2 平面直角坐标系(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

八年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 在如图所示的平面直角坐标系中表示下列各点： A （ 0 ， 3 ） ， B （ 1 ， -3 ） ， C （ 3 ， -5 ） ， D （ -3 ， -5 ） ， E （ 3 ， 5 ）， F （ 5 ， 7 ） . （ 1 ） 点 A 到原点 O 的距离是 个单位长度 . （ 2 ） 将点 C 沿着 x 轴负方向平移 6 个单位长度， 它会与 点 重合 . （ 3 ） 连接 CE ， 则直线 CE 与 y 轴是什么位置关系？ （ 4 ） 点 F 到 x 轴、 y 轴的距离分别是多少？ 【分析】 （ 1 ） 利用点 A 的坐标即可得到； （ 2 ） 将点 C （ 3 ， -5 ） 向 x 轴负方向平移 6 个单 位长度， 横坐标减少 6 个单位长度， 纵坐标不变， 其坐标为 （ -3 ， -5 ）， 则易得点 C 平移后 与点 D 重合； （ 3 ） 利用点 C 和点 E 的坐标特征进行判断； （ 4 ） 根据点到 x 轴的距离与纵 坐标有关， 到 y 轴的距离与横坐标有关求解 . 【解答】 （ 1 ） 3 （ 2 ） D （ 3 ） 点 C 和点 E 的横坐标相同， 所以直线 CE 平行于 y 轴 . （ 4 ） 因为 F （ 5 ， 7 ）， 所以点 F 到 x 轴的距离为 7 ， 到 y 轴 的距离为 5. 【点拨】 本题考查坐标与图形的关系： 利用点的坐标计算 相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系； 同时考查了 坐标平面内点到坐标轴的距离， 即点到 x 轴的距离等于该点 的纵坐标的绝对值， 点到 y 轴的距离等于该点的横坐标的绝对值 . 基础巩固 达标闯关 1. 已知直线 a∥x 轴且与 x 轴的距离等于 5 ， 则直线 a 与 y 轴交点的坐标为 . 2. 在平面直角坐标系中， 已知点 A （ 0 ， 2 ）， B （ 2 ， 0 ）， C （ 0 ， -2 ）， D （ -2 ， 0 ）， 则以这四 个点为顶点的四边形 ABCD 是 . 3. 已知在平面直角坐标系中， 点 A （ -1 ， 0 ）， B （ 5 ， 0 ）， C （ 2 ， 5 ）， 则 △ABC 的形状是 （ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 不确定 4. 如果 MN⊥y 轴， 且 M （ 2 ， 3 ）， N （ a ， b ）， 下列结论一定成立的是 （ ） A. a=2 B. b=3 C. a=2 且 b=3 D. a=3 且 b=2 例题图 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x y O -7-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 2 平面直角坐标系 （第 2课时） 例题答图 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x y O -7-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 E F A B C D 40 位置与坐标 第三章 5. 如图， 将正五边形 ABCDE 放入某平面直角坐标系后， 若顶点 A ， B ， C ， D 的坐标分别是 （ 0 ， a ）， （ －3 ， 2 ）， （ b ， m ）， （ c ， m ）， 则点 E 的坐 标是 （ ） A． （ 2 ， -3 ） B． （ 2 ， 3 ） C． （ 3 ， 2 ） D． （ 3 ， -2 ） 能力提升 综合拓展 6. 已知 A ， B ， C 三点在平面直角坐标系中的位置如图所示 . （ 1 ） 请写出 A ， B ， C 三点的坐标； （ 2 ） 如果以点 A ， B ， C ， D 为顶点的四边形是轴对称图形， 描 出点 D 并写出其坐标 . 7. 在平面直角坐标系中， 一动点从原点 O 出发， 按向上、 向右、 向下、 向右的方向依 次不断移动， 每次移动 1 个单位长度， 其行走路线如下图所示 ． （ 1 ） 填写下列各点的坐标： A 4 ， A 8 ， A 12 ； （ 2 ） 写出点 A 4n 的坐标 （ n 是正整数）； （ 3 ） 指出动点从点 A 100 到点 A 101 的移动方向 ． 