2 平面直角坐标系(第3课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

八年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 已知四边形 ABCD 各顶点的坐标分别是 A （ 0 ， 0 ）， B （ 3 ， 6 ）， C （ 6 ， 8 ）， D （ 8 ， 0 ） . （ 1 ） 请你借助网格， 建立适当的直角坐标系， 求出四边形 ABCD 的面积； （ 2 ） 试判断 AB ， CD 是否垂直， 并说明理由 . 【分析】 （ 1 ） 选取适当的点作为坐标原点， 经过原点的两条互相 垂直的直线分别作为 x 轴、 y 轴， 建立平面直角坐标系， 分别描出点 A ， B ， C ， D. 如确定 （ 3 ， 6 ） 表示的位置， 先在 x 轴上找出表示 3 的点， 再在 y 轴上找出表 示 6 的点， 过这两个点分别作 x 轴和 y 轴的垂线， 垂线的交点即为所要表示的位置 . （ 2 ） 连 接 AB 与 CD 并延长， 观察两条线段所在直线的位置关系 . 【解答】 （ 1 ） 如图所示 . 四边形 ABCD 的面积 =8×8- 1 2 ×2×8- 1 2 × 2×3-2×3- 1 2 ×3×6=38. （ 2 ） 不垂直 . 如图， 连接 AB 与 CD 并延长， 由 图可知 AB ， CD 所在直线所成的角小于 90° ， 所以 AB 与 CD 不垂直 . 【点拨】 本题主要考查根据点的坐标来确定平面直角坐标系， 解 题的关键是对平面直角坐标系中点的坐标与原点、 坐标轴之间关系 的深刻理解 . 基础巩固 达标闯关 1. 已知六边形 ABCDEF 在平面直角坐标系中的位置如图所示： （ 1 ） 六边形各顶点的坐标为 ； （ 2 ） 点 A 与点 B 、 点 E 与点 D 的横坐标的关系是 ； （ 3 ） 点 B 与点 D 、 点 C 与点 F 坐标的特点是 ； （ 4 ） 线段 AB 与 ED 的位置关系为 . 2. 已知等边 △ABC 的顶点 A ， B 的坐标分别为 （ 0 ， 0 ）， （ 2 ， 0 ）， 则顶点 C 的坐标为 （ ） A. （ 1 ， 3 姨 ） B. （ 1 ， - 3 姨 ） C. （ 1 ， 3 姨 ） 或 （ 1 ， - 3 姨 ） D. （ -1 ， 3 姨 ） 或 （ -1 ， - 3 姨 ） 2 平面直角坐标系 （第 3课时） 例题图 例题答图 x y O A B C D 第 1 题图 x y F A B C DO E 42 位置与坐标 第三章 3. 已知正方形 ABCD 的边长为 4 ， 请你至少用四种不同的方法建立平面直角坐标系， 来 表示四个顶点的坐标 . 能力提升 综合拓展 4. 如图是由边长为 1 的小正方形组成的方格图 . （ 1 ） 请在方格图中建立平面直角坐标系， 使点 A 的坐标为 （ 3 ， 3 ）， 点 B 的坐标为 （ -1 ， 0 ） . （ 2 ） 在 x 轴上画点 C ， 使 △ABC 成为以 AB 为腰的等腰三角形， 并写出所有满足条件的 点 C 的坐标 . （要求标出点 C 的位置） 5. 一个质点在第一象限及 x 轴、 y 轴上运动， 在第 1 s ， 它从原点运动到 （ 0 ， 1 ）， 然后 接着按图中箭头所示方向运动 ［即 （ 0 ， 0 ） → （ 0 ， 1 ） → （ 1 ， 1 ） → （ 1 ， 0 ） → …］， 且每秒移动 1 个单位长度， 那么第 99 s 时质点所在位置的坐标是多少？ 请写出推理过程 . 第 4 题图 A B 第 5 题图 … x y 3 2 1 O 1 2 3 43 八年级上册 （北师大版）数学 6． 