6 实数-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

实 数 第二章 自主导学 典例精析 例题 在数轴上画出表示 5 姨 的点 . 【分析】 要找到表示 5 姨 的线段长， 必须构造其中一边长为 5 姨 的直角三角形 . 为此找 到两个正整数的平方和或平方差等于 5 ， 2 2 +1 2 =3 2 －2 2 =5 ， 由勾股定理知， 两条直角边长分别 为 2 ， 1 或者斜边和其中一直角边长分别为 3 ， 2. 【解答】 方法 1 ： 如图 1 ， 在数轴上取表示 2 的点 B ， 过 点 B 作 BM⊥OB 于点 B ， 在 BM 上截 BA 等于 1 个单位长 度， 连接 OA ， 由勾股定理， 知 OA= 1 2 +2 2 姨 = 5 姨 . 再以点 O 为圆心， 以 OA 长为半径画弧与数轴交于点 C ， 则点 C 就 是数轴上表示 5 姨 的点 . 方法 2 ： 如图 2 ， 在数轴上取表示 2 的点 B ， 过点 O 作 OM⊥OB 于点 O ， 以点 B 为圆心， 以 3 个单位长度为半径画 弧与 OM 交于点 A ， 连接 AB ， 则 AB=3. 由勾股定理知 OA= 3 2 -2 2 姨 = 5 姨 . 再以点 O 为圆心， 以 OA 长为半径画弧与数 轴交于点 C ， 则点 C 就是数轴上表示 5 姨 的点 . 【点拨】 此题考查数轴上表示无理数点的画法， 其实质是考查灵活运用勾股定理和数形 结合的思想解决实际问题的能力 . 数轴上的点和实数是一一对应的， 即任意一个实数都可以 用数轴上的一个点表示， 反过来， 数轴上的任意一个点都可以用一个实数表示 . 在数轴上画 表示含有根号的无理数的点时， 通过构造直角三角形找到边长等于这个无理数的线段， 然后 在数轴上画出对应的点 . 基础巩固 达标闯关 1. 把下列各数分别填入相应的集合中： 10 3 ， 3.14 ， - 3.6 姨 ， π 2 ， 1 000 姨 ， 0 ， ２ 姨 - 3 姨 ， -27 3 姨 ， 6 姨 3 ， 0.243 ， （ -2 ） 2 023 ， 5 2 . 整数集合 { … } 负实数集合 { … } 分数集合 { … } 无理数集合 { … } 2. - ２ 姨 的相反数为 ； 49 姨 的倒数为 ； 3 姨 - 5 姨 的绝对值为 . 3. 比 8 姨 小且比 - 3 姨 大的整数有 . 4. 若 15 姨 的整数部分为 a ， 小数部分为 b ， 则 a= ， b= . 6 实 数 例题答图 图 1 图 2 -2 -1 1 2 3 4 5 O M A B C M A B -2 -1 1 2 3 4 5 O C 23 八年级上册 （北师大版）数学 5. 若无理数满足大于 1 且小于 4 ， 写出你熟悉的两个无理数： . 6. 若一个数的立方等于 -0.027 ， 则这个数的倒数为 . 7. 绝对值最小的实数是 ， 若 - 3 姨 是 a 的一个平方根， 则 a= . 8. 下列说法中正确的是 （ ） A. 带根号的数是无理数 B. 无限小数是无理数 C. 无理数不能写成分数 D. 不能在数轴上表示的数是无理数 9. 下列说法中错误的是 （ ） A. 没有最小的有理数 B. 没有最小的实数 C. 没有最小的无理数 D. 没有绝对值最小的实数 10. 两个实数在数轴上对应的点到原点的距离相等， 则这两个实数 （ ） A. 一定相等 B. 互为倒数 C. 绝对值相等 D. 以上都不对 11. 若 6+ 11 姨 与 6- 11 姨 的整数部分分别是 a 和 b ， 则 a+b 的值是 （ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 能力提升 综合拓展 12. 如图， 数轴上 A ， B 两点表示的数分别为 1 和 3 姨 ， 点 B 关于点 A 的对称点为点 C ， 则点 C 所表示的数是 （ ） A． 