7 二次根式(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

八年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 计算： （ 1 ） - 7 4 24 姨 " # · - 2 7 6 姨 " 姨 ； （ 2 ） 60 姨 · 2 3 姨 ÷ 5 姨 . 【分析】 利用二次根式乘除运算法则进行运算， 乘除是同级运算 ． 【解答】 （ 1 ） - 7 4 24 姨 姨 姨 · - 2 7 6 姨 " 姨 = - 7 4 " 姨 · - 2 7 " 姨 24×6 姨 = 1 2 ×12=6. （ 2 ） 60 姨 · 2 3 姨 ÷ 5 姨 = 60× 2 3 姨 ÷ 5 姨 = 40 姨 5 姨 = 40 5 姨 = 8 姨 =2 2 姨 . 【点拨】 此题主要考查二次根式的乘除运算， 熟练掌握运算法则是解题的关键 ． 二次根式 乘除运算时， 根号外面的系数与系数相乘除， 被开方数与被开方数相乘除 . 特别注意的是有 理数的运算律在二次根式的乘法运算或实数的乘法运算中完全适用 . 基础巩固 达标闯关 1. 计算： 0.4 姨 × 10 姨 ＝ ； ２ 姨 × 1２.5 姨 ＝ . 2. 计算： - 5 4 48 姨 " 姨 × - 1 5 3 姨 " 姨 = . 3. 计算： 3a ２1 姨 · 5b 7 14 姨 ＝ . 4. 计算： 1２ 姨 3 姨 = ； 60 姨 2 姨 = . 5. 计算： 45 姨 ÷ 2 1 2 姨 = ； 1 3 5 姨 ÷ 1 5 姨 = . 6. 计算： 12 姨 + 48 姨 = ； 27 姨 - 6 姨 3 姨 = . 7． 下列计算结果正确的是 （ ） A. 48 姨 3 姨 ＝16 B. 48 姨 12 姨 ＝3 C. 3 11 姨 × 3 2 3 姨 ＝1 D. - 75 姨 5 姨 =-5 8. 下列计算不正确的是 （ ） A. 4 3 姨 ×3 5 姨 =12 15 姨 B. 14 姨 × 2 姨 =2 7 姨 C. 3 5 姨 ×4 5 姨 =12 5 姨 D. 3 5 姨 ×2 10 姨 =30 2 姨 7 二次根式 （第 2课时） 28 实 数 第二章 9. 计算 6 姨 × 5 姨 × 10 姨 的结果是 （ ） A. 15 3 姨 B. 10 3 姨 C. 10 2 姨 D. 15 2 姨 10. 计算 3 45 姨 ÷ 3 4 5 9 姨 的结果是 （ ） A. 1 4 B. 4 C. 9 4 D. 36 11. 化简下列各式 . （ 1 ） 6 姨 × 25 6 姨 ； （ 2 ） 3 姨 × 24 姨 8 姨 ； （ 3 ） 18 姨 × 6 姨 3 姨 . 能力提升 综合拓展 12. 化简下列各式 . （ 1 ） 1 3 3 姨 × 42 姨 × 28 姨 ； （ 2 ） 3 姨 × （ 12 姨 +2 48 姨 ）； （ 3 ） （ 2+ 3 姨 ） × （ 1- 3 姨 ）； （ 4 ） （ 3 2 姨 +1 ） 2 ； （ 5 ） （ 48 姨 + 6 姨 -2 3 姨 ） ÷ 3 姨 ； （ 6 ） 3 20 姨 - 45 姨 - 1 5 姨 . 29 八年级上册 （北师大版）数学 13. 若 A＝ 5 姨 +2 ， B＝ 5 姨 -2 ， 则 A 2 +B 2 +7 姨 的值为多少？ 中考链接 真题演练 14. （ 2023 ·广东） 计算： 3 姨 × 12 姨 = ． 15. （ 2023 ·南京） 计算 12 姨 × 6 姨 - 18 姨 的结果是 ． 16. （ 2022 ·荆州） 若 3- 2 姨 的整数部分为 a ， 小数部分为 b ， 则代数式 （ 2+ 2 姨 a ）· b 的 值是 ． 