1 函数-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

一 次 函 数 第四章 自主导学 典例精析 例题 某电信公司在某地的资费标准为包月 199 元时， 超出部分国内拨打 0.15 元 /min ， 由于业务多， 小张同学的爸爸打电话已超出了包月费 ． 下表是超出部分国内拨打的收费标准 . （ 1 ） 这个表反映了哪两个变量之间的关系？ 哪个是自变量？ （ 2 ） 如果用 x 表示超出时间， y 表示超出部分的电话费， 那么 y 与 x 的表达式是什么？ （ 3 ） 如果打电话超出 60 min ， 需付多少元电话费？ （ 4 ） 某月打电话的费用超出部分是 24 元， 那么小张同学的爸爸打电话超出多少分钟？ 【分析】 （ 1 ） 根据图表可知， 电话费随时间的变化而变化， 因而打电话时间是自变量， 电话费是因变量 . （ 2 ） 根据费用 = 单价 × 时间， 即可写出表达式 . （ 3 ） 把 x=60 代入表达式即可 求得 . （ 4 ） 令函数 y=24 ， 代入表达式中即可求得 x 的值 ． 【解答】 （ 1 ） 超出部分国内拨打时间与超出的电话费之间的关系， 超出部分国内拨打时 1 函 数 知识网络 第四章 一 次 函 数 函数关系 函数值 自变量的取值范围 函数的定义 函数图象 函数的变化规律 表格法 图象法 关系式法 函数的表示法 函数 一次函数的定义→正比例函数的定义 一次函数的图象和性质 一次函数表达式的确定 一次函数 实际应用 时间 /min 1 2 3 4 5 … 电话费 / 元 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 … 49 八年级上册 （北师大版）数学 间是自变量， 超出的电话费是因变量 . （ 2 ） 由题意可得 y=0.15x. （ 3 ） 当 x=60 时， y=0.15× 60=9 （元 ） ， 即如果打电话超出 60 min ， 需付 199+9=208 （元） 的电话费 . （ 4 ） 当 y=24 时， x= 24 0.15 =160 （ min ）， 即小张同学的爸爸打电话超出 160 min． 【点拨】 本题考查对函数概念的理解以及根据实际问题列函数表达式 ． 理解函数概念要注 意： 函数的本质是一种对应关系， 自变量 x 的每一个值， 函数 y 都有唯一的值与它对应， 而 对应于函数 y 的一个值， 自变量的取值不一定唯一 ． 基础巩固 达标闯关 1. 下列各式不能看成某一个变量是另一个变量函数的是 （ ） A. y=x 2 +1 B. s=2t C. y= x 姨 D. 2πr 2. 函数 y= x-1 姨 中， 自变量 x 的取值范围是 （ ） A. x＞1 B. x≥1 C. x＜1 D. x≠1 3. 下列曲线中不能表示 y 是 x 的函数的是 （ ） 4. 下列曲线中表示 y 是 x 的函数的是 （ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 5. 如图是小周同学推出的铅球行进的曲线， 其中 y 表示铅球行进的高度， x 表示铅球与 小周之间的水平距离 . （ 1 ） 这个图象反映了哪两个变量之间的关系？ （ 2 ） 铅球行进的高度 y 是水平距离 x 的函数吗？ 请说明理由， 并指出自变量的取值范围 . （ 3 ） 根据图象回答： 铅球行进的最高点距地面是多少米？ 小周同学投掷铅球的距离是多 少米？ x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O BA DC ②① ④③ 第 5 题图 y/m x/m 4 8 9 10 3 O 50 一 次 函 数 第四章 6. 下列变化过程得出的函数关系是否正确？ 