7 二次根式(第3课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

实 数 第二章 自主导学 典例精析 例题 计算： （ 2 姨 + 3 姨 ） 2 - 24 姨 . 【分析】 这是一个二次根式的混合运算， 先利用完全平方公式计算， 再把二次根式化为 最简二次根式， 最后合并同类项 ． 【解答】 原式 =2+2 6 姨 +3-2 6 姨 =5． 【点拨】 本题考查的是二次根式的混合运算， 在进行此类运算时， 掌握运算法则和顺序 是解题的关键 . 先运用完全平方公式， 再将二次根式化为最简二次根式的形式后运算是解答 此题的关键 ． 基础巩固 达标闯关 1. 计算： 1２ 姨 - ２7 姨 = ； － 0.6 姨 +5 60 姨 = . 2. 计算： 9 3 姨 +7 1２ 姨 -4 75 姨 = ； 5 ２ 姨 + 8 姨 －7 18 姨 = . 3. 观察下列等式： ①3－2 2 姨 ＝ （ 2 姨 －1 ） 2 ， ②5－2 6 姨 ＝ （ 3 姨 - 2 姨 ） 2 ， ③7－2 12 姨 ＝ （ 4 姨 - 3 姨 ） 2 ， …， 请你根据以上规律， 写出第 6 个等式： ． 4． 下列各式计算正确的是 （ ） A． 5 姨 + 3 姨 = 8 姨 B． 2+3 3 姨 =5 3 姨 C． 5 姨 a－ 3 姨 a= 2 姨 a D. 2 姨 + 1 2 姨 = 3 2 2 姨 5. 下列各式 ： ① 2 姨 + 8 姨 = 10 姨 ， ② 2 姨 + 8 姨 =3 2 姨 ， ③5 2 姨 －2 2 姨 =3 ， ④3 5 姨 + 1 2 5 姨 = 7 2 5 姨 ， 其中运算不正确的有 （ ） A． ①③ B. ③④ C. ①②③ D. ①②④ 6． 下列计算中， 结果不正确的是 （ ） A． （ 2 3 姨 +3 3 姨 ） × 2 姨 =5 6 姨 B． 3 3 姨 × （ 2 3 姨 + 5 姨 ） =6 3 姨 +3 15 姨 C． 2 3 姨 ×3 2 姨 =6 6 姨 D． （ 5 姨 － 3 姨 ） × 5 姨 =5－ 15 姨 7. 化简下列各式 . （ 1 ） （ 10 姨 - 2 姨 ） ×2 5 姨 ； （ 2 ） 1２ 姨 + 3 姨 3 姨 ； 7 二次根式 （第 3课时） 31 八年级上册 （北师大版）数学 （ 3 ） 3 8 姨 + 1 5 50 姨 -4 1 2 姨 ； （ 4 ） （ 3 125 姨 - 60 姨 ） × 1 5 姨 ； （ 5 ） （ 7 姨 － 6 姨 ） 2 023 × （ 7 姨 + 6 姨 ） 2 022 ； （ 6 ） 32 姨 - 1 3 18 姨 - 40 姨 姨 # ÷ 2 姨 . 能力提升 综合拓展 8. 一个直角三角形的两条直角边长分别是 （ 3 姨 +1 ） cm 和 （ 3 姨 -1 ） cm ， 求这个直角 三角形的面积和周长 . 9． 判断下列各式是否成立： 2 2 3 姨 =2 2 3 姨 ， 3 3 8 姨 =3 3 8 姨 ， 4 4 15 姨 = 4 4 15 姨 . 你能否 由此归纳出什么结论？ 你还能找到其他类似的例子吗？ 10. 借助计算器求下列二次根式的值 . （ 1 ） 3 2 +4 2 姨 = ； （ 2 ） 33 2 +44 2 姨 = ； （ 3 ） 333 2 +444 2 姨 = ； （ 4 ） 3 333 2 +4 444 2 姨 = ； （ 5 ） 仔细观察上面各式的计算结果， 试猜想 333 … 33 2 +444 … 44 2 姨 2 022 个 3 2 022 个 4 的值为多少 . 32 实 数 第二章 11. 观察下列运算过程： 1 1+ 2 姨 = 1 2 姨 +1 = 2 姨 -1 （ 2 姨 +1 ）（ 2 姨 -1 ） = 2 姨 -1 （ 2 姨 ） 2 -1 2 = 2 姨 -1 ； 1 2 姨 + 3 姨 = 1 3 姨 + 2 姨 = 3 姨 - 2 姨 （ 3 姨 + 2 姨 ）（ 3 姨 - 2 姨 ） = 3 姨 - 2 姨 （ 3 姨 ） 2 - （ 2 姨 ） 2 = 3 姨 - 2 姨 ； … 请运用上面的运算方法计算： 1 1+ 3 姨 + 1 3 姨 + 5 姨 + 1 5 姨 + 7 姨 + … + 1 2 017 姨 + 2 019 姨 + 1 2 019 姨 + 2 021 姨 + 1 2 021 姨 + 2 023 姨 . 