17. （ 2023 ·衡阳） 对于二次根式的乘法运算， 一般地， 有 a 姨 · b 姨 ＝ ab 姨 ． 该运算法则 成立的条件是 （ ） A． a＞0 ， b＞0 B． a＜0 ， b＜0 C． a≤0 ， b≤0 D． a≥0 ， b≥0 18. （ 2023 ·衡阳） 下列二次根式中， 与 2 姨 是同类二次根式的是 （ ） A． 4 姨 B． 6 姨 C． 8 姨 D． 12 姨 19. （ 2023 ·青岛） 下列计算正确的是 （ ） A． 2 姨 + 3 姨 = 5 姨 B． 2 3 姨 - 3 姨 =2 C． 2 姨 × 3 姨 = 6 姨 D． 12 姨 ÷3=2 20. （ 2023 ·荆州） 已知 k＝ 2 姨 （ 5 姨 + 3 姨 ）·（ 5 姨 - 3 姨 ）， 则与 k 最接近的整数为 （ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 21. （ 2023 ·荆州） 设 m＝5 1 5 姨 - 45 姨 ， 则实数 m 所在的范围是 （ ） A． m＜-5 B． -5＜m＜-4 C． -4＜m＜-3 D． m＞-3 30 参考答案与提示 x 2 =4×10 7 . 解得 x=1 000 40 姨 . 又 ∵6＜ 40 姨 ＜7 ， ∴ 40 姨 的整数部分为 6. 又 ∵6.3 2 =39.69<40 ， 要求结果精确到 100 m ， ∴x≈6 300 m. （ 2 ） 设正方形的边长为 y m ， 则 y 2 =8 700. 解得 y= 8 700 姨 =10 87 姨 . 又 ∵9＜ 87 姨 ＜10 ， 9.3 2 =86.49<87 ， 8 700 姨 ≈93. ∴ 要建设的体育馆的边长约为 93 m. １0. 3 １1. -1 （或 0 或 1 ） １2. C １3. C １4. A １5. C １6. D 17. D ５ 用计算器开方 1. 2.492 2. 2.32 3. ＞ ＜ 4. B 5. 不能 6. 11.31 44.79 0.32 -4.52 7. 11.6 cm. 8. 0.445 4.45 44.5 445 规律： 被开方数的小数点每向左 （右） 移动两位， 算术平方根就相应地向左 （右） 移动一位. 6 实 数 1. 整数集合 {0 ， -27 3 姨 ， （ -2 ） 2 023 ， 5 2 ， … } 负实数集合 {- 3.6 姨 ， 2 姨 - 3 姨 ， -27 3 姨 ， （ -2 ） 2 023 ， … } 分 数集合 合 １0 3 ， 3.14 ， 0.243 ， … … 无理数集合 合 - 3.6 姨 ， 仔 ２ ， 1 000 姨 ， 2 姨 - 3 姨 ， 6 姨 3 ， … … 2. 2 姨 1 7 5 姨 - 3 姨 3. -1 ， 0 ， 1 ， 2 4. 3 15 姨 -3 5. 2 姨 ， 3 姨 （答案不唯一） 6. - 10 3 7. 0 3 8. C 9. D 10. C 11. B 12. C 13. 作图略 . １４. 3 １５. 6 １6. 2 2 姨 -1 １7. B １8. C 7 二次根式 （第 1 课时） 1. 3 7 姨 5 2 姨 6 姨 3 5 姨 5 2. 2 6 姨 2 3 姨 3. 12 1 6 4. 40 3 姨 5. 3 11 姨 10 8 3 6. C 7. D 8. C 9. 解： （ 1 ） ∵-8<0 ， ∴ -8 姨 不是二次根式 . （ 2 ） ∵ - １ 3 3 ( 2 >0 ， ∴ - １ 3 3 3 2 姨 是二次根式 . （ 3 ） ∵ 3 3 姨 的根指数 是 3 ， ∴ 3 3 姨 是立方根， 不是二次根式 . （ 4 ） ∵ 当 x 为任意实数时 x 2 +9>0 ， ∴ x 2 +9 姨 是二次根式 . 