7 二次根式(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

实 数 第二章 自主导学 典例精析 例题 判断下列二次根式 3 姨 ， 8 姨 ， 1 2 姨 ， 2.4 姨 中， 哪些是最简二次根式， 哪些 不是最简二次根式 . 如果不是最简二次根式， 请将它化为最简二次根式 . 【分析】 判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法， 就是判断二次根式的被开方数 是否满足定义的两个条件 . 【解答】 3 姨 被开方数不含分母也不含能开得尽方的因数或因式， 所以它是最简二次根 式； 8 姨 的被开方数 8 含有能开得尽方的因数 4 ， 即 8 姨 = 4×2 姨 =2 2 姨 ， 所以它不是最简 二次根式， 化为最简二次根式为 2 2 姨 ； 1 2 姨 被开方数含分母， 它不是最简二次根式， 化 为最简二次根式为 2 姨 2 ； 2.4 姨 被开方数是小数， 它不是最简二次根式， 化为最简二次根式 为 2 15 姨 5 . 【点拨】 本题考查最简二次根式的概念， 判断一个二次根式是否为最简二次根式要满足 两个条件： 第一， 被开方数不含分母； 第二， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式 . 基础巩固 达标闯关 1. 化简： 63 姨 ＝ ； 50 姨 = ； 2 3 姨 = ； 1 5 姨 = . 2. 化简： 5 ２ -1 姨 = ； 3 2 + （ 3 姨 ） 2 姨 = . 3. 化简： 4×36 姨 ＝ ； - 1 4 4 # · - 1 9 4 $ 姨 ＝ . 4. 化简： 0.16×10 000×3 姨 ＝ . 5. 化简： 99 100 姨 = ； 73 9 -1 姨 = ． 6. 下列各式成立的是 （ ） A. （ -4 ） × （ -6 ） 姨 = -4 姨 × -6 姨 B. -4 -6 姨 = -4 姨 -6 姨 C. 125 姨 = 25 姨 × 5 姨 D. 5 2 -3 2 姨 = 3+5 姨 · 3-5 姨 7. 化简 4 4 9 姨 的正确结果是 （ ） 7 二次根式 （第 1课时） 25 八年级上册 （北师大版）数学 A. 2 2 3 B. 2 10 姨 9 C. 6 10 姨 D. 2 10 姨 3 8. 下列式子是最简二次根式的是 （ ） A. 1 2 姨 B. 2 2 姨 C. 26 姨 D. 0.1 姨 9. 下列各式哪些是二次根式？ 哪些不是二次根式？ 为什么？ （ 1 ） -8 姨 ； （ 2 ） - 1 3 3 # 2 姨 ； （ 3 ） 3 3 姨 ； （ 4 ） x 2 +9 姨 . 10. 化简下列各式 . （ 1 ） 8×11 2 姨 ； （ 2 ） 36 2 +48 2 姨 ； （ 3 ） （-9 ） × （ -8 ） ×50 姨 ； （ 4 ） 1 1 3 3 3 2 - 2 3 3 3 2 姨 2 2 . 11. 在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， AB=30 cm ， BC=18 cm ， 求边 AC 的长 . 能力提升 综合拓展 12. 如图， 在四边形 ACBD 中， AC＝6 ， BC＝8 ， AD＝2 5 姨 ， BD＝4 5 姨 ， DE 是 △ABD 的 边 AB 上的高， 且 DE＝4 ， 求 △ABC 的边 AB 上的高 ． 第 12 题图 A C E D B 26 实 数 第二章 13. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB＝90° ， AC＝8 ， BC＝16 ， 点 P 从 B 点出发沿射线 BC 方 向以每秒 2 个单位长度的速度向右运动 ． 设点 P 的运动时间为 t ， 连接 AP． （ 1 ） 当 t＝3 s 时， 求 AP 的长度 （结果保留根号） . （ 2 ） 当 △ABP 为等腰三角形时， 求 t 的值 . 