2 一次函数与正比例函数-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

一 次 函 数 第四章 自主导学 典例精析 例题 写出下列各题中 y 与 x 的函数关系式， 并判断 y 是不是 x 的一次函数或正比例 函数 ． （ 1 ） 苹果每千克 2.5 元， 购买苹果的费用 y （元） 与苹果重量 x （ kg ） 之间的函数关系 . （ 2 ） 某村耕地面积为 10 6 m 2 ， 该村人均占有耕地面积 y （ m 2 ） 与人数 x （人） 之间的函 数关系 . （ 3 ） 地面气温为 28 ℃ ， 如果高度每升高 1 km ， 气温下降 5 ℃ ， 气温 x （ ℃ ） 与高度 y （ km ） 之间的函数关系 . 【分析】 （ 1 ） 根据购买苹果的费用 = 苹果单价 × 购买重量， 即可列出函数关系式 . （ 2 ） 根 据人均占有耕地面积 y= 总面积 ÷ 总人数， 即可列出函数关系式 . （ 3 ） 根据高度每升高 1 km ， 气温 下降 5 ℃ ， 得出 28-5y=x 即可 ． 【解答】 （ 1 ） 根据题意得出 y=2.5x ， 是正比例函数也是一次函数 . （ 2 ） 根据题意得出 y＝ 10 ６ x ， 不是一次函数 . （ 3 ） 根据题意得出 28-5y=x ， 则 y＝- 1 5 x+ 28 5 ， 是一次函数 ． 【点拨】 此题考查根据实际问题列一次函数表达式， 正确得出等量关系是解题关键 ． 基础巩固 达标闯关 1. 一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动， 其中速度每秒增加 2 m ， 则小球速度 v （ m/s ） 与时间 t （ s ） 之间的关系是 ， 它是 次函数， 也是 函数 . 2. 已知一次函数 y= （ k-1 ） x ｜k｜ +3 ， 则 k= . 3. 下列函数是一次函数的是 （ ） A. y=- 1 2x B. y= 1 2 x+ 2 3 C. y=xz D. y=x 2 +1 4. 一段导线， 在 0 ℃ 时电阻为 2 Ω ， 温度每增加 1 ℃ ， 电阻就增加 0.008 Ω ， 那么电阻 R 与温度 t 之间的关系式是 （ ） A. R=0.008t B. R=2.008t C. R=2+0.008t D. R=2t+0.008 5. 一支蜡烛长 20 cm ， 点燃后每小时燃烧 5 cm ， 设燃烧时蜡烛剩余的高度为 h （ cm ）， 燃烧的时间为 t （ h ） . 2 一次函数与正比例函数 53 八年级上册 （北师大版）数学 （ 1 ） 请写出 h 与 t 的函数关系式 . （ 2 ） 当燃烧了 2.5 h 时， 蜡烛剩余的高度是多少？ （ 3 ） 这支蜡烛能燃烧多长时间？ 6. 某风景区集体门票的收费标准是 20 人以内 （含 20 人）， 每人 25 元； 超过 20 人的， 超过的部分每人 10 元 . （ 1 ） 写出应收门票费 y （元） 与游览人数 x （人） （ x＞20 ） 之间的函数关系式 . （ 2 ） 利用 （ 1 ） 中的函数关系式计算某班 54 名学生去该风景区游览时， 购买门票共需多 少元 . 能力提升 综合拓展 7. 若等腰三角形的周长为 50 cm ， 底边长为 x cm ， 一腰长为 y cm. （ 1 ） 试写出 y 与 x 的函数关系式 . （ 2 ） 自变量 x 取值范围有限制吗？ 如果有， 请写出自变量 x 的取值范围 . 54 一 次 函 数 第四章 8. 生态公园计划在园内的坡地上造一片有 A ， B 两种树的混合林， 需要购买这两种树苗 2 000 棵 . 种植 A ， B 两种树苗的相关信息如下表： 设购买 A 种树苗 x 棵， 造这片林的总费用为 y 元 . 解答下列问题： （ 1 ） 写出 y （元） 与 x （棵） 之间的函数关系式 . （ 2 ） 假设这批树苗种植后成活 1 960 棵， 则造这片林的总费用为多少元？ 9. 某乒乓球训练馆准备购买 10 副某品牌的乒乓球拍， 每副球拍配 x （ x≥3 ） 个乒乓球， 已知 A ， B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售， 且每副球拍的标价都为 20 元， 每个乒乓球的标价都为 1 元 . 现两家超市正在促销， A 超市所有商品均打九折 （按原价的 90% 付费） 销售， 而 B 超市买 1 副乒乓球拍送 3 个乒乓球 . 设去 A ， B 超市购买所需费用分 别为 y A ， y B （仅考虑购买球拍和乒乓球的费用）， 请解答下列问题： （ 1 ） 分别写出 y A ， y B 与 x 的函数关系式 . （ 2 ） 当每副球拍配多少个乒乓球时， 去 A 超市和 B 超市购买费用一样多？ （ 3 ） 当 x=12 时， 请设计最省钱的购买方案 . 品种 单价 / （元 / 棵） 成活率 劳务费 / （元 / 棵） A 15 95% 3 B 20 99% 4 55 八年级上册 （北师大版）数学 中考链接 真题演练 10. （ 2021 ·南通） 下表中记录了一次试验中时间和温度的数据 . 若温度的变化是均匀的， 则 14 min 时的温度是 ℃. 11. （ 2022 ·大连） 汽车油箱中有汽油 30 L. 如果不再加油， 那么油箱中的油量 y （ L ） 随 行驶路程 x （ km ） 的增加而减少， 平均耗油量为 0.1 L/km. 当 0≤x≤300 时， y 与 x 的函数表 达式是 （ ） A. y=0.1x B. y=-0.1x+30 C. y= 300 x D. y=-0.1x 2 +30x 12. （ 2022 ·陕西） 如图是一个 “函数求值机” 的示意图， 其中 y 是 x 的函数 . 下面表格 中， 是通过该 “函数求值机” 得到的几组 x 与 y 的对应值 . 根据以上信息， 解答下列问题： （ 1 ） 当输入的 x 值为 1 时， 输出的 y 值为 . （ 2 ） 求 k ， b 的值 . （ 3 ） 当输出的 y 值为 0 时， 求输入的 x 值 . 时间 /min 0 25 温度 /℃ 10 85 5 25 10 40 15 20 55 70 输入 x … … 输出 y … … -6 -6 0 2 6 16 -4 -2 -2 2 第 12 题图 输入 x 输出 y y=kx+b （ k≠0 ） y=8x 当 x<1 时 当 x≥1 时 56 八年级上册 （北师大版）数学 变量 . （ 2 ） 不正确， S=l （ 31-l ）， l 是自变量， S 是因变量 . 7. 解： （ 1 ） h 是自变量， m 是因变量 . （ 2 ） m= （ 170-150 ） ×0.6+48=60 （ kg ） . （ 3 ） 略 . 8. 解： （ 1 ） 是函数， 自变量是每条生产线生产农用播种机的数量， 函数 是每条生产线的生产成本 . （ 2 ） 根据表格所反映的函数的变化规律可得， 当每条生产线生产农用播种机的数量 为 70 台时， 每条生产线的生产成本是 300 万元 . （ 3 ） 随着每条生产线生产农用播种机的数量增加， 每条生产线 的生产成本越来越少 . （ 4 ） 当每条生产线生产农用播种机的数量为 130 台时， 该厂可收回成本， 即生产成本为 0. 9. 解： （ 1 ） ①8 ， 18 ； ②13 ， 28 ； ③１8 ， 38. （ 2 ） 3 （ n+1 ） +2n 或 5n+3 ， 2 ［ ３ （ n+1 ） +1 ］ +2×2n 或 10n+8. （ 3 ） y=2x+2. 10. x≥-3 11. D ２ 一次函数与正比例函数 1. v=2t 一 正比例 2. -1 3. B 4. C 5. （ 1 ） h=20-5t. （ 2 ） 7.5 cm. （ 3 ） 4 h. 6. （ 1 ） y=25×20+ 10 （ x-20 ） =10x+300. （ 2 ） 当 x=54 时， y=10×54+300=840 （元） . 7. 解： （ 1 ） y=- 1 ２ x+25. （ 2 ） 由三角形三边关 系得 2y＞x ， 即 50-x＞x ， ∴x 的取值范围是 0＜x＜25. 8. 解： （ 1 ） y= （ 15+3 ） x+ （ 20+4 ）（ 2 000-x ） =-6x+48 000. （ 2 ） 由题意得 0.95x+0.99 （ 2 000-x ） =1 960. ∴x=500. 当 x=500 时， y=-6×500+48 000=45 000. ∴ 造这片林的总费用需 45 000 元 . 9. 解： （ 1 ） 去 A 超市购买所需费用 y A =0.9 （ 20×10+10x ）， 即 y A =9x+180. 去 B 超市购买所需费用 y B = 20×10+10 （ x-3 ）， 即 y B =10x+170. （ 2 ） 当 y A =y B 时， 即 9x+180=10x+170 ， x=10. （ 3 ） 当 x=12 时， 即购买 10 副 球拍应配 120 个乒乓球 . 若只去 A 超市购买的费用为 9x+180=9×12+180=288 （元）； 若只去 B 超市购买的费用为 10x+170=10×12+170=290 （元）； 若在 B 超市购买 10 副球拍， 去 A 超市购买余下的乒乓球的费用为 200+0.9× （ 12- 3 ） ×10=281 （元） . ∵281＜288＜290 ， 最佳方案为只在 B 超市购买 10 副球拍， 同时获送 30 个乒乓球， 然后去 A 超市 按九折购买 90 个乒乓球 . １0. 52 １１. B １2. 