中考链接 真题演练 12. （ 2023 ·潍坊） 从 - 2 姨 ， 3 姨 ， 6 姨 中任意选择两个数， 分别填在算式 （ □+ 〇） 2 ÷ 2 姨 里面的 “ □ ” 与 “〇” 中， 计算该算式的结果是 ． （只需写出一种结果） 13. （ 2023 ·西宁） 下列运算正确的是 （ ） A． 2 姨 + 3 姨 = 5 姨 B． （ -5 ） 2 姨 =-5 C． （ 3- 2 姨 ） 2 =11-6 2 姨 D． 6÷ 2 3 姨 × 3 姨 =3 14. （ 2023 ·甘肃） 计算： 27 姨 ÷ 3 姨 2 ×2 2 姨 -6 2 姨 ． 15. （ 2023 ·陕西） 计算： 5 姨 × （ - 10 姨 ） - 1 7 7 $ -1 +｜-2 3 ｜． 16. （ 2022 ·济宁） 已知 a=2+ 5 姨 ， b=2- 5 姨 ， 求代数式 a 2 b+ab 2 的值 . 33 八年级上册 （北师大版）数学 分子的平方减 1 时， 这个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分与这个带分数的分数部分的算术平方根的 积， 用代数式表示其基本规律是： 对于一般的被开方数为 n+ n n 2 -1 （ n≥2 ） 的二次根式可推出下面的一般形式： n+ n n 2 -1 姨 = n 3 -n+n n 2 -1 姨 = n 3 n 2 -1 姨 =n n n 2 -1 姨 （ n≥2 ） . 如， 若取 n=5 ， 有 5 5 24 姨 =5 5 24 姨 . 10. （ １ ） ５ （ ２ ） ５５ （ ３ ） ５５５ （ ４ ） ５ ５５５ （ ５ ） 555 … 5 5 5 2 022 个 5 １1. 解： 原式 = 3 姨 -1 （ 3 姨 ） 2 -1 2 + 5 姨 - 3 姨 （ 5 姨 ） 2 - （ 3 姨 ） 2 + … + 2 023 姨 - 2 021 姨 （ 2 023 姨 ） 2 - （ 2 021 姨 ） 2 = 1 2 × （ 3 姨 -1 ） + 1 2 × （ 5 姨 - 3 姨 ） + … + 1 2 × （ 2 021 姨 - 2 019 姨 ） + 1 2 × （ 2 023 姨 - 2 021 姨 ） = 1 2 × （ 3 姨 -1+ 5 姨 - 3 姨 + … + 2 021 姨 - 2 019 姨 + 2 023 姨 - 2 021 姨 ） = 2 023 姨 -1 2 . １2. 答案不唯一 . 若 “ □ ” 是 - 2 姨 ， “ ○ ” 是 3 姨 ， 则 （ - 2 姨 + 3 姨 ） 2 ÷ 2 姨 = （ 5-2 6 姨 ） ÷ 2 姨 = 5 2 姨 2 -2 3 姨 ； 若 “ □ ” 是 - 2 姨 ， “ ○ ” 是 6 姨 ， 则 （ - 2 姨 + 6 姨 ） 2 ÷ 2 姨 = （ 8-2 12 姨 ） ÷ 2 姨 =4 2 姨 -2 6 姨 ； 若 “ □ ” 是 3 姨 ， “ ○ ” 是 6 姨 ， 则 （ 3 姨 + 6 姨 ） 2 ÷ 2 姨 = （ 9+2 18 姨 ） ÷ 2 姨 = 9 2 姨 2 +6. 13. C 14. 解： 原式 = 3 3 姨 × 2 3 姨 ×2 2 姨 -6 2 姨 =12 2 姨 -6 2 姨 =6 2 姨 . 15. 解： 原式 =-5 2 姨 -7+|-8|=-5 2 姨 -7+8=-5 2 姨 +1. 16. 解： 原式 =ab （ a+b ） . ∵a=2+ 5 姨 ， b=2- 5 姨 ， ∴ 原式 = （ 2+ 5 姨 ） × （ 2- 5 姨 ） × （ 2+ 5 姨 +2- 5 姨 ） = （ 4－5 ） ×4=－1×4=－4． 第三章 位置与坐标 1 确 定 位 置 1. （ 2 ， 1 ） F 2. B 3. D 4. D 5. C 6. C 7. 解： （ 1 ） 球、 明、 国、 活 . （ 2 ） 我爱数学， 中国的明天 更好 . （ 3 ） B4 ， A3 ， C1 ， A1 ， A2. （ 4 ） 略 . 8. 解： （ 1 ） 黑棋 ③ 记为 （ G ， 3 ）， 黑棋 ⑤ 记为 （ H ， 4 ）， 黑棋 ⑨ 记为 （ D ， 6 ） . （ 2 ） 白 ⑧ ， 黑 ⑦ ， 白 ⑥. 9. 