中考链接 真题演练 14. （ 2023 ·苏州） 若 x+1 姨 有意义， 则 x 的取值范围是 ． 15. （ 2023 ·内蒙古） 实数 m 在数轴上对应点的位置如图所示， 化 简： （ m-2 ） 2 姨 = ． 16. （ 2023 ·河北） 若 a= 2 姨 ， b= 7 姨 ， 则 14a 2 b 2 姨 ＝ （ ） A． 2 B． 4 C． 7 姨 D． 2 姨 17. （ 2023 ·台湾） 化简 135 姨 的结果为 （ ） A． 3 5 姨 B． 27 5 姨 C． 3 15 姨 D． 9 15 姨 18. （ 2022 ·聊城） 射击时， 子弹射出枪口时的速度可用公式 v= 2ab 姨 进行计算， 其中 a 为子弹的加速度， b 为枪筒的长 . 如果 a=5×10 5 m/s 2 ， b=0.64 m ， 那么子弹射出枪口时的速度 （用科学记数法表示） 为 （ ） A. 0.4×10 3 m/s B. 0.8×10 3 m/s C. 4×10 2 m/s D. 8×10 2 m/s 19. （ 2021 ·娄底） 2 ， 5 ， m 是某三角形三边的长， 则 （ m-3 ） 2 姨 + （ m-7 ） 2 姨 等于 （ ） A． 2m-10 B． 10-2m C． 10 D． 4 A B P C 第 13 题图 -1 0 1 2 m 第 15 题图 27 参考答案与提示 x 2 =4×10 7 . 解得 x=1 000 40 姨 . 又 ∵6＜ 40 姨 ＜7 ， ∴ 40 姨 的整数部分为 6. 又 ∵6.3 2 =39.69<40 ， 要求结果精确到 100 m ， ∴x≈6 300 m. （ 2 ） 设正方形的边长为 y m ， 则 y 2 =8 700. 解得 y= 8 700 姨 =10 87 姨 . 又 ∵9＜ 87 姨 ＜10 ， 9.3 2 =86.49<87 ， 8 700 姨 ≈93. ∴ 要建设的体育馆的边长约为 93 m. １0. 3 １1. -1 （或 0 或 1 ） １2. C １3. C １4. A １5. C １6. D 17. D ５ 用计算器开方 1. 2.492 2. 2.32 3. ＞ ＜ 4. B 5. 不能 6. 11.31 44.79 0.32 -4.52 7. 11.6 cm. 8. 0.445 4.45 44.5 445 规律： 被开方数的小数点每向左 （右） 移动两位， 算术平方根就相应地向左 （右） 移动一位. 6 实 数 1. 整数集合 {0 ， -27 3 姨 ， （ -2 ） 2 023 ， 5 2 ， … } 负实数集合 {- 3.6 姨 ， 2 姨 - 3 姨 ， -27 3 姨 ， （ -2 ） 2 023 ， … } 分 数集合 合 １0 3 ， 3.14 ， 0.243 ， … … 无理数集合 合 - 3.6 姨 ， 仔 ２ ， 1 000 姨 ， 2 姨 - 3 姨 ， 6 姨 3 ， … … 2. 2 姨 1 7 5 姨 - 3 姨 3. -1 ， 0 ， 1 ， 2 4. 3 15 姨 -3 5. 2 姨 ， 3 姨 （答案不唯一） 6. - 10 3 7. 0 3 8. C 9. D 10. C 11. B 12. C 13. 作图略 . １４. 3 １５. 6 １6. 2 2 姨 -1 １7. B １8. C 7 二次根式 （第 1 课时） 1. 3 7 姨 5 2 姨 6 姨 3 5 姨 5 2. 2 6 姨 2 3 姨 3. 12 1 6 4. 40 3 姨 5. 3 11 姨 10 8 3 6. C 7. D 8. C 9. 解： （ 1 ） ∵-8<0 ， ∴ -8 姨 不是二次根式 . （ 2 ） ∵ - １ 3 3 ( 2 >0 ， ∴ - １ 3 3 3 2 姨 是二次根式 . （ 3 ） ∵ 3 3 姨 的根指数 是 3 ， ∴ 3 3 姨 是立方根， 不是二次根式 . （ 4 ） ∵ 当 x 为任意实数时 x 2 +9>0 ， ∴ x 2 +9 姨 是二次根式 . 