4 一次函数的应用(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

八年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 已知某市的光明中学、 市图书馆和光明电影院在同一直线上， 它们之间的距离 如图所示 ． 小张星期天上午带 75 元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆， 付费 9 元； 中 午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院， 付费 12.6 元 ． 若该市出租车的收费标准是： 不超 过 3 km 计费为 m 元， 3 km 后按 n 元 /km 计费 ． （ 1 ） 求 m ， n 的值， 并写出车费 y （元） 与路程 x （ km ） （ x＞3 ） 之间的函数关系式 . （ 2 ） 如果小张这天外出的消费还包括中午吃饭花费 15 元， 在光明电影院看电影花费 25 元， 那么小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？ 为什么？ 【分析】 （ 1 ） 根据题意， 不超过 3 km 计费为 m 元， 由图示可知光明中学和市图书馆相 距 2 km ， 由此得出 m. 再根据行驶 5 km 用 12.6 元求出 n. 根据出租车的收费标准找到等量 关系： y=3 km 计费 + 超出 3 km 部分计费， 进而得到收费与路程之间的函数关系式 . （ 2 ） 根 据题设和 （ 1 ） 所求表达式即可求得 ． 【解答】 （ 1 ） 由图示可知光明中学和市图书馆相距 2 km ， 付费 9 元， 所以 m=9. 因为从市图书馆乘出租车去光明电影院， 路程 5 km ， 付费 12.6 元， 所以（ 5-3 ） n+9=12.6. 解得 n=1.8． 所以车费 y 与 x 之间的函数关系式为 y=1.8 （ x-3 ） +9=1.8x+3.6 （ x＞3 ） . （ 2 ） 小张剩下坐车的钱数为 75-15-25-9-12.6=13.4 （元）， 乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用为 y=1.8×7+3.6=16.2 （元）， 因为 13.4＜16.2 ， 故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学 ． 【点拨】 本题考查一次函数的应用， 找到题中隐含的等量关系列出函数表达式是解题的 关键 . 此外， 要特别注意实际问题自变量的取值范围 . 基础巩固 达标闯关 1. 若一次函数 y=kx 的图象过点 （ 1 ， 3 ）， 则这个函数表达式为 . 2. 若点 A （ 0 ， -1 ） 和点 B （ -4 ， -9 ） 在一次函数 y=kx+b 的图象上， 则 k= ， b= . 3. 如图， 将直线 OA 向上平移 1 个单位长度， 得到一个一次函数的图象， 那么这个一次函数的表达式是 . 4 一次函数的应用 （第 1课时） 2 km 5 km 光明中学 市图书馆 光明电影院 例题图 第 3 题图 x y O 4 3 2 1 1 2 3 A 62 一 次 函 数 第四章 4. 已知 y 是 x 的一次函数， 下表列出了部分对应值， 则 m= . 5. 在直线 y=2x-5 上的点是 （ ） A. （ -2 ， 1 ） B. （ 2 ， -1 ） C. （ -1 ， 2 ） D. （ 1 ， -2 ） 6. 过点 （ -2 ， -4 ） 的直线是 （ ） A. y=x-2 B. y=x＋2 C. y=2x+1 D. y=-2x+1 7. 已知 y-3 与 x 成正比例， 且 x=2 时， y=7. （ 1 ） 写出 y 与 x 之间的函数关系式 . （ 2 ） 画出这个函数的图象， 并标出图象与 x 轴和 y 轴的交点坐标 . 8. 