中考链接 真题演练 8. （ 2023 ·衡阳） 在平面直角坐标系中， 点 P （ -3 ， -2 ） 所在的象限是第 象限 . 9. （ 2023 ·巴中） 已知 a 为正整数， 点 P （ 4 ， 2-a ） 在第一象限中， 则 a= . 10. （ 2023 ·临沂） 某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路， 园 丁在花园中栽种了 8 棵桂花树， 如图所示 . 若 A ， B 两处桂花树的位置关于 小路对称， 在分别以两条小路为 x 轴、 y 轴的平面直角坐标系内， 若点 A 的坐标为 （ -6 ， 2 ）， 则点 B 的坐标为 （ ） A. （ 6 ， 2 ） B. （ -6 ， -2 ） C. （ 2 ， 6 ） D. （ 2 ， -6 ） 11. （ 2023 ·丽水） 在平面直角坐标系中， 点 P （ -1 ， m 2 +1 ）位于 （ ） A． 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 E A B C D 第 5 题图 第 6 题图 x y A B C O 1 1 第 7 题图 y O A 1 A ２ A ５ A ６ A ３ A ４ A ７ １ x A ９ A 10 A ８ A １1 A 1２ … y x B O A 第 10 题图 41 八年级上册 （北师大版）数学 分子的平方减 1 时， 这个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分与这个带分数的分数部分的算术平方根的 积， 用代数式表示其基本规律是： 对于一般的被开方数为 n+ n n 2 -1 （ n≥2 ） 的二次根式可推出下面的一般形式： n+ n n 2 -1 姨 = n 3 -n+n n 2 -1 姨 = n 3 n 2 -1 姨 =n n n 2 -1 姨 （ n≥2 ） . 如， 若取 n=5 ， 有 5 5 24 姨 =5 5 24 姨 . 10. （ １ ） ５ （ ２ ） ５５ （ ３ ） ５５５ （ ４ ） ５ ５５５ （ ５ ） 555 … 5 5 5 2 022 个 5 １1. 解： 原式 = 3 姨 -1 （ 3 姨 ） 2 -1 2 + 5 姨 - 3 姨 （ 5 姨 ） 2 - （ 3 姨 ） 2 + … + 2 023 姨 - 2 021 姨 （ 2 023 姨 ） 2 - （ 2 021 姨 ） 2 = 1 2 × （ 3 姨 -1 ） + 1 2 × （ 5 姨 - 3 姨 ） + … + 1 2 × （ 2 021 姨 - 2 019 姨 ） + 1 2 × （ 2 023 姨 - 2 021 姨 ） = 1 2 × （ 3 姨 -1+ 5 姨 - 3 姨 + … + 2 021 姨 - 2 019 姨 + 2 023 姨 - 2 021 姨 ） = 2 023 姨 -1 2 . １2. 答案不唯一 . 若 “ □ ” 是 - 2 姨 ， “ ○ ” 是 3 姨 ， 则 （ - 2 姨 + 3 姨 ） 2 ÷ 2 姨 = （ 5-2 6 姨 ） ÷ 2 姨 = 5 2 姨 2 -2 3 姨 ； 若 “ □ ” 是 - 2 姨 ， “ ○ ” 是 6 姨 ， 则 （ - 2 姨 + 6 姨 ） 2 ÷ 2 姨 = （ 8-2 12 姨 ） ÷ 2 姨 =4 2 姨 -2 6 姨 ； 若 “ □ ” 是 3 姨 ， “ ○ ” 是 6 姨 ， 则 （ 3 姨 + 6 姨 ） 2 ÷ 2 姨 = （ 9+2 18 姨 ） ÷ 2 姨 = 9 2 姨 2 +6. 13. C 14. 解： 原式 = 3 3 姨 × 2 3 姨 ×2 2 姨 -6 2 姨 =12 2 姨 -6 2 姨 =6 2 姨 . 15. 解： 原式 =-5 2 姨 -7+|-8|=-5 2 姨 -7+8=-5 2 姨 +1. 16. 解： 原式 =ab （ a+b ） . ∵a=2+ 5 姨 ， b=2- 5 姨 ， ∴ 原式 = （ 2+ 5 姨 ） × （ 2- 5 姨 ） × （ 2+ 5 姨 +2- 5 姨 ） = （ 4－5 ） ×4=－1×4=－4． 第三章 位置与坐标 1 确 定 位 置 1. （ 2 ， 1 ） F 2. B 3. D 4. D 5. C 6. C 7. 解： （ 1 ） 球、 明、 国、 活 . （ 2 ） 我爱数学， 中国的明天 更好 . （ 3 ） B4 ， A3 ， C1 ， A1 ， A2. （ 4 ） 略 . 