3 姨 -1 B． 1- 3 姨 C． 2- 3 姨 D． 3 姨 -2 13. 在数轴上作出下列各数所对应的点 . （ 1 ） - 2 姨 ； （ 2 ） － 10 姨 ； （ 3 ） 1- 5 姨 . 中考链接 真题演练 14. （ 2023 ·安徽） 计算： 8 3 姨 +1= ． 15. （ 2023 ·重庆） 计算： |-5|+ （ 2- 3 姨 ） 0 ＝ ． 16. （ 2023 ·宁夏） 如图， 点 A ， B ， C 在数轴上， 点 A 表示的数是 -1 ， 点 B 是 AC 的中 点， 线段 AB= 2 姨 ， 则点 C 表示的数是 ． 17. （ 2023 ·赤峰） 如图， 数轴上表示实数 7 姨 的点可能是 （ ） A． 点 P B． 点 Q C． 点 R D． 点 S 18. （ 2023 ·资阳） 数轴上点 A 到原点的距离为 3 姨 ， 则点 A 所表示的数是 （ ） A． 3 姨 B． - 3 姨 C． 3 姨 或 - 3 姨 D． 2 3 姨 0 A BC 第 12 题图 第 16 题图 第 17 题图 A B C -1 0 P Q R S -2 -1 0 1 2 3 4 5 24 参考答案与提示 x 2 =4×10 7 . 解得 x=1 000 40 姨 . 又 ∵6＜ 40 姨 ＜7 ， ∴ 40 姨 的整数部分为 6. 又 ∵6.3 2 =39.69<40 ， 要求结果精确到 100 m ， ∴x≈6 300 m. （ 2 ） 设正方形的边长为 y m ， 则 y 2 =8 700. 解得 y= 8 700 姨 =10 87 姨 . 又 ∵9＜ 87 姨 ＜10 ， 9.3 2 =86.49<87 ， 8 700 姨 ≈93. ∴ 要建设的体育馆的边长约为 93 m. １0. 3 １1. -1 （或 0 或 1 ） １2. C １3. C １4. A １5. C １6. D 17. D ５ 用计算器开方 1. 2.492 2. 2.32 3. ＞ ＜ 4. B 5. 不能 6. 11.31 44.79 0.32 -4.52 7. 11.6 cm. 8. 0.445 4.45 44.5 445 规律： 被开方数的小数点每向左 （右） 移动两位， 算术平方根就相应地向左 （右） 移动一位. 6 实 数 1. 整数集合 {0 ， -27 3 姨 ， （ -2 ） 2 023 ， 5 2 ， … } 负实数集合 {- 3.6 姨 ， 2 姨 - 3 姨 ， -27 3 姨 ， （ -2 ） 2 023 ， … } 分 数集合 合 １0 3 ， 3.14 ， 0.243 ， … … 无理数集合 合 - 3.6 姨 ， 仔 ２ ， 1 000 姨 ， 2 姨 - 3 姨 ， 6 姨 3 ， … … 2. 2 姨 1 7 5 姨 - 3 姨 3. -1 ， 0 ， 1 ， 2 4. 3 15 姨 -3 5. 2 姨 ， 3 姨 （答案不唯一） 6. - 10 3 7. 0 3 8. C 9. D 10. C 11. B 12. C 13. 作图略 . １４. 3 １５. 6 １6. 2 2 姨 -1 １7. B １8. C 7 二次根式 （第 1 课时） 1. 3 7 姨 5 2 姨 6 姨 3 5 姨 5 2. 2 6 姨 2 3 姨 3. 12 1 6 4. 40 3 姨 5. 3 11 姨 10 8 3 6. C 7. D 8. C 9. 解： （ 1 ） ∵-8<0 ， ∴ -8 姨 不是二次根式 . （ 2 ） ∵ - １ 3 3 ( 2 >0 ， ∴ - １ 3 3 3 2 姨 是二次根式 . （ 3 ） ∵ 3 3 姨 的根指数 是 3 ， ∴ 3 3 姨 是立方根， 不是二次根式 . （ 4 ） ∵ 当 x 为任意实数时 x 2 +9>0 ， ∴ x 2 +9 姨 是二次根式 . 