如果正确， 请指出式子中的自变量和因变 量； 如果不正确， 请写出正确的函数表达式 . （ 1 ） 等腰三角形顶角的度数 y 与底角的度数 x 之间的函数关系为 y=180-2x. （ 2 ） 用总长为 61 m 的篱笆围成一个有 1 m 宽门 （门用其他材料） 的矩形场地， 矩形面 积 S 与一边长 l （ m ） 之间的函数关系是 S=l （ 30-l ） . 能力提升 综合拓展 7. 我国军事科学医学院提出一种计算人的标准体重的方法， 标准体重用 m （ kg ） 表示， 人的身高用 h （ cm ） 表示， 则有公式： m= （ h-150 ） ×0.6+k （这里的 k 表示一个常数， 它区别 于北方人与南方人， 若是北方人， k=50 ； 若是南方人， k=48 ） . （ 1 ） 指出题中函数的自变量和因变量 . （ 2 ） 若有一个身高为 170 cm 的广东人， 他的标准体重应是多少？ （ 3 ） 量一量你自己的身高， 计算出你的标准体重， 然后和自己的实际体重加以对照 . 8. 某机器设备厂生产某种品牌的农用播种机， 已知每条生产线生产农用播种机的数量与 每条生产线的生产成本如下表所示 . （生产成本 = 生产之前的投入额 + 生产机器的后期投入额 － 销售利润） （ 1 ） 以上表格中的数据对应关系是函数吗？ 如果是， 请指出自变量和函数 （因变量）； 如果不是， 请说明理由 . 每条生产线生产农用播种机的数量 / 台 10 20 30 40 … 每条生产线的生产成本 / 万元 600 550 500 450 … 51 八年级上册 （北师大版）数学 （ 2 ） 观察表格中的数据， 请你猜想当每条生产线生产农用播种机的数量为 70 台时， 其 每条生产线的生产成本是多少 . （ 3 ） 随着每条生产线生产农用播种机的数量的增加， 每条生产线的生产成本怎样变化？ （ 4 ） 请预测每条生产线生产农用播种机的数量为多少时， 该厂可收回成本 . 9. 下面的图形是由边长为 1 的小正方形按照某种规律排列而成的 . 观察下列各图形， 解 答下列问题： （ 1 ） 观察图形， 分别写出第 ①②③ 个图形中的正方形的个数和图形的周长 . （ 2 ） 推测第 n 个图形中正方形的个数和周长 （都用含 n 的代数式表示） . （ 3 ） 试求第 n 个图形的周长 y 与它所含正方形个数 x 之间的函数关系式 . 中考链接 真题演练 10． （ 2023 ·龙东） 函数 y= x+3 姨 的自变量 x 的取值范围是 . 11. （ 2022 ·无锡） 函数 y= 4-x 姨 中自变量 x 的取值范围是 （ ） A. x＞4 B. x＜4 C. x≥4 D. x≤4 第 9 题图 ③① ② … 52 参考答案与提示 D （ 0 ， 0 ）； ② 如图 2 ， A （ 2 ， -2 ）， B （ 2 ， 2 ）， C （ -2 ， 2 ）， D （ -2 ， -2 ）； ③ 如图 3 ， A （ 2 ， -4 ）， B （ 2 ， 0 ）， C （ -2 ， 0 ）， D （ -2 ， -4 ）； ④ 如图 4 ， A （ 0 ， -4 ）， B （ 0 ， 0 ）， C （ -4 ， 0 ）， D （ -4 ， -4 ） . 4. 解： （ 1 ） 略 . （ 2 ） 以 AB 为腰的等腰三角形有 △ABC 1 ， △ABC 2 ， △ABC 3 ， 其中点 C 的坐标分别为 C 1 （ -6 ， 0 ）， C 2 （ 4 ， 0 ）， C 3 （ 7 ， 0 ） . 5. 解： 坐标为 （ 9 ， 0 ） . 理由如下： 用表格列出质点的运动规律： 由表格可知， 当运动时间为 （ n 2 -1 ） s 时， 若 n 为偶数， 则位于点 （ n-1 ， 0 ）； 若 n 为奇数， 则位于点 （ 0 ， n-1 ） . ∵99=10 2 -1 ， ∴ 第 99 s 时质点所在位置的坐标是 （ 9 ， 0 ） . 6. 解： （ 1 ） 20 提示： 由图形知 A （ 12 ， 1 ）， B （ -8 ， 1 ）， ∴A ， B 两点的纵坐 标都为 1 ， ∴AB∥x 轴 . ∴AB=12- （ -8 ） =20 （ km ） . （ 2 ） 如图， 过点 C 作 l⊥AB 于点 E ， 连接 AC ， 作 AC 的垂直平分线交直线 l 于点 D ， 则 AD=CD. ∵ 点 C （ 0 ， -17 ）， ∴C 点在 y 轴上 . 