3 勾股定理的应用-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

勾 股 定 理 第一章 自主导学 典例精析 例题 我国古代有这样一个数学问题： 枯木一根直立地上， 高二丈， 周三尺， 有葛藤自根缠绕而上， 五周而达其顶， 问葛藤之长几何 . 题意是： 如图所示， 把枯木看作一个圆柱， 因一丈是十尺， 则该圆柱的高为 20 尺， 底面周长为 3 尺， 有葛藤自点 A 处而上， 绕五周后其末端恰好到达点 B 处 ． 求问题中葛藤的最短长度是多少尺 . 【分析】 这是立体图形求最短路径问题 . 观察图形特征， 葛藤恰好将枯木缠绕 5 周， 相当 于将高为 20 尺， 周长为 15 尺的圆柱绕一周， 则求葛藤的最短长度问题就转化为求圆柱的侧 面展开图 （长方形） 的对角线长的问题， 而求长方形对角线长实质就是求直角三角形的斜 边长 ． 【解答】 如图， 由题意知， 葛藤的最短长度即为 Rt△ABC 的斜边长 . 因为 BC=20 ， AC=5×3=15 ， 由勾股定理得 AB 2 =AC 2 +BC 2 ， 即 AB 2 =15 2 +20 2 =25 2 ， 所以 AB=25. 因此葛藤的最短长度是 25 尺 . 【点拨】 本题考查运用勾股定理求最短路径， 解题的关键是把立体图形展 开转化为平面图形， 进而运用勾股定理求出最短路径 ． 基础巩固 达标闯关 1. 在高 5 m 、 长 13 m 的一段台阶上铺上地毯， 台阶的剖面图如图所示， 地毯的长度至 少需要 m. 2. 如图， 一只蚂蚁从长、 宽都是 30 cm ， 高是 80 cm 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 C′ 点， 那么它所行的最短路线的长是 cm. 3. 《九章算术》 是古代东方数学代表作， 书中记载： 今有开门去阃 （读 kǔn ， 门槛的意 思） 一尺， 不合二寸， 问门广几何 . 题目大意是： 如图 （图 2 为图 1 的平面示意图）， 推开双 门， 双门间隙 CD 的距离为 2 寸， 点 C 和点 D 距离门槛 AB 都为 1 尺 （ 1 尺 ＝10 寸）， 则 AB 的长是 （ ） A． 50.5 寸 B． 52 寸 C． 101 寸 D． 104 寸 3 勾股定理的应用 A B 例题图 A B C 例题答图 第 2 题图第 1 题图 5 m 1 3 m A′ B′ C′ D′ A B C D 第 3 题图 图 1 门槛 A B CD 图 2 O A B C D 1 尺 2 寸 9 八年级上册 （北师大版）数学 4. 假期中， 小张和同学们到某海岛上去探宝旅游， 按照探宝图， 他们登陆后先往东 走 8 km ， 又往北走 2 km ， 遇到障碍后又往西走了 3 km ， 再折向北走了 6 km 后往东拐， 仅 走了 1 km 就找到了宝藏， 问登陆点 A 到宝藏埋藏点 B 的距离是多少千米 . 能力提升 综合拓展 5. 如图， 公路 MN 和小路 PQ 在点 P 处交会， 小路 PQ 上有一所学校 A 到公路 MN 的距离为 80 m. 假如拖拉机行驶时， 周围 100 m 内受噪声影响， 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向 行驶时， 学校 A 是否受噪声影响？ 如果学校 A 受到影响， 已知拖拉机速度为 18 km/h ， 那么 学校 A 受到影响的时间为多长？ * 6. 如图， 有一个长、 宽、 高分别为 2 cm ， 1 cm ， 3 cm 的长方体， 有一只蚂蚁想从点 A 爬到点 C 1 处， 请你帮助它设计爬行的最短路线并说明理由 . （提示： 比较蚂蚁爬行的各条路 线长度的平方的大小即可） 中考链接 真题演练 7. （ 2023 ·东营） 一艘船由 A 港沿北偏东 60° 方向航行 30 km 至 B 港， 然后再沿北偏西 30° 方向航行 40 km 至 C 港， 则 A ， C 两港之间的距离为 km. 8. （ 2023 ·广安） 如图， 圆柱形玻璃杯的杯高为 9 cm ， 底面周长为 16 cm ， 在杯内壁离杯底 4 cm 的点 A 处有一滴蜂蜜， 此时， 一只蚂蚁正好在杯外壁 上， 它在离杯上沿 1 cm ， 且与蜂蜜相对的点 B 处， 则蚂蚁从外壁 B 处到内壁 A 处所走的最短路程为 cm. （杯壁厚度不计） 第 4 题图 A B 1 6 3 2 8 第 5 题图 A QM P N 第 6 题图 D 1 C 1 A 1 B 1 A D C B 1 cm 2 cm 3 cm 第 8 题图 A B 10 八年级上册 （北师大版）数学 3 勾股定理的应用 1. 17 2. 100 提示： 将长方体半个侧面即面 C′D′DC 和面 A′D′DA 展成长为 80 cm 、 宽为 60 cm 的长方形， 使 A ， C′ 为长方形的不相邻的两顶点 . 3. C 4. 