、 茄子 1.5 kg ， 共花 15 元 . 已知青椒每千克 4.2 元， 请你求出每千 克西红柿、 茄子各多少元 . （只列出方程组即可） 中考链接 真题演练 9. （ 2023 ·威海） 《九章算术》 中有一个问题： 今有共买物， 人出八， 盈三； 人出七， 不 足四 . 问人数、 物价各几何 . 题目大意是： 有几个人一起去买一件物品， 每人出 8 元， 多 3 元； 每人出 7 元， 少 4 元 . 问有多少人， 该物品价值多少元 . 设有 x 人， 该物品价值 y 元， 根 据题意列方程组为 . 10. （ 2023 ·无锡） 下列 4 组数中， 不是二元一次方程 2x+y=4 的解的是 （ ） A. x=1 ， y= = 2 B. x=2 ， y= = 0 C. x=0.5 ， y= = 3 D. x=-2 ， y= = 4 11. （ 2023 ·绍兴） 《九章算术》 中有一题： 今有大器五、 小器一容三斛； 大器一、 小器 五容二斛 . 问大、 小器各容几斛 . 译文： 今有大容器 5 个、 小容器 1 个， 总容量为 3 斛 （斛： 古代容量单位）； 大容器 1 个、 小容器 5 个， 总容量为 2 斛 . 问大容器、 小容器的容量各是多 少斛 . 设大容器的容量为 x 斛， 小容器的容量为 y 斛， 则可列方程组是 （ ） A. x+5y=3 ， 5x+y= = 2 B. 5x+y=3 ， x+5y= = 2 C. 5x=y+3 ， x=5y+ = 2 D. 5x=y+2 ， x=5y+ = 3 12. （ 2023 ·营口） 2 台大收割机和 5 台小收割机同时工作 2 小时共收割小麦 3.6 公顷， 3 台大收割机和 2 台小收割机同时工作 5 小时共收割小麦 8 公顷 . 1 台大收割机和 1 台小收割 机每小时各收割小麦多少公顷？ 设 1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦 x 公顷和 y 公顷， 根据题意， 可列方程组为 （ ） A. 2 （ 5x+2y ） =3.6 ， 5 （ 2x+3y ） = = 8 B. 2 （ 3x+2y ） =8 ， 5 （ 2x+5y ） =3. = 6 C. 2 （ 2x+5y ） =3.6 ， 5 （ 3x+2y ） = = 8 D. 2 （ 2x+5y ） =8 ， 5 （ 3x+2y ） =3. = 6 第 7 题图 图 $$$ # $$$ % 共 55 元 图 $$$$$ # $$$$$ % 共 90 元 76 参考答案与提示 两种情况： ① 当 0≤t≤10 时， 18t-90＝18 ， ∴t＝6 ； ② 当 12≤t≤27 时， -12t+234＝18 ， ∴t＝18． 综上所述， 当 t＝6 或 18 时， d＝18． 第五章 二元一次方程组 1 认识二元一次方程组 1. 3x+2y=75 15 2. x=1 ， y= = 2 （答案不唯一） 3. １ ２ 4. C 5. D 6. B 7. x+2y=55 ， 2x+3y=90 = . 8. 解： 设每千克西 红柿 x 元， 每千克茄子 y 元， 则 x+y+4.2=12.8 ， 2x+1.5y=15 = . 9. 8x-3=y ， 7x+4= = y 10. D １1. B １2. C 2 求解二元一次方程组 （第 1 课时） 1. ① ② 5y=-14 2. y= 3 ２ x+4 x= 2 3 y- 8 3 3. A 4. C 5. B 6. （ 1 ） x=2 ， y=- = 1 （ 2 ） x=-103 ， y=3 = 7 （ 3 ） m=1 ， n= = 2 （ 4 ） x=3 ， y= = 4 7. 解： 将 x=1 ， y=- = 1 代入原方程组， 得 a-2=b ， 5+b=2a-1 = . 解得 a=4 ， b=2 = ， 则 a+b=6. 8. x=1 ， y= = 2 9. B １0. A 11. 