2 平面直角坐标系(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

八年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 在直角坐标系中， 标出下列各点的位置， 并写出各点的坐标 . （ 1 ） 点 A 在 x 轴上， 位于原点的左侧， 距离坐标原点 4 个单位长度； （ 2 ） 点 B 在 y 轴上， 位于原点的上侧， 距离坐标原点 4 个单位长度； （ 3 ） 点 C 在 y 轴的左侧， 在 x 轴的上侧， 距离每个坐标轴都是 4 个单位长度 . 【分析】 根据题中给出的信息， 首先在坐标系中正确地标出 各个点的位置， 再根据点的位置写出坐标即可 . 【解答】 （ 1 ） 如图， A （ -4 ， 0 ） . （ 2 ） 如图， B （ 0 ， 4 ） . （ 3 ） 如图， C （ -4 ， 4 ） . 【点拨】 此题主要考查确定点的坐标， 把握各象限和坐标轴 上点的坐标特征是解题关键 . 基础巩固 达标闯关 1. 长方形 OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示， 则点 A ， B ， C 的 坐标分别是 ， ， . 2. 若点 M （ 3a-6 ， 2 ） 在 y 轴上， 则 a= . 3. 在平面直角坐标系中， 点 A （ 5 ， 4 ） 在第 象限， 点 B （ 5 ， -5 ） 在第 象限， 则线段 AB 与 轴垂直， 与 轴平行 . 4. 若点 P 在第三象限， 且点 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为 3 ， 7 ， 那么点 P 的坐标为 （ ） A. （ 3 ， 7 ） B. （ 7 ， 3 ） C. （ -3 ， -7 ） D. （ -7 ， -3 ） 5. 已知点 A 的坐标为 （ 4 ， -3 ）， 则点 A 距原点的距离为 （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 6. 如图， △AOB 是边长为 6 的等边三角形， 分别写出 △AOB 各顶点的坐标 . 2 平面直角坐标系 （第 1课时） 例题答图 -1 -2 -3 -4 -5 x y O -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A BC 第 1 题图 A B C O x y 2 4 第 6 题图 A BO x y 38 位置与坐标 第三章 能力提升 综合拓展 7. 如图， 在平面直角坐标系中， △ABC 满足 ∠ACB=90° ， AC=4 ， BC=2 ， 点 A ， C 分别 在 x 轴、 y 轴上， 且 OA=OC ， 请分别求出 A ， B ， C 三点的坐标 . 中考链接 真题演练 8. （ 2023 ·贵州） 如图是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图 . 以喷水池为原点， 分别以 正东、 正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向建立平面直角坐标系， 若贵阳北站的坐标是 （ -2 ， 7 ）， 则龙洞堡机场的坐标是 . 9. （ 2023 ·台州） 如图是中国象棋棋盘的一部分， 建立如图所示的平面直角坐标系， 已知 “車” 所在位置的坐标为 （ -2 ， 2 ）， 则 “炮” 所在位置的坐标为 （ ） A. （ 3 ， 1 ） B. （ 1 ， 3 ） C. （ 4 ， 1 ） D. （ 3 ， 2 ） 10. （ 2023 ·大庆） 已知 a+b＞0 ， ab＞0 ， 则在如图所示的平面直角坐标系中， 小手盖住的 点的坐标可能是 （ ） A. （ a ， b ） B. （ -a ， b ） C. （ -a ， -b ） D. （ a ， -b ） 11. （ 2022 ·青海） 如图所示， A （ 2 2 姨 ， 0 ）， AB=3 2 姨 ， 