10. （ 1 ） 22 2 姨 （ 2 ） 12 2 × （ 3 2 +4 2 ） 姨 =60 （ 3 ） 60 （ 4 ） 2 3 3 姨 11. AC=24 cm. 12. 解： ∵DE 是 AB 边上的高， ∴∠AED= ∠BED=90°. 在 Rt△ADE 中， 由勾股定理， 得 AE= AD 2 -DE 2 姨 = （ 2 5 姨 ） 2 -4 2 姨 =2． 同理， 在 Rt△BDE 中， 由勾股定 理 , 得 BE= BD 2 -DE 2 姨 = （ 4 5 姨 ） 2 -4 2 姨 =8. ∴AB=AE+BE=2+8=10. 在 △ABC 中 ， ∵AB=10 ， AC=6 ， BC=8 ， ∴AB 2 = AC 2 +BC 2 . ∴△ABC 是直角三角形 . 设 △ABC 的 AB 边上的高为 h ， 则 1 2 AB×h= 1 2 AC×BC ， 即 10h=6×8. ∴h=4.8. ∴ △ABC 的边 AB 上的高为 4.8. 13. 解： （ 1 ） 根据题意， 得 BP=2t ， PC=16-2t. 当 t=3 时， 16-2×3=10. 在 Rt△APC 中， ∵AC=8 ， PC=10, ∴ 由勾股定理， 得 AP= AC 2 +PC 2 姨 = 164 姨 =2 41 姨 ． ∴AP 的长为 2 41 姨 . （ 2 ） 在 Rt△ABC 中， AC=8 ， BC=16 ， 由勾股定理， 得 AB= 64+256 姨 = 320 姨 =8 5 姨 . 若 BA=BP ， 则 2t=8 5 姨 ， 解得 t=4 5 姨 ； 若 AB=AP ， 则 BP=32. ∴2t=32 ， 解得 t=16 ； 若 PA=PB ， 则 （ 2t ） 2 = （ 16-2t ） 2 +8 2 . 解得 t=5． 答： 当 △ABP 为等腰三角形 时， t 的值为 4 5 姨 或 16 或 5. 14. x≥-1 15. 2-m 16. A 17. C 18. D 19. D 7 二次根式 （第 2 课时） 1. 2 5 2. 3 3. 15 6 姨 ab 4. 2 30 姨 5. 3 2 姨 2 2 姨 6. 6 3 姨 3- 2 姨 7. C 8. C 9. B 10. D 11. （ 1 ） 5 （ 2 ） 3 （ 3 ） 6 12. （ 1 ） 14 2 姨 （ 2 ） 30 （ 3 ） -1- 3 姨 （ 4 ） 19+6 2 姨 （ 5 ） 2+ 2 姨 （ 6 ） 14 5 5 姨 13. 解： A 2 +B 2 +7= （ 5 姨 +2 ） 2 + （ 5 姨 -2 ） 2 +7=25. ∴ 原式 =5. １４. 6 １５. 3 2 姨 １６. 2 １7. D １8. C 19. C 20. B 21. B 7 二次根式 （第 3 课时） 1. - 3 姨 49 5 15 姨 2. 3 3 姨 -14 2 姨 3. 13-2 42 姨 = （ 7 姨 - 6 姨 ） 2 4. D 5. A 6. B 7. （ 1 ） 10 2 姨 - 2 10 姨 （ 2 ） 3 （ 3 ） 5 2 姨 （ 4 ） 15-2 3 姨 （ 5 ） 7 姨 - 6 姨 （ 6 ） 3-2 5 姨 8. 解： 三角形的面积 = 1 2 （ 3 姨 +1 ）（ 3 姨 -1 ） = 1 2 ［（ 3 姨 ） 2 -1 ］ =1 （ cm 2 ）； 直角三角形的斜边长 = （ 3 姨 +1 ） 2 + （ 3 姨 -1 ） 2 姨 =2 2 姨 （ cm ）， 三角形的周长 = （ 3 姨 +1 ） + （ 3 姨 -1 ） +2 2 姨 =2 3 姨 +2 2 姨 =2 （ 3 姨 + 2 姨 ） （ cm ） . 答： 直角三角形的面积是 1 cm 2 ， 周长是 2 （ 3 姨 + 2 姨 ） cm. 9. 解： 都成立 . 规律： 当带分数的整数部分与分数部分的分子相等， 且分母为 179