解： 3x+y=8 ， ① 2x-y=7. = ② 由 ② 得 y=2x-7 ③ ， 将 ③ 代入 ① 得 x=3. 把 x=3 代入 ① 得 y=-1. ∴ 原方程组的解为 x=3 ， y=-1. = 2 求解二元一次方程组 （第 2 课时） 1. C 2. D 3. （ 1 ） x=-63 ， y=4 = 6 （ 2 ） x=0.5 ， y=- = 2 （ 3 ） x=4 ， y= = 1 （ 4 ） x=5 ， y= = 7 4. （ 1 ） a=-3 ， b=10. （ ２ ） x=-4 ， y=- 7 5 5 % % % $ % % % & . 5. 解： 将方程 ①+② 后整理， 得 x+y=3 ③ ， 将方程 ①-② 后整理， 得 x-y=1 ④ ， 由方程 ③④ 解得 x=2 ， y=1 = . 6. 解： （ １ ） ① x=1 ， y= = １ ② x=2 ， y= = 2 ③ x=4 ， y= = 4 （ ２ ） x=y （ ３ ） 答案不唯一 ， 如 3x+2y=25 ， 2x+3y=2 = 5 的解为 x=5 ， y=5 = . 7. 解： （ 1 ） 把方程 ② 变形为 3 （ 3x-2y ） +2y=19 ③ ， 把 ① 代入 ③ 得 15+2y=19 ， 即 y=2. 把 y=2 代入 ① 得 x= 3 ， 则方程组的解为 x=3 ， y=2 = . （ 2 ） 由 ① 得 3 （ x 2 +4y 2 ） =47+2xy ， 即 x 2 +4y 2 = 47+2xy 3 ③ ， 把 ③ 代入 ② 得 2× 47+2xy 3 =36- xy ， 得 xy=2 ， 则 x 2 +4y 2 =17． 8. x=2 ， y= = １ 9. 2 10. 解： ①×2+② 得 5x=25. 解得 x=5. 将 x=5 代入 ① ， 得 5-2y=1. 解 得 y=2. ∴ 原方程组的解是 x=5 ， y=2 = . 3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼 1. 解： 设租大船 x 只、 小船 y 只， 根据题意， 得 x+y=10 ， 12x+5y=99 = . 解得 x=7 ， y=3 = . 2. 解： 设甲放羊 x 只、 乙放羊 y 只， 则 x+9=2 （ y-9 ）， x-8=y+8 = . 解得 x=５9 ， y=43 = . 3. 解： 设乌鸦有 x 只， 树有 y 棵， 则 x-5=3y ， x=5 （ y-1 ） = . 解得 x=20 ， y=5 = . 4. 解： 设 x 只 饭碗、 y 只羹碗， 则 x+y=364 ， 3x=4y = . 解得 x=208 ， y=156 = . ∴ 有僧 3×208=624 （人） . 5. A 6. B 7. 解： 设租用甲型客车 x 辆、 乙型客车 y 辆， 根据题意， 得 x+y=15 ， 600x+500y=8 000 = . 解得 x=5 ， y=10 = . 答： 租用甲型客车 5 辆， 乙型客车 10 辆 ． 8. 解： （ 1 ） 设一块长方形墙砖的长为 x m ， 宽为 y m ， 根据题意， 得 x+y=1.5 ， 2x=x+4y = . 解得 x=1.2 ， y=0.3 = . 答： 一块长方形墙砖的长为 1.2 m ， 宽为 0.3 m. （ 2 ） 电视背景墙的面积为 2×1.2×1.5=3.6 （ m 2 ） ． 答： 电视背景墙的面积为 3.6 m 2 ． 9. 解： （ 1 ） 设 A 种商品每件的进价为 x 元， B 种商品每件的进价为 y 元， 则根据题意， 得 3x=5y ， 3x+y=360 = ， 解得 x=100 ， y=60 = . 答： A 种商品每件的进价为 100 元， B 种商品每件的进价为 60 元 . （ 2 ） ∵ 购进 A 种商品 m 件， 则购进 B 种商品 185