已知正比例函数 y=kx 经过点 P （ 1 ， 2 ）， 如图所示 . （ 1 ） 求这个正比例函数的表达式 . （ 2 ） 将这个正比例函数的图象 （直线 OP ） 向下平行移动 4 个单位长度， 点 P 移动到 P′ ， 点 O 移动到 O′ ， 你能写出点 P′ 和 O′ 的坐标和直线 P′O′ 的表达式吗？ 能力提升 综合拓展 9. 在平面直角坐标系中， 一次函数 y=kx+b （ k ， b 都是常数， 且 k≠0 ） 的图象经过点 （ 1 ， 0 ） 和 （ 0 ， 2 ） ． （ 1 ） 当 -2＜x≤3 时， 求 y 的取值范围 . （ 2 ） 已知点 P （ m ， n ） 在该函数的图象上， 且 m-n=4 ， 求点 P 的坐标 ． x 0 1 -2 y -1 m 5 第 7 题图 x y O 3 2 1 -1 -2 -3 -3 -2 -1 1 2 3 第 8 题图 x y O 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 P′ P O′ 63 八年级上册 （北师大版）数学 10． 根据记录， 从地面向上 11 km 以内， 每升高 1 km ， 气温降低 6 ℃. 又知在距离地面 11 km 以上的高空， 气温几乎不变 . 若地面气温为 m （ ℃ ）， 设距地面的高度为 x （ km ） 处的 气温为 y （ ℃ ） . （ 1 ） 写出距地面的高度在 11 km 以内的 y 与 x 之间的函数关系式 . （ 2 ） 小王在乘飞机从上海飞到沈阳的途中， 某一时刻， 她从机舱内屏幕显示的相关数据 得知， 当飞机外气温为 -26 ℃ 时， 飞机距离地面的高度为 7 km ， 求当时这架飞机下方地面的 气温 . 小王想， 假如飞机当时在距离地面 12 km 的高空， 飞机外的气温是多少度呢？ 请求出 飞机距离地面 12 km 时， 飞机外的气温 . 11. 《九章算术》 中记载， 浮箭漏 （图 1 ） 出现于汉武帝时期， 它由供水壶和箭壶组成， 箭壶内装有箭尺， 水匀速地从供水壶流到箭壶， 箭壶中的水位逐渐上升， 箭尺匀速上浮， 可 通过读取箭尺读数计算时间 . 某学校 STEAM 小组仿制了一套浮箭漏， 并从函数角度进行了 如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察， 每 2 小时记录一次箭尺读数， 得到数据如下表： 【探索发现】 ① 建立平面直角坐标系， 如图 2 ， 横轴表示供水时间 x ， 纵轴表示箭尺读数 y ， 描出以表格中数据为坐标的各点 . ② 观察上述各点的分布规律， 判断它们是否在同一条直线上， 如果在同一条直线上， 求 出这条直线所对应的函数表达式， 如果不在同一条直线上， 请说明理由 . 【结论应用】 应用上述发现的规律估算： ① 供水时间达到 12 h 时， 箭尺的读数为多少厘米？ ② 如果本次实验记录的开始时间是上午 8 ： 00 ， 那么当箭尺读数为 90 cm 时是几点钟？ （箭尺最大读数为 100 cm ） 供水时间 x/h 0 2 8 箭尺读数 y/cm 6 18 54 4 30 6 42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 54 48 42 36 30 24 18 12 6 x/h y/cm O 浮箭漏示意图 接水壶 箭尺 供水壶 箭壶 图 1 图 2 第 11 题图 64 一 次 函 数 第四章 中考链接 真题演练 12. （ 2023 ·山西） 一种弹簧秤最大能称不超过 10 kg 的物体， 不挂物体时弹簧的长为 12 cm ， 每挂重 1 kg 物体， 弹簧伸长 0.5 cm ， 在弹性限度内， 挂重后弹簧的长度 y （ cm ） 与 所挂物体的质量 x （ kg ） 之间的函数关系式为 （ ） A． y=12-0.5x B． y=12+0.5x C． y=10+0.5x D． y=0.5x 13. （ 2023 ·武汉） 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理， 它揭示了以格点为顶点的 多边形的面积 S=N+ 1 2 L-1 ， 其中 N ， L 分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数， 在平 面直角坐标系中， 横、 纵坐标都是整数的点为格点 ． 