以点 A 为圆 心， AB 长为半径画弧交 x 轴负半轴于点 C ， 则点 C 的坐标为 （ ） A. （ 3 2 姨 ， 0 ） B. （ 2 姨 ， 0 ） C. （ - 2 姨 ， 0 ） D. （ -3 2 姨 ， 0 ） x y O A B C 第 7 题图 第 11 题图 x y O A B C 第 8 题图 贵 阳 北 站 贵阳火车站 1 号线 喷水池 2 号线 龙洞堡机场 正 北 第 9 题图 第 10 题图 炮 馬車 楚河 汉界 O x y O y x 39 八年级上册 （北师大版）数学 分子的平方减 1 时， 这个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分与这个带分数的分数部分的算术平方根的 积， 用代数式表示其基本规律是： 对于一般的被开方数为 n+ n n 2 -1 （ n≥2 ） 的二次根式可推出下面的一般形式： n+ n n 2 -1 姨 = n 3 -n+n n 2 -1 姨 = n 3 n 2 -1 姨 =n n n 2 -1 姨 （ n≥2 ） . 如， 若取 n=5 ， 有 5 5 24 姨 =5 5 24 姨 . 10. （ １ ） ５ （ ２ ） ５５ （ ３ ） ５５５ （ ４ ） ５ ５５５ （ ５ ） 555 … 5 5 5 2 022 个 5 １1. 解： 原式 = 3 姨 -1 （ 3 姨 ） 2 -1 2 + 5 姨 - 3 姨 （ 5 姨 ） 2 - （ 3 姨 ） 2 + … + 2 023 姨 - 2 021 姨 （ 2 023 姨 ） 2 - （ 2 021 姨 ） 2 = 1 2 × （ 3 姨 -1 ） + 1 2 × （ 5 姨 - 3 姨 ） + … + 1 2 × （ 2 021 姨 - 2 019 姨 ） + 1 2 × （ 2 023 姨 - 2 021 姨 ） = 1 2 × （ 3 姨 -1+ 5 姨 - 3 姨 + … + 2 021 姨 - 2 019 姨 + 2 023 姨 - 2 021 姨 ） = 2 023 姨 -1 2 . １2. 答案不唯一 . 若 “ □ ” 是 - 2 姨 ， “ ○ ” 是 3 姨 ， 则 （ - 2 姨 + 3 姨 ） 2 ÷ 2 姨 = （ 5-2 6 姨 ） ÷ 2 姨 = 5 2 姨 2 -2 3 姨 ； 若 “ □ ” 是 - 2 姨 ， “ ○ ” 是 6 姨 ， 则 （ - 2 姨 + 6 姨 ） 2 ÷ 2 姨 = （ 8-2 12 姨 ） ÷ 2 姨 =4 2 姨 -2 6 姨 ； 若 “ □ ” 是 3 姨 ， “ ○ ” 是 6 姨 ， 则 （ 3 姨 + 6 姨 ） 2 ÷ 2 姨 = （ 9+2 18 姨 ） ÷ 2 姨 = 9 2 姨 2 +6. 13. C 14. 解： 原式 = 3 3 姨 × 2 3 姨 ×2 2 姨 -6 2 姨 =12 2 姨 -6 2 姨 =6 2 姨 . 15. 解： 原式 =-5 2 姨 -7+|-8|=-5 2 姨 -7+8=-5 2 姨 +1. 16. 解： 原式 =ab （ a+b ） . ∵a=2+ 5 姨 ， b=2- 5 姨 ， ∴ 原式 = （ 2+ 5 姨 ） × （ 2- 5 姨 ） × （ 2+ 5 姨 +2- 5 姨 ） = （ 4－5 ） ×4=－1×4=－4． 第三章 位置与坐标 1 确 定 位 置 1. （ 2 ， 1 ） F 2. B 3. D 4. D 5. C 6. C 7. 解： （ 1 ） 球、 明、 国、 活 . （ 2 ） 我爱数学， 中国的明天 更好 . （ 3 ） B4 ， A3 ， C1 ， A1 ， A2. （ 4 ） 略 . 8. 解： （ 1 ） 黑棋 ③ 记为 （ G ， 3 ）， 黑棋 ⑤ 记为 （ H ， 4 ）， 黑棋 ⑨ 记为 （ D ， 6 ） . （ 2 ） 白 ⑧ ， 黑 ⑦ ， 白 ⑥. 9. 