又 ∵AB∥x 轴， ∴ 点 E 在 y 轴上 . ∴CE=1- （ -17 ） =18 （ km ） . ∴AE=12 km. 设 CD=x km ， ∴AD=CD=x km. 在 △ADE 中， 由勾股定理， 得 x 2 = （ 18-x ） 2 +12 2 . 解得 x=13. ∴CD=13 km. 7. （ 1 ， 3 ） 8. D 3 轴对称与坐标变化 1. （ -3 ， -1 ） 2. 关于 y 轴对称 3. 平行 4. 1 5 5. （ 3 ， 1 ） 6. B 7. A 8. 解： （ 1 ） 图形略， A 1 （ 1 ， 5 ）， B 1 （ 1 ， 0 ）， C 1 （ 4 ， 3 ） . （ 2 ） 横坐标互为相反数， 纵坐标相等 . （ 3 ） 15 ２ . 9. 解： （ 1 ） 图形略， A （ 2 ， 5 ）， B （ 2 ， 3 ）， C （ 4 ， 1 ） . （ 2 ） 图形略， 关于 x 轴对称 . （ 3 ） 2 5 姨 5 . 10. 解： 图形略 . 距离之和的最小值为 10 个单位长度 . １1. 解： （ 1 ） 点 N 的坐标为 （ x ， -y ） . （ ２ ） ∵ 点 P （ a ， 2 ） 与点 Q （ -3 ， b ） 关于 x 轴 对称， ∴a=-3 ， b=-2. 原式 = 1 3×２ + 1 ４×３ + 1 ５×４ + … + 1 １３×１２ = 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 + … + 1 12 - 1 13 = 1 2 - 1 13 = 11 26 . １2. 解： （ 1 ） ∵ 直线 l 过点 A 且平行于 x 轴， 交 y 轴于点 D （ 0 ， 1 ）， AD=5 ， ∴ 点 A 的坐标为 （ -5 ， 1 ） . （ 2 ） △ABC 为等腰直角三角形 . 理由： 如 图， 设直线 l 与 BC 交于点 E ， ∵△ABC 关于直线 l 对称， ∴BE=CE ， AB=AC ， BC⊥AD. ∴∠AEB=∠AEC=90°. ∵ 点 C 的坐标为 （ -2 ， -2 ）， ∴ 点 E 的坐标为 （ -2 ， 1 ） . ∴BE= AE=CE=3. ∴∠CAE=∠C=45° ， ∠BAE=∠B=45°. ∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=90°. ∴△ABC 为等腰直角三角形 ． 13. （ -5 ， -1 ） 14. 1 15. （ -5 ， -4 ） 16. D 第四章 一 次 函 数 1 函 数 1. D 2. B 3. C 4. C 5. 解： （ 1 ） 铅球行进的高度 y （ m ） 与水平距离 x （ m ） 之间的关系 . （ 2 ） y 是 x 的函数， 因为由图象可看出当任意取一个 x 值时， 都有唯一的 y 值与它对应 . 自变量 x 的取值范围是 0≤x≤10. （ 3 ） 铅球行进的最高点距地面 3 m ， 小周同学投掷铅球的距离是 10 m. 6. 解： （ 1 ） 正确， x 是自变量， y 是因 x A B C O （ D ） y x A B C O D y x A B C O D y x A （ B ） C O D y 图 1 图 2 图 3 图 4 第 3 题答图 E D B （ -8 ， 1 ） A （ 12 ， 1 ） C （ 0 ， -17 ） 第 6 题答图 运动时间 /s 3=2 2 -1 8=3 2 -1 15=4 2 -1 24=5 2 -1 … 所在位置坐标 （ 1 ， 0 ） （ 0 ， 2 ） （ 3 ， 0 ） （ 0 ， 4 ） … 第 12 题答图 B y x D l O C A E 181 八年级上册 （北师大版）数学 变量 . （ 2 ） 不正确， S=l （ 31-l ）， l 是自变量， S 是因变量 . 