10. （ 1 ） 22 2 姨 （ 2 ） 12 2 × （ 3 2 +4 2 ） 姨 =60 （ 3 ） 60 （ 4 ） 2 3 3 姨 11. AC=24 cm. 12. 解： ∵DE 是 AB 边上的高， ∴∠AED= ∠BED=90°. 在 Rt△ADE 中， 由勾股定理， 得 AE= AD 2 -DE 2 姨 = （ 2 5 姨 ） 2 -4 2 姨 =2． 同理， 在 Rt△BDE 中， 由勾股定 理 , 得 BE= BD 2 -DE 2 姨 = （ 4 5 姨 ） 2 -4 2 姨 =8. ∴AB=AE+BE=2+8=10. 在 △ABC 中 ， ∵AB=10 ， AC=6 ， BC=8 ， ∴AB 2 = AC 2 +BC 2 . ∴△ABC 是直角三角形 . 设 △ABC 的 AB 边上的高为 h ， 则 1 2 AB×h= 1 2 AC×BC ， 即 10h=6×8. ∴h=4.8. ∴ △ABC 的边 AB 上的高为 4.8. 13. 解： （ 1 ） 根据题意， 得 BP=2t ， PC=16-2t. 当 t=3 时， 16-2×3=10. 在 Rt△APC 中， ∵AC=8 ， PC=10, ∴ 由勾股定理， 得 AP= AC 2 +PC 2 姨 = 164 姨 =2 41 姨 ． ∴AP 的长为 2 41 姨 . （ 2 ） 在 Rt△ABC 中， AC=8 ， BC=16 ， 由勾股定理， 得 AB= 64+256 姨 = 320 姨 =8 5 姨 . 若 BA=BP ， 则 2t=8 5 姨 ， 解得 t=4 5 姨 ； 若 AB=AP ， 则 BP=32. ∴2t=32 ， 解得 t=16 ； 若 PA=PB ， 则 （ 2t ） 2 = （ 16-2t ） 2 +8 2 . 解得 t=5． 答： 当 △ABP 为等腰三角形 时， t 的值为 4 5 姨 或 16 或 5. 14. x≥-1 15. 2-m 16. A 17. C 18. D 19. D 7 二次根式 （第 2 课时） 1. 2 5 2. 3 3. 15 6 姨 ab 4. 2 30 姨 5. 3 2 姨 2 2 姨 6. 6 3 姨 3- 2 姨 7. C 8. C 9. B 10. D 11. （ 1 ） 5 （ 2 ） 3 （ 3 ） 6 12. （ 1 ） 14 2 姨 （ 2 ） 30 （ 3 ） -1- 3 姨 （ 4 ） 19+6 2 姨 （ 5 ） 2+ 2 姨 （ 6 ） 14 5 5 姨 13. 解： A 2 +B 2 +7= （ 5 姨 +2 ） 2 + （ 5 姨 -2 ） 2 +7=25. ∴ 原式 =5. １４. 6 １５. 3 2 姨 １６. 2 １7. D １8. C 19. C 20. B 21. B 7 二次根式 （第 3 课时） 1. - 3 姨 49 5 15 姨 2. 3 3 姨 -14 2 姨 3. 13-2 42 姨 = （ 7 姨 - 6 姨 ） 2 4. D 5. A 6. B 7. （ 1 ） 10 2 姨 - 2 10 姨 （ 2 ） 3 （ 3 ） 5 2 姨 （ 4 ） 15-2 3 姨 （ 5 ） 7 姨 - 6 姨 （ 6 ） 3-2 5 姨 8. 解： 三角形的面积 = 1 2 （ 3 姨 +1 ）（ 3 姨 -1 ） = 1 2 ［（ 3 姨 ） 2 -1 ］ =1 （ cm 2 ）； 直角三角形的斜边长 = （ 3 姨 +1 ） 2 + （ 3 姨 -1 ） 2 姨 =2 2 姨 （ cm ）， 三角形的周长 = （ 3 姨 +1 ） + （ 3 姨 -1 ） +2 2 姨 =2 3 姨 +2 2 姨 =2 （ 3 姨 + 2 姨 ） （ cm ） . 答： 直角三角形的面积是 1 cm 2 ， 周长是 2 （ 3 姨 + 2 姨 ） cm. 9. 解： 都成立 . 