已知 A （ 0 ， 30 ）， B （ 20 ， 10 ）， O （ 0 ， 0 ）， 则 △ABO 内部的格点个数是 （ ） A． 266 B． 270 C． 271 D． 285 14. （ 2023 ·宜昌） 某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度 ． 小张想用刻度不超过 100 ℃ 的温度计测算出这种食用油沸点的温度 ． 在老师的指导下， 他在锅中倒入一些这种食用油均 匀加热， 并每隔 10 s 测量一次锅中油温， 得到的数据记录如下： （ 1 ） 小张在直角坐标系中描出了表中数据对应的点 ． 经老师介绍， 在这种食用油达到沸 点前， 锅中油温 y （ ℃ ） 与加热的时间 t （ s ） 符合初中学习过的某种函数关系， 求 y 关于 t 的 函数表达式 . （ 2 ） 当加热 110 s 时， 油沸腾了， 请推算沸点的温度 ． 时间 t/s 0 10 40 油温 y/℃ 10 30 90 20 50 30 70 第 14 题图 t/s y/℃ O 605040302010 60 50 40 30 20 10 90 80 70 65 八年级上册 （北师大版）数学 变量 . （ 2 ） 不正确， S=l （ 31-l ）， l 是自变量， S 是因变量 . 7. 解： （ 1 ） h 是自变量， m 是因变量 . （ 2 ） m= （ 170-150 ） ×0.6+48=60 （ kg ） . （ 3 ） 略 . 8. 解： （ 1 ） 是函数， 自变量是每条生产线生产农用播种机的数量， 函数 是每条生产线的生产成本 . （ 2 ） 根据表格所反映的函数的变化规律可得， 当每条生产线生产农用播种机的数量 为 70 台时， 每条生产线的生产成本是 300 万元 . （ 3 ） 随着每条生产线生产农用播种机的数量增加， 每条生产线 的生产成本越来越少 . （ 4 ） 当每条生产线生产农用播种机的数量为 130 台时， 该厂可收回成本， 即生产成本为 0. 9. 解： （ 1 ） ①8 ， 18 ； ②13 ， 28 ； ③１8 ， 38. （ 2 ） 3 （ n+1 ） +2n 或 5n+3 ， 2 ［ ３ （ n+1 ） +1 ］ +2×2n 或 10n+8. （ 3 ） y=2x+2. 10. x≥-3 11. D ２ 一次函数与正比例函数 1. v=2t 一 正比例 2. -1 3. B 4. C 5. （ 1 ） h=20-5t. （ 2 ） 7.5 cm. （ 3 ） 4 h. 6. （ 1 ） y=25×20+ 10 （ x-20 ） =10x+300. （ 2 ） 当 x=54 时， y=10×54+300=840 （元） . 7. 解： （ 1 ） y=- 1 ２ x+25. （ 2 ） 由三角形三边关 系得 2y＞x ， 即 50-x＞x ， ∴x 的取值范围是 0＜x＜25. 8. 解： （ 1 ） y= （ 15+3 ） x+ （ 20+4 ）（ 2 000-x ） =-6x+48 000. （ 2 ） 由题意得 0.95x+0.99 （ 2 000-x ） =1 960. ∴x=500. 当 x=500 时， y=-6×500+48 000=45 000. ∴ 造这片林的总费用需 45 000 元 . 9. 解： （ 1 ） 去 A 超市购买所需费用 y A =0.9 （ 20×10+10x ）， 即 y A =9x+180. 去 B 超市购买所需费用 y B = 20×10+10 （ x-3 ）， 即 y B =10x+170. （ 2 ） 当 y A =y B 时， 即 9x+180=10x+170 ， x=10. （ 3 ） 当 x=12 时， 即购买 10 副 球拍应配 120 个乒乓球 . 