7. 解： （ 1 ） h 是自变量， m 是因变量 . （ 2 ） m= （ 170-150 ） ×0.6+48=60 （ kg ） . （ 3 ） 略 . 8. 解： （ 1 ） 是函数， 自变量是每条生产线生产农用播种机的数量， 函数 是每条生产线的生产成本 . （ 2 ） 根据表格所反映的函数的变化规律可得， 当每条生产线生产农用播种机的数量 为 70 台时， 每条生产线的生产成本是 300 万元 . （ 3 ） 随着每条生产线生产农用播种机的数量增加， 每条生产线 的生产成本越来越少 . （ 4 ） 当每条生产线生产农用播种机的数量为 130 台时， 该厂可收回成本， 即生产成本为 0. 9. 解： （ 1 ） ①8 ， 18 ； ②13 ， 28 ； ③１8 ， 38. （ 2 ） 3 （ n+1 ） +2n 或 5n+3 ， 2 ［ ３ （ n+1 ） +1 ］ +2×2n 或 10n+8. （ 3 ） y=2x+2. 10. x≥-3 11. D ２ 一次函数与正比例函数 1. v=2t 一 正比例 2. -1 3. B 4. C 5. （ 1 ） h=20-5t. （ 2 ） 7.5 cm. （ 3 ） 4 h. 6. （ 1 ） y=25×20+ 10 （ x-20 ） =10x+300. （ 2 ） 当 x=54 时， y=10×54+300=840 （元） . 7. 解： （ 1 ） y=- 1 ２ x+25. （ 2 ） 由三角形三边关 系得 2y＞x ， 即 50-x＞x ， ∴x 的取值范围是 0＜x＜25. 8. 解： （ 1 ） y= （ 15+3 ） x+ （ 20+4 ）（ 2 000-x ） =-6x+48 000. （ 2 ） 由题意得 0.95x+0.99 （ 2 000-x ） =1 960. ∴x=500. 当 x=500 时， y=-6×500+48 000=45 000. ∴ 造这片林的总费用需 45 000 元 . 9. 解： （ 1 ） 去 A 超市购买所需费用 y A =0.9 （ 20×10+10x ）， 即 y A =9x+180. 去 B 超市购买所需费用 y B = 20×10+10 （ x-3 ）， 即 y B =10x+170. （ 2 ） 当 y A =y B 时， 即 9x+180=10x+170 ， x=10. （ 3 ） 当 x=12 时， 即购买 10 副 球拍应配 120 个乒乓球 . 若只去 A 超市购买的费用为 9x+180=9×12+180=288 （元）； 若只去 B 超市购买的费用为 10x+170=10×12+170=290 （元）； 若在 B 超市购买 10 副球拍， 去 A 超市购买余下的乒乓球的费用为 200+0.9× （ 12- 3 ） ×10=281 （元） . ∵281＜288＜290 ， 最佳方案为只在 B 超市购买 10 副球拍， 同时获送 30 个乒乓球， 然后去 A 超市 按九折购买 90 个乒乓球 . １0. 52 １１. B １2. 解： （ 1 ） 8 （ 2 ） 由函数定义知， 当 x=0 时， y=0×k+b=b ， 由表格 可知， 当自变量 x=0 时， 对应函数值 y＝6 ， ∴b=6. ∴ 当 x＜1 时， 对应的函数 y=kx+6. 由表格可知， 当自变量 x=-2 时， 对应函数值 y＝2 ， 而由函数定义知， 当 x=-2 时， y=-2×k+6=-2k+6. ∴-2k+6=2. 解得 k=2. ∴k=2 ， b=6. （ 3 ） 令 y＝0 ， 由 y＝8x ， 得 0＝8x ， ∴x＝0. ∵0＜1 ， ∴ 不符合题意， 舍去； 由 y＝2x+6 ， 得 0＝2x+6. ∴x＝-3＜1. ∴ 输出的 y 值为 0 时， 输入的 x 值为 -3． 3 一次函数的图象 （第 1 课时） 1. 