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系， 并标示了 A ， B ， C 三地的坐标， 数据如 图 （单位： km ） ． 笔直的铁路经过 A ， B 两地 ． （ 1 ） A ， B 间的距离为 km. （ 2 ） 计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l ， 并在 l 上建一个维修站 D ， 使 D 到 A ， C 的距离相等， 则 C ， D 之间的距离为多少千米？ 中考链接 真题演练 7. （ 2023 ·衢州） 在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系， 若点 A 的坐标为 （ 0 ， 1 ）， 点 B 的坐标为 （ 2 ， 2 ）， 则点 C 的坐标为 . 8. （ 2022 ·柳州） 如图， 这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图， 如果这 个坐标系分别以正东、 正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向， 并且综合楼和食堂的坐标分别是 （ 4 ， 1 ） 和 （ 5 ， 4 ）， 则教学楼的坐标是 （ ） A. （ 1 ， 1 ） B. （ 1 ， 2 ） C. （ 2 ， 1 ） D. （ 2 ， 2 ） B （ -8 ， 1 ） A （ 12 ， 1 ） C （ 0 ， -17 ） 第 6 题图 教学楼 综合楼 食堂 北 （ 5 ， 4 ） （ 4 ， 1 ） 第 8 题图 B C A 第 7 题图 44 八年级上册 （北师大版）数学 分子的平方减 1 时， 这个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分与这个带分数的分数部分的算术平方根的 积， 用代数式表示其基本规律是： 对于一般的被开方数为 n+ n n 2 -1 （ n≥2 ） 的二次根式可推出下面的一般形式： n+ n n 2 -1 姨 = n 3 -n+n n 2 -1 姨 = n 3 n 2 -1 姨 =n n n 2 -1 姨 （ n≥2 ） . 如， 若取 n=5 ， 有 5 5 24 姨 =5 5 24 姨 . 10. （ １ ） ５ （ ２ ） ５５ （ ３ ） ５５５ （ ４ ） ５ ５５５ （ ５ ） 555 … 5 5 5 2 022 个 5 １1. 解： 原式 = 3 姨 -1 （ 3 姨 ） 2 -1 2 + 5 姨 - 3 姨 （ 5 姨 ） 2 - （ 3 姨 ） 2 + … + 2 023 姨 - 2 021 姨 （ 2 023 姨 ） 2 - （ 2 021 姨 ） 2 = 1 2 × （ 3 姨 -1 ） + 1 2 × （ 5 姨 - 3 姨 ） + … + 1 2 × （ 2 021 姨 - 2 019 姨 ） + 1 2 × （ 2 023 姨 - 2 021 姨 ） = 1 2 × （ 3 姨 -1+ 5 姨 - 3 姨 + … + 2 021 姨 - 2 019 姨 + 2 023 姨 - 2 021 姨 ） = 2 023 姨 -1 2 . １2. 答案不唯一 . 若 “ □ ” 是 - 2 姨 ， “ ○ ” 是 3 姨 ， 则 （ - 2 姨 + 3 姨 ） 2 ÷ 2 姨 = （ 5-2 6 姨 ） ÷ 2 姨 = 5 2 姨 2 -2 3 姨 ； 若 “ □ ” 是 - 2 姨 ， “ ○ ” 是 6 姨 ， 则 （ - 2 姨 + 6 姨 ） 2 ÷ 2 姨 = （ 8-2 12 姨 ） ÷ 2 姨 =4 2 姨 -2 6 姨 ； 若 “ □ ” 是 3 姨 ， “ ○ ” 是 6 姨 ， 则 （ 3 姨 + 6 姨 ） 2 ÷ 2 姨 = （ 9+2 18 姨 ） ÷ 2 姨 = 9 2 姨 2 +6. 