若只去 A 超市购买的费用为 9x+180=9×12+180=288 （元）； 若只去 B 超市购买的费用为 10x+170=10×12+170=290 （元）； 若在 B 超市购买 10 副球拍， 去 A 超市购买余下的乒乓球的费用为 200+0.9× （ 12- 3 ） ×10=281 （元） . ∵281＜288＜290 ， 最佳方案为只在 B 超市购买 10 副球拍， 同时获送 30 个乒乓球， 然后去 A 超市 按九折购买 90 个乒乓球 . １0. 52 １１. B １2. 解： （ 1 ） 8 （ 2 ） 由函数定义知， 当 x=0 时， y=0×k+b=b ， 由表格 可知， 当自变量 x=0 时， 对应函数值 y＝6 ， ∴b=6. ∴ 当 x＜1 时， 对应的函数 y=kx+6. 由表格可知， 当自变量 x=-2 时， 对应函数值 y＝2 ， 而由函数定义知， 当 x=-2 时， y=-2×k+6=-2k+6. ∴-2k+6=2. 解得 k=2. ∴k=2 ， b=6. （ 3 ） 令 y＝0 ， 由 y＝8x ， 得 0＝8x ， ∴x＝0. ∵0＜1 ， ∴ 不符合题意， 舍去； 由 y＝2x+6 ， 得 0＝2x+6. ∴x＝-3＜1. ∴ 输出的 y 值为 0 时， 输入的 x 值为 -3． 3 一次函数的图象 （第 1 课时） 1. 二、 四 2. 3 3. 135° 或 45° 4. x 轴、 y 轴 5. D 6. D 7. C 8. 图象略 . 提示： 正比例函数过 （ 0 ， 0 ）， （ 1 ， k ） 两点作函数图象 . 9. （ 1 ， 2 ） （答案不唯一） 10. y=-2x （答案不唯一） １1. 2 2 020 12. D 3 一次函数的图象 （第 2 课时） 1. 减小 2. m＞-2 3. ＞ 4. D 5. B 6. C 7. A 8. 解： （ 1 ） 根据一次函数 y 的值随着 x 值的增大而增大， 可得 3-a＞0 ， 即 a＜3. （ 2 ） 根据一次函数 y 的值随着 x 值的增大而减小， 得 3-a＜0 ， 即 a＞3. 9. 解： （ 1 ） 当 a+ 2＞0 ， 3-b 为任意数时， 即 a＞-2 ， b 为任意实数 . （ 2 ） ∵ 图象经过第二、 三、 四象限， ∴a+2＜0 ， - （ 3-b ） ＜0 ， 即 a＜-2 ， b＜3. （ 3 ） 当 a+2≠0 ， - （ 3-b ） ＞0 即 a≠-2 ， b＞3. 10. 解： 图象略 . （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 的图象互相平行， （ 4 ） （ 5 ） （ 6 ） 的图象互相平行； （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 的图象分别与 （ 4 ） （ 5 ） （ 6 ） 的图象互相垂直 . 规律： ① 当两个一次 函数的 k 值相等时， 它们的图象互相平行， 当两个一次函数的 k 值互为负倒数时， 它们的图象互相垂直； ② 直线 y=－2x+3 和 y=－2x－3 可分别由直线 y=－2x 向上平移 3 个单位长度和向下平移 3 个单位长度得到； ③ 直线 y= 1 2 x+1 和 y= 1 2 x－1 可分别由直线 y= 1 2 x 向上平移 1 个单位长度和向下平移 1 个单位长度得到 . １１. 5 １２. k=1 ， b=-1 （答案不唯一） １３. 3 （答案不唯一） １４. D １5. D １6. B １7. D ４ 一次函数的应用 （第 1 课时） 1. y=3x 2. 2 -1 3. y=2x+1 4. -4 5. B 6. A 7. 解： （ 1 ） 设 y-3=kx ， 由题意知 7-3=2k ， 则 k=2 ， 得 y= 2x+3 ； （ 2 ） 图象略， 交点坐标为 （ -1.5 ， 0 ）， （ 0 ， 3 ） . 