二、 四 2. 3 3. 135° 或 45° 4. x 轴、 y 轴 5. D 6. D 7. C 8. 图象略 . 提示： 正比例函数过 （ 0 ， 0 ）， （ 1 ， k ） 两点作函数图象 . 9. （ 1 ， 2 ） （答案不唯一） 10. y=-2x （答案不唯一） １1. 2 2 020 12. D 3 一次函数的图象 （第 2 课时） 1. 减小 2. m＞-2 3. ＞ 4. D 5. B 6. C 7. A 8. 解： （ 1 ） 根据一次函数 y 的值随着 x 值的增大而增大， 可得 3-a＞0 ， 即 a＜3. （ 2 ） 根据一次函数 y 的值随着 x 值的增大而减小， 得 3-a＜0 ， 即 a＞3. 9. 解： （ 1 ） 当 a+ 2＞0 ， 3-b 为任意数时， 即 a＞-2 ， b 为任意实数 . （ 2 ） ∵ 图象经过第二、 三、 四象限， ∴a+2＜0 ， - （ 3-b ） ＜0 ， 即 a＜-2 ， b＜3. （ 3 ） 当 a+2≠0 ， - （ 3-b ） ＞0 即 a≠-2 ， b＞3. 10. 解： 图象略 . （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 的图象互相平行， （ 4 ） （ 5 ） （ 6 ） 的图象互相平行； （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 的图象分别与 （ 4 ） （ 5 ） （ 6 ） 的图象互相垂直 . 规律： ① 当两个一次 函数的 k 值相等时， 它们的图象互相平行， 当两个一次函数的 k 值互为负倒数时， 它们的图象互相垂直； ② 直线 y=－2x+3 和 y=－2x－3 可分别由直线 y=－2x 向上平移 3 个单位长度和向下平移 3 个单位长度得到； ③ 直线 y= 1 2 x+1 和 y= 1 2 x－1 可分别由直线 y= 1 2 x 向上平移 1 个单位长度和向下平移 1 个单位长度得到 . １１. 5 １２. k=1 ， b=-1 （答案不唯一） １３. 3 （答案不唯一） １４. D １5. D １6. B １7. D ４ 一次函数的应用 （第 1 课时） 1. y=3x 2. 2 -1 3. y=2x+1 4. -4 5. B 6. A 7. 解： （ 1 ） 设 y-3=kx ， 由题意知 7-3=2k ， 则 k=2 ， 得 y= 2x+3 ； （ 2 ） 图象略， 交点坐标为 （ -1.5 ， 0 ）， （ 0 ， 3 ） . 8. 解： （ 1 ） 由于点 P （ 1 ， 2 ） 在直线 y＝kx 上， 可得这 个正比例函数表达式为 y＝2x. （ 2 ） 由题意知 P′ （ 1 ， -2 ）， O′ （ 0 ， -4 ）， 设函数表达式为 y=kx+b ， 则 k+b=-2 ， b=-4 ， 解得 k=2 ， b=-4. ∴ 表达式为 y＝2x-4. 9. 解： （ 1 ） 设函数表达式为 y=kx+b ， 将 （ 1 ， 0 ）， （ 0 ， 2 ） 代入， 得 b= 2 ， k+b=0 ， 解得 k=-2 ， b=2 ， ∴ 这个函数的表达式为 y=-2x+2 ， 把 x=-2 代入 y=-2x+2 ， 得 y=6 ， 把 x=3 代入 y=-2x+ 2 ， 得 y=-4. ∴y 的取值范围是 -4≤y＜6. （ 2 ） ∵ 点 P （ m ， n ） 在该函数的图象上， ∴n=-2m+2. ∵m-n=4 ， ∴m- （ -2m+2 ） = 4. 解得 m=2 ， n=-2. ∴ 点 P 的坐标为 （ 2 ， -2 ） . 10． 解： （ 1 ） 根据题意 , 得 y=m-6x （ 0≤x≤11 ） . （ 2 ） 将 x=7 ， y=-26 代入 y=m-6x ， 得 -26=m-6×7. ∴m=16. ∴ 当时地面气温为 16 ℃. ∵x=12＞11 ， ∴y=16-6×11=-50 （ ℃ ） . 假如当 182