解： （ 1 ） 8 （ 2 ） 由函数定义知， 当 x=0 时， y=0×k+b=b ， 由表格 可知， 当自变量 x=0 时， 对应函数值 y＝6 ， ∴b=6. ∴ 当 x＜1 时， 对应的函数 y=kx+6. 由表格可知， 当自变量 x=-2 时， 对应函数值 y＝2 ， 而由函数定义知， 当 x=-2 时， y=-2×k+6=-2k+6. ∴-2k+6=2. 解得 k=2. ∴k=2 ， b=6. （ 3 ） 令 y＝0 ， 由 y＝8x ， 得 0＝8x ， ∴x＝0. ∵0＜1 ， ∴ 不符合题意， 舍去； 由 y＝2x+6 ， 得 0＝2x+6. ∴x＝-3＜1. ∴ 输出的 y 值为 0 时， 输入的 x 值为 -3． 3 一次函数的图象 （第 1 课时） 1. 二、 四 2. 3 3. 135° 或 45° 4. x 轴、 y 轴 5. D 6. D 7. C 8. 图象略 . 提示： 正比例函数过 （ 0 ， 0 ）， （ 1 ， k ） 两点作函数图象 . 9. （ 1 ， 2 ） （答案不唯一） 10. y=-2x （答案不唯一） １1. 2 2 020 12. D 3 一次函数的图象 （第 2 课时） 1. 减小 2. m＞-2 3. ＞ 4. D 5. B 6. C 7. A 8. 解： （ 1 ） 根据一次函数 y 的值随着 x 值的增大而增大， 可得 3-a＞0 ， 即 a＜3. （ 2 ） 根据一次函数 y 的值随着 x 值的增大而减小， 得 3-a＜0 ， 即 a＞3. 9. 解： （ 1 ） 当 a+ 2＞0 ， 3-b 为任意数时， 即 a＞-2 ， b 为任意实数 . （ 2 ） ∵ 图象经过第二、 三、 四象限， ∴a+2＜0 ， - （ 3-b ） ＜0 ， 即 a＜-2 ， b＜3. （ 3 ） 当 a+2≠0 ， - （ 3-b ） ＞0 即 a≠-2 ， b＞3. 10. 解： 图象略 . （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 的图象互相平行， （ 4 ） （ 5 ） （ 6 ） 的图象互相平行； （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 的图象分别与 （ 4 ） （ 5 ） （ 6 ） 的图象互相垂直 . 规律： ① 当两个一次 函数的 k 值相等时， 它们的图象互相平行， 当两个一次函数的 k 值互为负倒数时， 它们的图象互相垂直； ② 直线 y=－2x+3 和 y=－2x－3 可分别由直线 y=－2x 向上平移 3 个单位长度和向下平移 3 个单位长度得到； ③ 直线 y= 1 2 x+1 和 y= 1 2 x－1 可分别由直线 y= 1 2 x 向上平移 1 个单位长度和向下平移 1 个单位长度得到 . １１. 5 １２. k=1 ， b=-1 （答案不唯一） １３. 3 （答案不唯一） １４. D １5. D １6. B １7. D ４ 一次函数的应用 （第 1 课时） 1. y=3x 2. 2 -1 3. y=2x+1 4. -4 5. B 6. A 7. 解： （ 1 ） 设 y-3=kx ， 由题意知 7-3=2k ， 则 k=2 ， 得 y= 2x+3 ； （ 2 ） 图象略， 交点坐标为 （ -1.5 ， 0 ）， （ 0 ， 3 ） . 8. 解： （ 1 ） 由于点 P （ 1 ， 2 ） 在直线 y＝kx 上， 可得这 个正比例函数表达式为 y＝2x. （ 2 ） 由题意知 P′ （ 1 ， -2 ）， O′ （ 0 ， -4 ）， 设函数表达式为 y=kx+b ， 则 k+b=-2 ， b=-4 ， 解得 k=2 ， b=-4. ∴ 表达式为 y＝2x-4. 9. 解： （ 1 ） 设函数表达式为 y=kx+b ， 将 （ 1 ， 0 ）， （ 0 ， 2 ） 代入， 得 b= 2 ， k+b=0 ， 解得 k=-2 ， b=2 ， ∴ 这个函数的表达式为 y=-2x+2 ， 把 x=-2 代入 y=-2x+2 ， 得 y=6 ， 把 x=3 代入 y=-2x+ 2 ， 得 y=-4. ∴y 的取值范围是 -4≤y＜6. （ 2 ） ∵ 点 P （ m ， n ） 在该函数的图象上， ∴n=-2m+2. ∵m-n=4 ， ∴m- （ -2m+2 ） = 4. 解得 m=2 ， n=-2. ∴ 点 P 的坐标为 （ 2 ， -2 ） . 10． 解： （ 1 ） 根据题意 , 得 y=m-6x （ 0≤x≤11 ） . （ 2 ） 将 x=7 ， y=-26 代入 y=m-6x ， 得 -26=m-6×7. ∴m=16. ∴ 当时地面气温为 16 ℃. ∵x=12＞11 ， ∴y=16-6×11=-50 （ ℃ ） . 假如当 182