10. （ 1 ） 22 2 姨 （ 2 ） 12 2 × （ 3 2 +4 2 ） 姨 =60 （ 3 ） 60 （ 4 ） 2 3 3 姨 11. AC=24 cm. 12. 解： ∵DE 是 AB 边上的高， ∴∠AED= ∠BED=90°. 在 Rt△ADE 中， 由勾股定理， 得 AE= AD 2 -DE 2 姨 = （ 2 5 姨 ） 2 -4 2 姨 =2． 同理， 在 Rt△BDE 中， 由勾股定 理 , 得 BE= BD 2 -DE 2 姨 = （ 4 5 姨 ） 2 -4 2 姨 =8. ∴AB=AE+BE=2+8=10. 在 △ABC 中 ， ∵AB=10 ， AC=6 ， BC=8 ， ∴AB 2 = AC 2 +BC 2 . ∴△ABC 是直角三角形 . 设 △ABC 的 AB 边上的高为 h ， 则 1 2 AB×h= 1 2 AC×BC ， 即 10h=6×8. ∴h=4.8. ∴ △ABC 的边 AB 上的高为 4.8. 13. 解： （ 1 ） 根据题意， 得 BP=2t ， PC=16-2t. 当 t=3 时， 16-2×3=10. 在 Rt△APC 中， ∵AC=8 ， PC=10, ∴ 由勾股定理， 得 AP= AC 2 +PC 2 姨 = 164 姨 =2 41 姨 ． ∴AP 的长为 2 41 姨 . （ 2 ） 在 Rt△ABC 中， AC=8 ， BC=16 ， 由勾股定理， 得 AB= 64+256 姨 = 320 姨 =8 5 姨 . 若 BA=BP ， 则 2t=8 5 姨 ， 解得 t=4 5 姨 ； 若 AB=AP ， 则 BP=32. ∴2t=32 ， 解得 t=16 ； 若 PA=PB ， 则 （ 2t ） 2 = （ 16-2t ） 2 +8 2 . 解得 t=5． 答： 当 △ABP 为等腰三角形 时， t 的值为 4 5 姨 或 16 或 5. 14. x≥-1 15. 2-m 16. A 17. C 18. D 19. D 7 二次根式 （第 2 课时） 1. 2 5 2. 3 3. 15 6 姨 ab 4. 2 30 姨 5. 3 2 姨 2 2 姨 6. 6 3 姨 3- 2 姨 7. C 8. C 9. B 10. D 11. （ 1 ） 5 （ 2 ） 3 （ 3 ） 6 12. （ 1 ） 14 2 姨 （ 2 ） 30 （ 3 ） -1- 3 姨 （ 4 ） 19+6 2 姨 （ 5 ） 2+ 2 姨 （ 6 ） 14 5 5 姨 13. 解： A 2 +B 2 +7= （ 5 姨 +2 ） 2 + （ 5 姨 -2 ） 2 +7=25. ∴ 原式 =5. １４. 6 １５. 3 2 姨 １６. 2 １7. D １8. C 19. C 20. B 21. B 7 二次根式 （第 3 课时） 1. - 3 姨 49 5 15 姨 2. 3 3 姨 -14 2 姨 3. 13-2 42 姨 = （ 7 姨 - 6 姨 ） 2 4. D 5. A 6. B 7. （ 1 ） 10 2 姨 - 2 10 姨 （ 2 ） 3 （ 3 ） 5 2 姨 （ 4 ） 15-2 3 姨 （ 5 ） 7 姨 - 6 姨 （ 6 ） 3-2 5 姨 8. 解： 三角形的面积 = 1 2 （ 3 姨 +1 ）（ 3 姨 -1 ） = 1 2 ［（ 3 姨 ） 2 -1 ］ =1 （ cm 2 ）； 直角三角形的斜边长 = （ 3 姨 +1 ） 2 + （ 3 姨 -1 ） 2 姨 =2 2 姨 （ cm ）， 三角形的周长 = （ 3 姨 +1 ） + （ 3 姨 -1 ） +2 2 姨 =2 3 姨 +2 2 姨 =2 （ 3 姨 + 2 姨 ） （ cm ） . 答： 直角三角形的面积是 1 cm 2 ， 周长是 2 （ 3 姨 + 2 姨 ） cm. 9. 解： 都成立 . 规律： 当带分数的整数部分与分数部分的分子相等， 且分母为 179