8. 解： （ 1 ） 黑棋 ③ 记为 （ G ， 3 ）， 黑棋 ⑤ 记为 （ H ， 4 ）， 黑棋 ⑨ 记为 （ D ， 6 ） . （ 2 ） 白 ⑧ ， 黑 ⑦ ， 白 ⑥. 9. 解： B （ 6 ， 2 ）， C （ 5 ， 3 ）， D （ 7 ， 5 ）， E （ 2 ， 4 ）； 用方位角 + 距离的方法 表示： 图中 B 点在 A 点的正东方向的 2 cm 处； 图中 C 点在 A 点的东北方向 （或北偏东 45° 方向） 的 2 姨 cm 处； 图中 D 点在 A 点的东北方向 （或北偏东 45° 方向） 的 3 2 姨 cm 处； 图中 E 点在 A 点的西北方向或北偏西 45° 方 向的 ２ 2 姨 cm 处 . 10. 解： （ 1 ） 文化宫 （ -3 ， 2 ）， 医院 （ -2 ， -1 ）， 宾馆 （ 2 ， 3 ）， 超市 （ 2 ， -2 ）， 市场 （ 4 ， 4 ） . （ 2 ） 答案不唯一， 只要合理即可 . 11. 解： 八路军是这样找到的， 因为在军火埋藏点看见大树 A 在南偏西 70° 方向上， 所以军火埋藏点应该在大树 A 的北偏东 70° 方向上， 因此， 在大树 A 定出北偏东 70° 的方向线； 同理， 在大树 B 定出北偏东 20° 的方向线， 两条方向线的交点 P 就是军火的埋藏点 . 12. 解： 点 A 的位置为正北， 距离 O 点 1 个单位长度； 点 C 的位置为南偏西 30° ， 距离 O 点 4 个单位长度； 点 D 的位置为南偏东 30° ， 距离 O 点 3 个单位长度； 点 E 的位置为北偏西 30° ， 距离 O 点 6 个单位长度 . １3. （ 3 ， 150° ） 14. C 15. B 2 平面直角坐标系 （第 1 课时） 1. （ 0 ， 2 ） （ 4 ， 2 ） （ 4 ， 0 ） 2. 2 3. 一 四 x y 4. D 5. A 6. O （ 0 ， 0 ）， A （ 3 ， 3 3 姨 ）， B （ 6 ， 0 ） . 7. 解： 如图， 过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E ， 作 BD⊥y 轴于点 D ， 则 BE=OD ， BD=OE. ∵∠COA=90° ， OA=OC ， AC=4 ， ∴△OAC 是等腰直角三角形 . 由勾股定理， 得 2OA 2 =AC 2 ， 即 OA=OC=2 2 姨 . ∴A （ 2 2 姨 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 2 姨 ） . ∵∠OCA=45° ， ∠ACB=90° ， ∴∠BCD=45°. ∴△BCD 是等腰直角三角形 . ∴CD=BD. ∵BC=2 ， ∴ 由勾股定理， 得 CD=BD= 2 姨 . ∴BE=OD=CO+CD=3 2 姨 . ∴ 点 B （ 2 姨 ， 3 2 姨 ） . 8. （ 9 ， -4 ） 9. A １0. D １1. C 2 平面直角坐标系 （第 2 课时） 1. （ 0 ， 5 ） 或 （ 0 ， -5 ） 2. 正方形 3. C 4. B 5. C 6. （ 1 ） A ， B ， C 三点的坐标分别为 （ 2 ， 4 ） ， （ 5 ， 2 ）， （ 3 ， -1 ） . （ 2 ） D （ 0 ， 1 ） . 7． （ 1 ） （ 2 ， 0 ） （ 4 ， 0 ） （ 6 ， 0 ） （ 2 ） 当 n=1 时 ， A 4 （ 2 ， 0 ）； 当 n=2 时， A 8 （ 4 ， 0 ）； n=3 时， A 12 （ 6 ， 0 ）， ∴A 4n 的坐标为 （ 2n ， 0 ） . （ 3 ） 动点从点 A 100 到点 A 101 的移动方向是向 上 ． ∵100÷4=25 ， ∴A 100 在 x 轴上， ∴A 101 的方向是向上 . 8. 三 9. 1 10. A 11. B 2 平面直角坐标系 （第 3 课时） 1. （ 1 ） A （ -4 ， 3 ）， B （ -4 ， 0 ）， C （ 0 ， -2 ）， D （ 5 ， 0 ）， E （ 5 ， 3 ）， F （ 0 ， 5 ） （ 2 ） 相等 （ 3 ） 点 B 与点 D 的 纵坐标都是 0 ， 点 C 与点 F 的横坐标都是 0 （ 4 ） 平行 2. C 3. 解： ① 如图 1 ， A （ 4 ， 0 ）， B （ 4 ， 4 ）， C （ 0 ， 4 ）， 第 7 题答图 x y O A B C E D 180