13. C 14. 解： 原式 = 3 3 姨 × 2 3 姨 ×2 2 姨 -6 2 姨 =12 2 姨 -6 2 姨 =6 2 姨 . 15. 解： 原式 =-5 2 姨 -7+|-8|=-5 2 姨 -7+8=-5 2 姨 +1. 16. 解： 原式 =ab （ a+b ） . ∵a=2+ 5 姨 ， b=2- 5 姨 ， ∴ 原式 = （ 2+ 5 姨 ） × （ 2- 5 姨 ） × （ 2+ 5 姨 +2- 5 姨 ） = （ 4－5 ） ×4=－1×4=－4． 第三章 位置与坐标 1 确 定 位 置 1. （ 2 ， 1 ） F 2. B 3. D 4. D 5. C 6. C 7. 解： （ 1 ） 球、 明、 国、 活 . （ 2 ） 我爱数学， 中国的明天 更好 . （ 3 ） B4 ， A3 ， C1 ， A1 ， A2. （ 4 ） 略 . 8. 解： （ 1 ） 黑棋 ③ 记为 （ G ， 3 ）， 黑棋 ⑤ 记为 （ H ， 4 ）， 黑棋 ⑨ 记为 （ D ， 6 ） . （ 2 ） 白 ⑧ ， 黑 ⑦ ， 白 ⑥. 9. 解： B （ 6 ， 2 ）， C （ 5 ， 3 ）， D （ 7 ， 5 ）， E （ 2 ， 4 ）； 用方位角 + 距离的方法 表示： 图中 B 点在 A 点的正东方向的 2 cm 处； 图中 C 点在 A 点的东北方向 （或北偏东 45° 方向） 的 2 姨 cm 处； 图中 D 点在 A 点的东北方向 （或北偏东 45° 方向） 的 3 2 姨 cm 处； 图中 E 点在 A 点的西北方向或北偏西 45° 方 向的 ２ 2 姨 cm 处 . 10. 解： （ 1 ） 文化宫 （ -3 ， 2 ）， 医院 （ -2 ， -1 ）， 宾馆 （ 2 ， 3 ）， 超市 （ 2 ， -2 ）， 市场 （ 4 ， 4 ） . （ 2 ） 答案不唯一， 只要合理即可 . 11. 解： 八路军是这样找到的， 因为在军火埋藏点看见大树 A 在南偏西 70° 方向上， 所以军火埋藏点应该在大树 A 的北偏东 70° 方向上， 因此， 在大树 A 定出北偏东 70° 的方向线； 同理， 在大树 B 定出北偏东 20° 的方向线， 两条方向线的交点 P 就是军火的埋藏点 . 12. 解： 点 A 的位置为正北， 距离 O 点 1 个单位长度； 点 C 的位置为南偏西 30° ， 距离 O 点 4 个单位长度； 点 D 的位置为南偏东 30° ， 距离 O 点 3 个单位长度； 点 E 的位置为北偏西 30° ， 距离 O 点 6 个单位长度 . １3. （ 3 ， 150° ） 14. C 15. B 2 平面直角坐标系 （第 1 课时） 1. （ 0 ， 2 ） （ 4 ， 2 ） （ 4 ， 0 ） 2. 2 3. 一 四 x y 4. D 5. A 6. O （ 0 ， 0 ）， A （ 3 ， 3 3 姨 ）， B （ 6 ， 0 ） . 7. 解： 如图， 过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E ， 作 BD⊥y 轴于点 D ， 则 BE=OD ， BD=OE. ∵∠COA=90° ， OA=OC ， AC=4 ， ∴△OAC 是等腰直角三角形 . 