8. 解： （ 1 ） 由于点 P （ 1 ， 2 ） 在直线 y＝kx 上， 可得这 个正比例函数表达式为 y＝2x. （ 2 ） 由题意知 P′ （ 1 ， -2 ）， O′ （ 0 ， -4 ）， 设函数表达式为 y=kx+b ， 则 k+b=-2 ， b=-4 ， 解得 k=2 ， b=-4. ∴ 表达式为 y＝2x-4. 9. 解： （ 1 ） 设函数表达式为 y=kx+b ， 将 （ 1 ， 0 ）， （ 0 ， 2 ） 代入， 得 b= 2 ， k+b=0 ， 解得 k=-2 ， b=2 ， ∴ 这个函数的表达式为 y=-2x+2 ， 把 x=-2 代入 y=-2x+2 ， 得 y=6 ， 把 x=3 代入 y=-2x+ 2 ， 得 y=-4. ∴y 的取值范围是 -4≤y＜6. （ 2 ） ∵ 点 P （ m ， n ） 在该函数的图象上， ∴n=-2m+2. ∵m-n=4 ， ∴m- （ -2m+2 ） = 4. 解得 m=2 ， n=-2. ∴ 点 P 的坐标为 （ 2 ， -2 ） . 10． 解： （ 1 ） 根据题意 , 得 y=m-6x （ 0≤x≤11 ） . （ 2 ） 将 x=7 ， y=-26 代入 y=m-6x ， 得 -26=m-6×7. ∴m=16. ∴ 当时地面气温为 16 ℃. ∵x=12＞11 ， ∴y=16-6×11=-50 （ ℃ ） . 假如当 182 参考答案与提示 时飞机距地面 12 km 时， 飞机外的气温为 -50 ℃. 11. 解： 【探索发现】 ① 在坐标系中描点略 . ② 观察上述各点的 分布规律， 可得它们在同一条直线上， 设这条直线所对应的函数表达式为 y＝kx+b ， 则根据题意， 得 b=6 ， 2k+b= 18. 解得 k=6 ， b=6. ∴y＝6x+6. 【结论应用】 应用上述发现的规律估算： ①x＝12 时， y＝6×12+6＝78. ∴ 供水时间达到 12 h 时， 箭尺的读数为 78 cm. ②y＝90 时， 即 6x+6＝90. 解得 x＝14. ∴ 供水时间为 14 h. ∵ 本次实验记录的开始时间 是上午 8 ： 00 ， 8 ： 00+14＝22 ： 00. ∴ 当箭尺读数为 90 cm 时是 22 点 . 12. B 13. C 提示： 由 A （ 0 ， 30 ） 可知边 OA 上有 31 个格点 （含点 O ， A ）； ∵ 直线 OB 的表达式为 y= 1 2 x ， ∴ 当 x 为小于或等于 20 的正偶数时， y 也为整数， 即 OB 边上有 10 个格点 （不含端点 O ， 含端点 B ）； ∵ 直线 AB 的表达式为 y=-x+30 ， ∴ 当 0＜x＜20 且 x 为整数时， y 均为整数， 故边 AB 上有 19 个格点 （不含端点）， ∴L=31+19+10=60. ∵△ABO 的面积为 S= 1 2 ×30×20=300 ， ∴300= N+ 1 2 ×60-1. ∴N=271． 14. 解： （ 1 ） 根据题图可知， 时间每增加 10 s ， 油的温度就升高 20 ℃ ， 锅中油温 y 与加 热的时间 t 之间可能是一次函数关系 . 设 y 关于 t 的函数表达式为 y=kt+b （ k≠0 ） . 将点 （ 0 ， 10 ）， （ 10 ， 30 ） 的 坐标代入上式， 得 b=10 ， 10k+b=30 0 ， 解得 k=2 ， b=10 0 ， ∴y=2t+10 ， 且表格中其他组 t 与 y 的对应值均满足该表达式 . （ 2 ） 当 t= 110 时， y=2×110+10=230 ， ∴ 沸点的温度是 230 ℃. ４ 一次函数的应用 （第 2 课时） 1. y＜-2 2. 1 3. 20 4. D 5. 解： （ 1 ） 由题意， 得 v 小李 = 36 2.25 =16 （ km/h ） . 设小张骑车的速度为 x km/h ， 由题意， 得 1× （ 16+x ） =36. ∴x=20. ∴ 小张骑车的速度为 20 km/h ， 小李骑车的速度为 16 km/h. （ 2 ） 由图象可知， 点 E 表示小张到了甲地， 此时小李没到， ∴ 点 E 的横坐标 = 36 20 = 9 5 =1.8. 