规律： 当带分数的整数部分与分数部分的分子相等， 且分母为 179 八年级上册 （北师大版）数学 分子的平方减 1 时， 这个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分与这个带分数的分数部分的算术平方根的 积， 用代数式表示其基本规律是： 对于一般的被开方数为 n+ n n 2 -1 （ n≥2 ） 的二次根式可推出下面的一般形式： n+ n n 2 -1 姨 = n 3 -n+n n 2 -1 姨 = n 3 n 2 -1 姨 =n n n 2 -1 姨 （ n≥2 ） . 如， 若取 n=5 ， 有 5 5 24 姨 =5 5 24 姨 . 10. （ １ ） ５ （ ２ ） ５５ （ ３ ） ５５５ （ ４ ） ５ ５５５ （ ５ ） 555 … 5 5 5 2 022 个 5 １1. 解： 原式 = 3 姨 -1 （ 3 姨 ） 2 -1 2 + 5 姨 - 3 姨 （ 5 姨 ） 2 - （ 3 姨 ） 2 + … + 2 023 姨 - 2 021 姨 （ 2 023 姨 ） 2 - （ 2 021 姨 ） 2 = 1 2 × （ 3 姨 -1 ） + 1 2 × （ 5 姨 - 3 姨 ） + … + 1 2 × （ 2 021 姨 - 2 019 姨 ） + 1 2 × （ 2 023 姨 - 2 021 姨 ） = 1 2 × （ 3 姨 -1+ 5 姨 - 3 姨 + … + 2 021 姨 - 2 019 姨 + 2 023 姨 - 2 021 姨 ） = 2 023 姨 -1 2 . １2. 答案不唯一 . 若 “ □ ” 是 - 2 姨 ， “ ○ ” 是 3 姨 ， 则 （ - 2 姨 + 3 姨 ） 2 ÷ 2 姨 = （ 5-2 6 姨 ） ÷ 2 姨 = 5 2 姨 2 -2 3 姨 ； 若 “ □ ” 是 - 2 姨 ， “ ○ ” 是 6 姨 ， 则 （ - 2 姨 + 6 姨 ） 2 ÷ 2 姨 = （ 8-2 12 姨 ） ÷ 2 姨 =4 2 姨 -2 6 姨 ； 若 “ □ ” 是 3 姨 ， “ ○ ” 是 6 姨 ， 则 （ 3 姨 + 6 姨 ） 2 ÷ 2 姨 = （ 9+2 18 姨 ） ÷ 2 姨 = 9 2 姨 2 +6. 13. C 14. 解： 原式 = 3 3 姨 × 2 3 姨 ×2 2 姨 -6 2 姨 =12 2 姨 -6 2 姨 =6 2 姨 . 15. 解： 原式 =-5 2 姨 -7+|-8|=-5 2 姨 -7+8=-5 2 姨 +1. 16. 解： 原式 =ab （ a+b ） . ∵a=2+ 5 姨 ， b=2- 5 姨 ， ∴ 原式 = （ 2+ 5 姨 ） × （ 2- 5 姨 ） × （ 2+ 5 姨 +2- 5 姨 ） = （ 4－5 ） ×4=－1×4=－4． 第三章 位置与坐标 1 确 定 位 置 1. （ 2 ， 1 ） F 2. B 3. D 4. D 5. C 6. C 7. 解： （ 1 ） 球、 明、 国、 活 . （ 2 ） 我爱数学， 中国的明天 更好 . （ 3 ） B4 ， A3 ， C1 ， A1 ， A2. （ 4 ） 略 . 8. 解： （ 1 ） 黑棋 ③ 记为 （ G ， 3 ）， 黑棋 ⑤ 记为 （ H ， 4 ）， 黑棋 ⑨ 记为 （ D ， 6 ） . （ 2 ） 白 ⑧ ， 黑 ⑦ ， 白 ⑥. 9. 解： B （ 6 ， 2 ）， C （ 5 ， 3 ）， D （ 7 ， 5 ）， E （ 2 ， 4 ）； 用方位角 + 距离的方法 表示： 图中 B 点在 A 点的正东方向的 2 cm 处； 图中 C 点在 A 点的东北方向 （或北偏东 45° 方向） 的 2 姨 cm 处； 图中 D 点在 A 点的东北方向 （或北偏东 45° 方向） 的 3 2 姨 cm 处； 图中 E 点在 A 点的西北方向或北偏西 45° 方 向的 ２ 2 姨 cm 处 . 