由勾股定理， 得 2OA 2 =AC 2 ， 即 OA=OC=2 2 姨 . ∴A （ 2 2 姨 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 2 姨 ） . ∵∠OCA=45° ， ∠ACB=90° ， ∴∠BCD=45°. ∴△BCD 是等腰直角三角形 . ∴CD=BD. ∵BC=2 ， ∴ 由勾股定理， 得 CD=BD= 2 姨 . ∴BE=OD=CO+CD=3 2 姨 . ∴ 点 B （ 2 姨 ， 3 2 姨 ） . 8. （ 9 ， -4 ） 9. A １0. D １1. C 2 平面直角坐标系 （第 2 课时） 1. （ 0 ， 5 ） 或 （ 0 ， -5 ） 2. 正方形 3. C 4. B 5. C 6. （ 1 ） A ， B ， C 三点的坐标分别为 （ 2 ， 4 ） ， （ 5 ， 2 ）， （ 3 ， -1 ） . （ 2 ） D （ 0 ， 1 ） . 7． （ 1 ） （ 2 ， 0 ） （ 4 ， 0 ） （ 6 ， 0 ） （ 2 ） 当 n=1 时 ， A 4 （ 2 ， 0 ）； 当 n=2 时， A 8 （ 4 ， 0 ）； n=3 时， A 12 （ 6 ， 0 ）， ∴A 4n 的坐标为 （ 2n ， 0 ） . （ 3 ） 动点从点 A 100 到点 A 101 的移动方向是向 上 ． ∵100÷4=25 ， ∴A 100 在 x 轴上， ∴A 101 的方向是向上 . 8. 三 9. 1 10. A 11. B 2 平面直角坐标系 （第 3 课时） 1. （ 1 ） A （ -4 ， 3 ）， B （ -4 ， 0 ）， C （ 0 ， -2 ）， D （ 5 ， 0 ）， E （ 5 ， 3 ）， F （ 0 ， 5 ） （ 2 ） 相等 （ 3 ） 点 B 与点 D 的 纵坐标都是 0 ， 点 C 与点 F 的横坐标都是 0 （ 4 ） 平行 2. C 3. 解： ① 如图 1 ， A （ 4 ， 0 ）， B （ 4 ， 4 ）， C （ 0 ， 4 ）， 第 7 题答图 x y O A B C E D 180 参考答案与提示 D （ 0 ， 0 ）； ② 如图 2 ， A （ 2 ， -2 ）， B （ 2 ， 2 ）， C （ -2 ， 2 ）， D （ -2 ， -2 ）； ③ 如图 3 ， A （ 2 ， -4 ）， B （ 2 ， 0 ）， C （ -2 ， 0 ）， D （ -2 ， -4 ）； ④ 如图 4 ， A （ 0 ， -4 ）， B （ 0 ， 0 ）， C （ -4 ， 0 ）， D （ -4 ， -4 ） . 4. 解： （ 1 ） 略 . （ 2 ） 以 AB 为腰的等腰三角形有 △ABC 1 ， △ABC 2 ， △ABC 3 ， 其中点 C 的坐标分别为 C 1 （ -6 ， 0 ）， C 2 （ 4 ， 0 ）， C 3 （ 7 ， 0 ） . 5. 解： 坐标为 （ 9 ， 0 ） . 理由如下： 用表格列出质点的运动规律： 由表格可知， 当运动时间为 （ n 2 -1 ） s 时， 若 n 为偶数， 则位于点 （ n-1 ， 0 ）； 若 n 为奇数， 则位于点 （ 0 ， n-1 ） . ∵99=10 2 -1 ， ∴ 第 99 s 时质点所在位置的坐标是 （ 9 ， 0 ） . 6. 解： （ 1 ） 20 提示： 由图形知 A （ 12 ， 1 ）， B （ -8 ， 1 ）， ∴A ， B 两点的纵坐 标都为 1 ， ∴AB∥x 轴 . ∴AB=12- （ -8 ） =20 （ km ） . （ 2 ） 如图， 过点 C 作 l⊥AB 于点 E ， 连接 AC ， 作 AC 的垂直平分线交直线 l 于点 D ， 则 AD=CD. ∵ 点 C （ 0 ， -17 ）， ∴C 点在 y 轴上 . 