解： B （ 6 ， 2 ）， C （ 5 ， 3 ）， D （ 7 ， 5 ）， E （ 2 ， 4 ）； 用方位角 + 距离的方法 表示： 图中 B 点在 A 点的正东方向的 2 cm 处； 图中 C 点在 A 点的东北方向 （或北偏东 45° 方向） 的 2 姨 cm 处； 图中 D 点在 A 点的东北方向 （或北偏东 45° 方向） 的 3 2 姨 cm 处； 图中 E 点在 A 点的西北方向或北偏西 45° 方 向的 ２ 2 姨 cm 处 . 10. 解： （ 1 ） 文化宫 （ -3 ， 2 ）， 医院 （ -2 ， -1 ）， 宾馆 （ 2 ， 3 ）， 超市 （ 2 ， -2 ）， 市场 （ 4 ， 4 ） . （ 2 ） 答案不唯一， 只要合理即可 . 11. 解： 八路军是这样找到的， 因为在军火埋藏点看见大树 A 在南偏西 70° 方向上， 所以军火埋藏点应该在大树 A 的北偏东 70° 方向上， 因此， 在大树 A 定出北偏东 70° 的方向线； 同理， 在大树 B 定出北偏东 20° 的方向线， 两条方向线的交点 P 就是军火的埋藏点 . 12. 解： 点 A 的位置为正北， 距离 O 点 1 个单位长度； 点 C 的位置为南偏西 30° ， 距离 O 点 4 个单位长度； 点 D 的位置为南偏东 30° ， 距离 O 点 3 个单位长度； 点 E 的位置为北偏西 30° ， 距离 O 点 6 个单位长度 . １3. （ 3 ， 150° ） 14. C 15. B 2 平面直角坐标系 （第 1 课时） 1. （ 0 ， 2 ） （ 4 ， 2 ） （ 4 ， 0 ） 2. 2 3. 一 四 x y 4. D 5. A 6. O （ 0 ， 0 ）， A （ 3 ， 3 3 姨 ）， B （ 6 ， 0 ） . 7. 解： 如图， 过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E ， 作 BD⊥y 轴于点 D ， 则 BE=OD ， BD=OE. ∵∠COA=90° ， OA=OC ， AC=4 ， ∴△OAC 是等腰直角三角形 . 由勾股定理， 得 2OA 2 =AC 2 ， 即 OA=OC=2 2 姨 . ∴A （ 2 2 姨 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 2 姨 ） . ∵∠OCA=45° ， ∠ACB=90° ， ∴∠BCD=45°. ∴△BCD 是等腰直角三角形 . ∴CD=BD. ∵BC=2 ， ∴ 由勾股定理， 得 CD=BD= 2 姨 . ∴BE=OD=CO+CD=3 2 姨 . ∴ 点 B （ 2 姨 ， 3 2 姨 ） . 8. （ 9 ， -4 ） 9. A １0. D １1. C 2 平面直角坐标系 （第 2 课时） 1. （ 0 ， 5 ） 或 （ 0 ， -5 ） 2. 正方形 3. C 4. B 5. C 6. （ 1 ） A ， B ， C 三点的坐标分别为 （ 2 ， 4 ） ， （ 5 ， 2 ）， （ 3 ， -1 ） . （ 2 ） D （ 0 ， 1 ） . 7． （ 1 ） （ 2 ， 0 ） （ 4 ， 0 ） （ 6 ， 0 ） （ 2 ） 当 n=1 时 ， A 4 （ 2 ， 0 ）； 当 n=2 时， A 8 （ 4 ， 0 ）； n=3 时， A 12 （ 6 ， 0 ）， ∴A 4n 的坐标为 （ 2n ， 0 ） . （ 3 ） 动点从点 A 100 到点 A 101 的移动方向是向 上 ． ∵100÷4=25 ， ∴A 100 在 x 轴上， ∴A 101 的方向是向上 . 8. 三 9. 1 10. A 11. B 2 平面直角坐标系 （第 3 课时） 1. （ 1 ） A （ -4 ， 3 ）， B （ -4 ， 0 ）， C （ 0 ， -2 ）， D （ 5 ， 0 ）， E （ 5 ， 3 ）， F （ 0 ， 5 ） （ 2 ） 相等 （ 3 ） 点 B 与点 D 的 纵坐标都是 0 ， 点 C 与点 F 的横坐标都是 0 （ 4 ） 平行 2. C 3. 解： ① 如图 1 ， A （ 4 ， 0 ）， B （ 4 ， 4 ）， C （ 0 ， 4 ）， 第 7 题答图 x y O A B C E D 180