点 E 的纵坐标 = 9 5 ×16= 144 5 =28.8. ∴ 点 E （ 1.8 ， 28.8 ） . 点 E 的实际意义为两人出发 1.8 h 后小张到达了甲地， 此时小李离开甲地的距离为 28.8 km. 6. 解： （ 1 ） 由题意知， 1 000×0.9=900 （元） . 答： 购买一张加油卡实际花了 900 元 . （ 2 ） 由题意知， y=0.9 （ x-0.3 ）， 整 理得 y=0.9x-0.27. ∴y 关于 x 的函数表达式为 y=0.9x-0.27. （ 3 ） 当 x=7.3 时， y=0.9×7.3-0.27=6.3. ∴7.3-6.3=1. ∴ 优 惠后每升油的价格比原价便宜 1 元 . 7. 解： （ 1 ） ①0.12 1.2 0.6 ② 由图象知， 小张同学从体育场到文具店的速 度为 1.2-0.6 50-40 =0.06 （ km/min ） . ③ 当 50≤x≤60 时， y=0.6 ； 在 60<x≤80 范围内， ∵ 小张同学从文具店到宿舍的速 度为 0.6-0 80-60 =0.03 （ km/min ）， ∴ 函数图象对应的函数表达式的斜率 k=-0.03. ∴ 设对应的函数表达式为 y=-0.03x+b. ∵ 点 （ 80 ， 0 ） 在该函数图象上， ∴0=-0.03×80+b. ∴b=2.4. ∴ 当 60≤x≤80 时， y=-0.03x+2.4. 综上所述， 当 50≤ x≤80 时， 小张同学离宿舍的距离 y 关于时间 x 的函数表达式为 y= 0.6 （ 50≤x≤60 ）， -0.03x+2.4 （ 60<x≤80 ） 0 . （ 2 ） 根据题意， 当 小张同学离开体育场 15 min 时， 已经到达文具店并停留了 5 min. 设小李同学从体育场出发 x min 后与小张同学 相遇， 则 0.06x=0.03 （ x-5 ） +0.6 ， 解得 x=15. ∴1.2-0.06×15=0.3 （ km ） . ∴ 离宿舍的距离为 0.3 km. 8. 解： （ 1 ） 由 图象可知， 甲、 乙两组合作挖掘了 30 天， 甲单独挖掘了 30 天， 即甲组比乙组多挖掘了 30 天 . （ 2 ） 乙组停工 时， 挖掘天数为 30 天 ， 此时甲 、 乙两组挖掘的长度之和为 210 m. 当超过 30 天时 ， 甲组单独挖掘的效率为 300-210 60-30 =3 （ m/ 天）， 则 y=210+3 （ x-30 ） =3x+120. ∴y 关于 x 的函数表达式为 y=3x+120 （ 30≤x≤60 ） . （ 3 ） 由 （ 2 ） 可知， 甲单独挖掘 30 天时挖掘长度为 90 m ， 甲的工作效率为 3 m/ 天 . 前 30 天甲、 乙两组合作挖掘了 210 m ， 则 乙单独挖掘的长度为 210-90=120 （ m ） . 当甲挖掘长度为 120 m 时， 工作天数为 120÷3=40 （天）， 此时乙组停工 天数为 40-30=10 （天） . ４ 一次函数的应用 （第 3 课时） 1. 解： （ 1 ） 每月行驶的路程小于 1 500 km 时， 租国有出租车公司的车合算 . （ 2 ） 每月行驶的路程等于 1 500 km 时， 租两家车的费用相同 . （ 3 ） 如果每月行驶的路程为 2 300 km ， 那么这个单位租个体车主的车合 算， 因为当 x＞1 500 时， y 2 ＞y 1 . 2. 解： （ 1 ） 图象反映了赛跑的距离 s 与赛跑所花时间 t 之间的关系 . （ 2 ） 他们 进行的是 200 m 赛跑 . （ 3 ） 甲是冠军 . （ 4 ） 乙在这次比赛中的速度是 8 m/s. 3. 解： （ 1 ） 当 x=50 时， y= 900 ， 所以当旅客所携带行李的质量为 50 kg 时， 携带行李的运费应为 900 元 . （ 2 ） 由图可知， 当行李质量 x= 183