又 ∵AB∥x 轴， ∴ 点 E 在 y 轴上 . ∴CE=1- （ -17 ） =18 （ km ） . ∴AE=12 km. 设 CD=x km ， ∴AD=CD=x km. 在 △ADE 中， 由勾股定理， 得 x 2 = （ 18-x ） 2 +12 2 . 解得 x=13. ∴CD=13 km. 7. （ 1 ， 3 ） 8. D 3 轴对称与坐标变化 1. （ -3 ， -1 ） 2. 关于 y 轴对称 3. 平行 4. 1 5 5. （ 3 ， 1 ） 6. B 7. A 8. 解： （ 1 ） 图形略， A 1 （ 1 ， 5 ）， B 1 （ 1 ， 0 ）， C 1 （ 4 ， 3 ） . （ 2 ） 横坐标互为相反数， 纵坐标相等 . （ 3 ） 15 ２ . 9. 解： （ 1 ） 图形略， A （ 2 ， 5 ）， B （ 2 ， 3 ）， C （ 4 ， 1 ） . （ 2 ） 图形略， 关于 x 轴对称 . （ 3 ） 2 5 姨 5 . 10. 解： 图形略 . 距离之和的最小值为 10 个单位长度 . １1. 解： （ 1 ） 点 N 的坐标为 （ x ， -y ） . （ ２ ） ∵ 点 P （ a ， 2 ） 与点 Q （ -3 ， b ） 关于 x 轴 对称， ∴a=-3 ， b=-2. 原式 = 1 3×２ + 1 ４×３ + 1 ５×４ + … + 1 １３×１２ = 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 + … + 1 12 - 1 13 = 1 2 - 1 13 = 11 26 . １2. 解： （ 1 ） ∵ 直线 l 过点 A 且平行于 x 轴， 交 y 轴于点 D （ 0 ， 1 ）， AD=5 ， ∴ 点 A 的坐标为 （ -5 ， 1 ） . （ 2 ） △ABC 为等腰直角三角形 . 理由： 如 图， 设直线 l 与 BC 交于点 E ， ∵△ABC 关于直线 l 对称， ∴BE=CE ， AB=AC ， BC⊥AD. ∴∠AEB=∠AEC=90°. ∵ 点 C 的坐标为 （ -2 ， -2 ）， ∴ 点 E 的坐标为 （ -2 ， 1 ） . ∴BE= AE=CE=3. ∴∠CAE=∠C=45° ， ∠BAE=∠B=45°. ∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=90°. ∴△ABC 为等腰直角三角形 ． 13. （ -5 ， -1 ） 14. 1 15. （ -5 ， -4 ） 16. D 第四章 一 次 函 数 1 函 数 1. D 2. B 3. C 4. C 5. 解： （ 1 ） 铅球行进的高度 y （ m ） 与水平距离 x （ m ） 之间的关系 . （ 2 ） y 是 x 的函数， 因为由图象可看出当任意取一个 x 值时， 都有唯一的 y 值与它对应 . 自变量 x 的取值范围是 0≤x≤10. （ 3 ） 铅球行进的最高点距地面 3 m ， 小周同学投掷铅球的距离是 10 m. 6. 解： （ 1 ） 正确， x 是自变量， y 是因 x A B C O （ D ） y x A B C O D y x A B C O D y x A （ B ） C O D y 图 1 图 2 图 3 图 4 第 3 题答图 E D B （ -8 ， 1 ） A （ 12 ， 1 ） C （ 0 ， -17 ） 第 6 题答图 运动时间 /s 3=2 2 -1 8=3 2 -1 15=4 2 -1 24=5 2 -1 … 所在位置坐标 （ 1 ， 0 ） （ 0 ， 2 ） （ 3 ， 0 ） （ 0 ， 4 ） … 第 12 题答图 B y x D l O C A E 181