解： B （ 6 ， 2 ）， C （ 5 ， 3 ）， D （ 7 ， 5 ）， E （ 2 ， 4 ）； 用方位角 + 距离的方法 表示： 图中 B 点在 A 点的正东方向的 2 cm 处； 图中 C 点在 A 点的东北方向 （或北偏东 45° 方向） 的 2 姨 cm 处； 图中 D 点在 A 点的东北方向 （或北偏东 45° 方向） 的 3 2 姨 cm 处； 图中 E 点在 A 点的西北方向或北偏西 45° 方 向的 ２ 2 姨 cm 处 . 10. 解： （ 1 ） 文化宫 （ -3 ， 2 ）， 医院 （ -2 ， -1 ）， 宾馆 （ 2 ， 3 ）， 超市 （ 2 ， -2 ）， 市场 （ 4 ， 4 ） . （ 2 ） 答案不唯一， 只要合理即可 . 11. 解： 八路军是这样找到的， 因为在军火埋藏点看见大树 A 在南偏西 70° 方向上， 所以军火埋藏点应该在大树 A 的北偏东 70° 方向上， 因此， 在大树 A 定出北偏东 70° 的方向线； 同理， 在大树 B 定出北偏东 20° 的方向线， 两条方向线的交点 P 就是军火的埋藏点 . 12. 解： 点 A 的位置为正北， 距离 O 点 1 个单位长度； 点 C 的位置为南偏西 30° ， 距离 O 点 4 个单位长度； 点 D 的位置为南偏东 30° ， 距离 O 点 3 个单位长度； 点 E 的位置为北偏西 30° ， 距离 O 点 6 个单位长度 . １3. （ 3 ， 150° ） 14. C 15. B 2 平面直角坐标系 （第 1 课时） 1. （ 0 ， 2 ） （ 4 ， 2 ） （ 4 ， 0 ） 2. 2 3. 一 四 x y 4. D 5. A 6. O （ 0 ， 0 ）， A （ 3 ， 3 3 姨 ）， B （ 6 ， 0 ） . 7. 解： 如图， 过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E ， 作 BD⊥y 轴于点 D ， 则 BE=OD ， BD=OE. ∵∠COA=90° ， OA=OC ， AC=4 ， ∴△OAC 是等腰直角三角形 . 由勾股定理， 得 2OA 2 =AC 2 ， 即 OA=OC=2 2 姨 . ∴A （ 2 2 姨 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 2 姨 ） . ∵∠OCA=45° ， ∠ACB=90° ， ∴∠BCD=45°. ∴△BCD 是等腰直角三角形 . ∴CD=BD. ∵BC=2 ， ∴ 由勾股定理， 得 CD=BD= 2 姨 . ∴BE=OD=CO+CD=3 2 姨 . ∴ 点 B （ 2 姨 ， 3 2 姨 ） . 8. （ 9 ， -4 ） 9. A １0. D １1. C 2 平面直角坐标系 （第 2 课时） 1. （ 0 ， 5 ） 或 （ 0 ， -5 ） 2. 正方形 3. C 4. B 5. C 6. （ 1 ） A ， B ， C 三点的坐标分别为 （ 2 ， 4 ） ， （ 5 ， 2 ）， （ 3 ， -1 ） . （ 2 ） D （ 0 ， 1 ） . 7． （ 1 ） （ 2 ， 0 ） （ 4 ， 0 ） （ 6 ， 0 ） （ 2 ） 当 n=1 时 ， A 4 （ 2 ， 0 ）； 当 n=2 时， A 8 （ 4 ， 0 ）； n=3 时， A 12 （ 6 ， 0 ）， ∴A 4n 的坐标为 （ 2n ， 0 ） . （ 3 ） 动点从点 A 100 到点 A 101 的移动方向是向 上 ． ∵100÷4=25 ， ∴A 100 在 x 轴上， ∴A 101 的方向是向上 . 8. 三 9. 1 10. A 11. B 2 平面直角坐标系 （第 3 课时） 1. （ 1 ） A （ -4 ， 3 ）， B （ -4 ， 0 ）， C （ 0 ， -2 ）， D （ 5 ， 0 ）， E （ 5 ， 3 ）， F （ 0 ， 5 ） （ 2 ） 相等 （ 3 ） 点 B 与点 D 的 纵坐标都是 0 ， 点 C 与点 F 的横坐标都是 0 （ 4 ） 平行 2. C 3. 解： ① 如图 1 ， A （ 4 ， 0 ）， B （ 4 ， 4 ）， C （ 0 ， 4 ）， 第 7 题答图 x y O A B C E D 180