2 一定是直角三角形吗-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

勾 股 定 理 第一章 自主导学 典例精析 例题 下列四组数哪一组能作为直角三角形的三边长？ 请说说你的理由 . ①4 ， 5 ， 6 ②1.5 ， 2 ， 2.5 ③2 ， 3 ， 4 ④5 ， 12 ， 13 【分析】 根据勾股定理的逆定理， 只需验证每组中较小的两个数的平方和是否等于较大 数的平方即可判断 . 【解答】 ① 因为 4 2 +5 2 =41≠6 2 ， 所以不能作为直角三角形的三边长； ② 因为 1.5 2 +2 2 =6.25= 2.5 2 ， 所以可以作为直角三角形的三边长； ③ 因为 2 2 +3 2 =13≠4 2 ， 所以不能作为直角三角形的 三边长； ④ 因为 5 2 +12 2 =169=13 2 ， 所以可以作为直角三角形的三边长 ． 【点拨】 本题考查勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a 2 +b 2 =c 2 ， 那么 这个三角形就是直角三角形 ． 这个定理是借助三边长来判定直角三角形的唯一方法 . 基础巩固 达标闯关 1. 下列各组数中， 不能作为直角三角形三边长的是 （ ） A. 9 ， 12 ， 15 B. 7 ， 24 ， 25 C. 6 ， 8 ， 10 D. 3 ， 5 ， 7 2. 若 △ABC 的三边长 a ， b ， c 满足 a 2 +b 2 +c 2 -10a-24b-26c+338=0 ， 则此三角形为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 3. 已知 M ， N 是线段 AB 上的两点， AM=MN=2 ， NB=1 ， 以点 A 为圆心、 AN 长为半径画弧； 再以点 B 为圆心、 BM 长为半径画 弧， 两弧交于点 C ， 连接 AC ， BC ， 则 △ABC 一定是 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 下列结论不正确的是 （ ） A. △ABC 中， 若 ∠B=∠C-∠A ， 则 △ABC 是直角三角形 B. △ABC 中， 若 a 2 = （ b+c ）（ b-c ）， 则 △ABC 是直角三角形 C. △ABC 中， 若 ∠A ∶∠B ∶∠C=3 ∶ 4 ∶ 5 ， 则 △ABC 是直角三角形 D. △ABC 中， 若 a ∶ b ∶ c=5 ∶ 4 ∶ 3 ， 则 △ABC 是直角三角形 5. 三角形三条边的比是 3 ∶ 4 ∶ 5 ， 这个三角形三条边上的高的比是多少？ 2 一定是直角三角形吗 A B C M N 第 3 题图 7 八年级上册 （北师大版）数学 6. 如图， 在四边形 ABCD 中， AB=3 cm ， AD=4 cm ， BC=13 cm ， CD=12 cm ， 且 ∠A= 90°. 求四边形 ABCD 的面积 . 能力提升 综合拓展 7. 如图， 在正方形 ABCD 中， E 是 AD 的中点， 点 F 在 DC 上， 且 DF= 1 4 DC ， 试判断 △BEF 的形状， 并说明理由 . 8. 已知 △ABP 在正方形网格中的位置如图所示 （点 A ， B ， P 是网格线交点 ）， 求 ∠PAB+∠PBA 的度数 . （要求说明理由） 中考链接 真题演练 9. （ 2023 ·南通） 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数， 世界上第一次 给出勾股数公式的是中国古代数学著作 《九章算术》 ． 现有勾股数 a ， b ， c ， 其中 a ， b 均小 于 c ， a＝ 1 2 m 2 - 1 2 ， c= 1 2 m 2 + 1 2 ， m 是大于 1 的奇数， 则 b＝ （用含 m 的式子表示） ． 10． （ 2023 ·济宁） 如图， 在正方形方格中， 每个小正方形的边长都是 1 个单位长度， 点 A ， B ， C ， D ， E 均在小正方形方格的顶点上， 线段 AB ， CD 交于点 F ， 若 ∠CFB=α ， 则 ∠ABE 等于 （ ） A． 180°-α B． 180°-2α C． 90°+α D． 90°+2α 第 7 题图 A E D F B C A B P 第 8 题图 第 6 题图 A B D C 第 10 题图 A B C D E F 8 参考答案与提示 第一章 勾 股 定 理 1 探索勾股定理 （第 1 课时） 1. （ 1 ） 13 （ 2 ） 6 （ 3 ） 11 （ 4 ） 24 2. 100 cm 2 3. 15 cm 4. 7 5. D 6. 解： 由题意可知 ∠AOB=90° ， OA=32 m ， OB=24 m ， 由勾股定理可得 AB 2 =OA 2 +OB 2 =1 600. ∴AB=40 m. 7. 解 ： 由已知得 BD+AD=BC+AC ， BC=10 m ， AC=20 m ， 设 BD=x m ， 则 AD= （ 30-x ） m ， CD= （ 10+x ） m. 在 Rt△ACD 中， CD 2 +AC 2 =AD 2 ， 即 （ 10+x ） 2 + 20 2 = （ 30-x ） 2 ， 解得 x=5. ∴10+x=15 ， 即这棵树的高度为 15 m. 8. （ x-6.8 ） 2 +x 2 =100 9. 