解： 过点 B 向下作垂线， 得到直角三角形， 则垂直于水平线的直 角边为 8 km ， 水平直角边为 8-3+1=6 （ km ）， 则 AB=10 km. 5. 解： ∵80<100 ， ∴ 受到噪声影响 . 如图， 假设当拖 拉机行驶到 C 点开始影响学校， 行驶到 D 点结束对学校的影响， 则 AC=AD=100 m. ∵BC 2 =BD 2 =100 2 -80 2 =3 600= 60 2 ， ∴BC=BD=60 m. 故 CD=120 m. 又 ∵18 km/h=5 m/s ， ∴ 拖拉机影响学校的时间为 120÷5=24 （ s ） . * 6. 解： 当蚂蚁在侧面 A 1 ABB 1 和侧面 B 1 BCC 1 或在侧面 A 1 ADD 1 和侧面 D 1 DCC 1 上爬行时， 爬行最短路线的长的平方 d 2 1 = （ 2+ 1 ） 2 +3 2 =18. 当蚂蚁在侧面 A 1 ABB 1 和侧面 A 1 B 1 C 1 D 1 或在侧面 ABCD 和侧面 DCC 1 D 1 上爬行时， 爬行最短路线的长的 平方 d 2 2 =2 2 + （ 3+1 ） 2 =20. 当蚂蚁在侧面 ABCD 和侧面 BCC 1 B 1 或在侧面 A 1 ADD 1 和侧面 A 1 B 1 C 1 D 1 上爬行时， 爬行最短 路线的长的平方 d 2 3 =1 2 + （ 3+2 ） 2 =26. 综上所述： d 2 1 <d 2 2 <d 2 3 . ∵d 1 >0 ， d 2 >0 ， d 3 >0 ， ∴d 1 最短 . 如图所示， 当蚂蚁沿 A→ M→C 1 或沿 A→N→C 1 爬行时， 爬行路线最短， 且最短路线 d 的平方等于 18. 7. 50 8. 10 第二章 实 数 1 认识无理数 （第 1 课时） 1. 不是 不是 不是 2. D 3. D 4. 解： ∵AB 2 =3 2 +4 2 =25 ， ∴AB=5 ； BC 2 =3 2 +3 2 =18 ， DC 2 =2 2 +3 2 =13 ， AD 2 =2 2 + 4 2 =20 ； AC=7 ， BD=5. ∴AB ， AC ， BD 的长度是有理数， BC ， CD ， AD 的长度不是有理数 . 1 认识无理数 （第 2 课时） 1. 2.323 232 …， - 2 7 ， 3.14 ， １22 123 -π ， 0.101 001 000 1 … （两个 1 之间依次加一个 0 ） 2. A 3. C 4. （ 1 ） 105. （ 2 ） b 2 =105 ， 不是 . （ 3 ） 10.2 ， 验证略 . 5. 图略 . 2 平方根 （第 1 课时） 1. D 2. D 3. C 4. D 5. （ 1 ） 0 （ 2 ） 4 （ 3 ） 2 （ 4 ） 3 6. （ 1 ） 0.2 （ 2 ） 0.2 （ 3 ） 4 （ 4 ） 5 7. （ 1 ） 3 4 （ 2 ） 50 （ 3 ） 0 （ 4 ） 0.5 （ 5 ） １1 13 （ 6 ） １ 6 8. 解： ∵①②③④⑤ 的斜边依次为 2 姨 ， 2 2 姨 ， 2 3 姨 ， 2 4 姨 ， 2 5 姨 ， ∴ 第 n 个等腰直角三角形的斜边长为 2 n 姨 . 9. 2 023 2 023 2 024 １0. 3 １1. 5 １2. 2 （答案不唯 一） １3. 2 １4. C 2 平方根 （第 2 课时） 1. 0 0 或 1 2. 1 3. D 4. C 5. （ 1 ） ± １ ２ （ 2 ） 7 5 或 3 5 6. m=7 ， n=3 ， m+2n=13. 7. 解： ∵-1<a< -0.5 ， 0.5<b<1 ， ∴ 原式 =-a-b- （ b-a ） =-a-b-b+a=-2b. 8. ±5 9. ±2 １0. 5 姨 １1. D 3 立 方 根 1. 0 或 ±1 2. A 3. A 4. C 5. （ 1 ） 0.6 （ 2 ） -0.2 （ 3 ） 0.5 （ 4 ） 9 ２ 6. （ 1 ） 10 （ 2 ） -2 （ 3 ） - 3 5 （ 4 ） 8 7. （ 1 ） x=3 （ 2 ） x=-1 （ 3 ） x= 2 5 8. - １1 4 ， - 35 18 . 9. ±8. 10. 2. １1. 3 １2. 2 13. A 14. B ４ 估 算 1. （ 1 ） 7.5 （ 2 ） 4.6 （ 3 ） 6 2. > < 3. -π<- 3 姨 <- 2 姨 4. 7 8 5. D 6. B 7. （ 1 ） -2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2 （ 2 ） 1 ， 2 ， 3 8. 是无理数， 约为 5.3 m. * 9. 解： （ 1 ） 设开发区占地的宽为 x m ， 则长为 3x m ， 3x 2 =12×10 7 ， 第 6 题答图 M A 1 B 1 C 1 A B C D D 1 N 1 cm 2 cm 3 cm 第 5 题答图 P Q A C M N B D 178