10. 解： （ 1 ） 文化宫 （ -3 ， 2 ）， 医院 （ -2 ， -1 ）， 宾馆 （ 2 ， 3 ）， 超市 （ 2 ， -2 ）， 市场 （ 4 ， 4 ） . （ 2 ） 答案不唯一， 只要合理即可 . 11. 解： 八路军是这样找到的， 因为在军火埋藏点看见大树 A 在南偏西 70° 方向上， 所以军火埋藏点应该在大树 A 的北偏东 70° 方向上， 因此， 在大树 A 定出北偏东 70° 的方向线； 同理， 在大树 B 定出北偏东 20° 的方向线， 两条方向线的交点 P 就是军火的埋藏点 . 12. 解： 点 A 的位置为正北， 距离 O 点 1 个单位长度； 点 C 的位置为南偏西 30° ， 距离 O 点 4 个单位长度； 点 D 的位置为南偏东 30° ， 距离 O 点 3 个单位长度； 点 E 的位置为北偏西 30° ， 距离 O 点 6 个单位长度 . １3. （ 3 ， 150° ） 14. C 15. B 2 平面直角坐标系 （第 1 课时） 1. （ 0 ， 2 ） （ 4 ， 2 ） （ 4 ， 0 ） 2. 2 3. 一 四 x y 4. D 5. A 6. O （ 0 ， 0 ）， A （ 3 ， 3 3 姨 ）， B （ 6 ， 0 ） . 7. 解： 如图， 过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E ， 作 BD⊥y 轴于点 D ， 则 BE=OD ， BD=OE. ∵∠COA=90° ， OA=OC ， AC=4 ， ∴△OAC 是等腰直角三角形 . 由勾股定理， 得 2OA 2 =AC 2 ， 即 OA=OC=2 2 姨 . ∴A （ 2 2 姨 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 2 姨 ） . ∵∠OCA=45° ， ∠ACB=90° ， ∴∠BCD=45°. ∴△BCD 是等腰直角三角形 . ∴CD=BD. ∵BC=2 ， ∴ 由勾股定理， 得 CD=BD= 2 姨 . ∴BE=OD=CO+CD=3 2 姨 . ∴ 点 B （ 2 姨 ， 3 2 姨 ） . 8. （ 9 ， -4 ） 9. A １0. D １1. C 2 平面直角坐标系 （第 2 课时） 1. （ 0 ， 5 ） 或 （ 0 ， -5 ） 2. 正方形 3. C 4. B 5. C 6. （ 1 ） A ， B ， C 三点的坐标分别为 （ 2 ， 4 ） ， （ 5 ， 2 ）， （ 3 ， -1 ） . （ 2 ） D （ 0 ， 1 ） . 7． （ 1 ） （ 2 ， 0 ） （ 4 ， 0 ） （ 6 ， 0 ） （ 2 ） 当 n=1 时 ， A 4 （ 2 ， 0 ）； 当 n=2 时， A 8 （ 4 ， 0 ）； n=3 时， A 12 （ 6 ， 0 ）， ∴A 4n 的坐标为 （ 2n ， 0 ） . （ 3 ） 动点从点 A 100 到点 A 101 的移动方向是向 上 ． ∵100÷4=25 ， ∴A 100 在 x 轴上， ∴A 101 的方向是向上 . 8. 三 9. 1 10. A 11. B 2 平面直角坐标系 （第 3 课时） 1. （ 1 ） A （ -4 ， 3 ）， B （ -4 ， 0 ）， C （ 0 ， -2 ）， D （ 5 ， 0 ）， E （ 5 ， 3 ）， F （ 0 ， 5 ） （ 2 ） 相等 （ 3 ） 点 B 与点 D 的 纵坐标都是 0 ， 点 C 与点 F 的横坐标都是 0 （ 4 ） 平行 2. C 3. 解： ① 如图 1 ， A （ 4 ， 0 ）， B （ 4 ， 4 ）， C （ 0 ， 4 ）， 第 7 题答图 x y O A B C E D 180