20 １0. C 11. 解： （ 1 ） ∵ 直角三角形较短的直角边 = 1 2 ×2a=a ， 较长的直角边 =2a+3 ， ∴ 小正方形的边长 =2a+3-a=a+3. （ 2 ） 小正方形的面 积 = （ a+3 ） 2 ， 当 a=3 时， 面积 = （ 3+3 ） 2 =36． 1 探索勾股定理 （第 2 课时） 1. 68 cm 2. 5 或 13 3. 49 4. 13 5. C 6. 解 ： 设 AE=x km ， 则 x 2 +15 2 =10 2 + （ 25-x ） 2 ， x=10 km. 7. 解： 如图， 作 AF⊥BO 于点 F ， CG⊥BO 于点 G ， 则四边形 ADBF 和四边形 BECG 为矩形 . ∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90° ， ∠AOF+∠OAF=90° ， ∴∠COG= ∠OAF. ∵∠CGO=∠AFO=90° ， AO=CO ， ∴△AOF≌△OCG （ AAS ） . ∴OG=AF=BD=4 m. 设 AO=x m ， 在 Rt△AFO 中， AF 2 +OF 2 =AO 2 ， 即 4 2 + （ x-1 ） 2 =x 2 ， 解得 x=8.5. 则 CE=GB=OB- OG=8.5-4=4.5 （ m ） . 8. 解： （ 1 ） S 1 =S 2 +S 3 . 理由如下： 设 Rt△ABC 的三边 BC ， AC ， AB 的长分别为 a ， b ， c ， 由勾股定理得 c 2 =a 2 +b 2 . 又 ∵S 1 =c 2 ， S 2 =a 2 ， S 3 =b 2 ， ∴S 1 =S 2 +S 3 . （ 2 ） S 1 =S 2 +S 3 . 理由如下： ∵S 1 = 1 4 c 2 ， S 2 = 1 4 a 2 ， S 3 = 1 4 b 2 ， ∴S 2 +S 3 = 1 4 a 2 + 1 4 b 2 = 1 4 （ a 2 +b 2 ） = 1 4 c 2 =S 1 . 9. 解： ∵Rt△AC′D′≌ Rt△CAB ， ∴∠AC′D′=∠CAB. ∵∠AC′D′+∠D′AC′=90° ， ∴∠BAC+∠D′AC′=90°. ∴∠C′AC=180°-90°=90°. ∴△C′AC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 １ ２ c 2 . 又 ∵ 四边形 BCC′D′ 是一个直角梯形， ∴ １ ２ （ a+b ） 2 =2× １ ２ ab+ １ ２ c 2 ， ∴ a 2 +b 2 =c 2 . １0. 96 １1. 12 １2. 证明： 由图可知， S 正方形 =4× 1 2 ab+ （ b-a ） 2 =2ab+b 2 -2ab+a 2 =a 2 +b 2 ， 又 ∵S 正方形 =c 2 ， ∴a 2 + b 2 =c 2 . 2 一定是直角三角形吗 1. D 2. C 3. B 4. C 5. 解： 由题意可设三条边的长分别为 3k ， 4k ， 5k ， ∵ （ 3k ） 2 + （ 4k ） 2 =25k 2 = （ 5k ） 2 ， ∴ 这 个三角形是直角三角形， 其中两个直角边的长分别为 3k 和 4k ， 斜边长为 5k. 设斜边上的高为 h ， 则 h · 5k=3k · 4k. 解得 h= 12k 5 . ∴ 三条边上的高的比为 4k ∶ 3k ∶ 12k 5 =20 ∶ 15 ∶ 12. 6. 解： 如图， 连接 BD ， 由勾股定理得 BD=5 cm ， 又 ∵BC=13 cm ， CD=12 cm ， ∴BD 2 +CD 2 =25+144=169=13 2 = BC 2 ， 由勾股定理逆定理得 △BCD 是直角三角形， ∴S 四边形 ABCD =S △ABD +S △BDC =36 cm 2 . 7. 解 ： △BEF 是直角三角形 . 理由如下 ： 设正方形的边长为 x ， 则 AE=ED= １ ２ x ， DF= １ 4 x ， FC= 3 4 x. 在 Rt△ABE 中， BE 2 =AE 2 +AB 2 =x 2 + １ ２ ２ & x 2 = 5 4 x 2 ； 在 Rt△DEF 中， EF 2 =DE 2 +DF 2 = １ ２ ２ & x 2 + １ 4 ２ & x 2 = 5 16 x 2 ； 在 Rt△BCF 中， BF 2 =BC 2 +CF 2 =x 2 + 3 4 ２ & x 2 = 25 16 x 2 ； 在 △BEF 中， BE 2 +EF 2 = 5 4 x 2 + 5 16 x 2 = 25 16 x 2 =BF 2 . ∴△BEF 为直角三角形 . 8. 解： ∠PAB+∠PBA=45°. 如图， 延长 AP 交格 点于 D ， 连接 BD ， 则 PD 2 =BD 2 =1 2 +2 2 =5 ， PB 2 =1 2 +3 2 =10. ∴PD=BD ， PD 2 +DB 2 =PB 2 . ∴∠PDB= 90°. ∴∠DPB=45°. ∴∠APB=180°-∠DPB=135°. ∴∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=180°-135°= 45°. 9. m 10. C A B P D 第 8 题答图 第 7 题答图 G E F O A B C D 参考答案与提示 第 6 题答图 A B D C 177