1 探索勾股定理(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

八年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 在长方形 ABCD 中， AB=3 ， BC=5 ， 在 CD 上取一点 E ， 连接 BE ， 将 △BCE 沿 BE 折叠， 使点 C 恰好落在 AD 边上的点 F 处， 求 CE 的长 ． 【分析】 根据题意可知， 在长方形中， AD=BC=5 ， CD=AB=3 ， ∠A= ∠D=90°. 根据折叠得出 BF=BC=5 ， EF=CE. 在 Rt△ABF 中， 利用勾股定理求出 AF 的长， 进 而求出 DF 的长 . 设 CE=x ， 在 Rt△DEF 中， 利用勾股定理列出关于 x 的方程即可求解 . 【解答】 设 CE=x ， 由四边形 ABCD 是长方形可知， AD=BC=5 ， CD=AB=3 ， ∠A=∠D=90°. 由折叠可知： BF=BC=5 ， EF=CE=x ， 则 DE=CD-CE=3-x. 在 Rt△ABF 中， 由勾股定理， 得 AF 2 =BF 2 -AB 2 =5 2 -3 2 =16 ， 所以 AF=4 ， DF=5-4=1. 在 Rt△DEF 中， 由勾股定理， 得 EF 2 =DE 2 +DF 2 ， 即 x 2 = （ 3-x ） 2 +1 2 . 解得 x= 5 3 . 所以 CE 的长为 5 3 . 【点拨】 本题考查综合运用勾股定理和折叠的性质， 解题的关键是将已知线段和所求的 线段转化到一个直角三角形中， 从而应用勾股定理建立方程模型 . 像本例这类折叠问题， 一 般可设一条线段的长为未知数， 然后借助折叠中对应线段相等及线段之间的和差关系， 用已 知线段长和未知数表示其他线段的长， 最后用勾股定理建立关于这个未知数的方程， 从而求 解 . 此外， 图形的折叠问题， 还应注意挖掘折叠中隐含的对应角相等和对称轴垂直平分对应 点之间的连线等条件， 以便为后续的解题提供帮助 . 基础巩固 达标闯关 1. 一个长方形的长为 24 cm ， 对角线长为 26 cm ， 则该长方形的周长为 . 2. 分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形 P ， Q ， K ， 若 S P ＝ 4 ， S Q ＝9 ， 则 S K ＝ . 3. 如图， 所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边长为 7 cm ， 则正方形 A ， B ， C ， D 的面积之和为 cm 2 . 4. 在一平地上， 有一棵高 8 m 的大树， 一棵高 3 m 的小树， 两树之间 相距 12 m. 一只小鸟在其中一棵树的树梢上， 要飞到另一棵树的树梢上， 则它飞行的最短距离是 m. 5. 如图是由 “赵爽弦图” 变化得到的， 它由八个全等的直角三角形拼 1 探索勾股定理 （第 2课时） E F A B C D 例题图 第 3 题图 7 cm A C D B M N P G Q H E F A B C D 第 5 题图 4 勾 股 定 理 第一章 接而成， 记图中正方形 ABCD 、 正方形 EFGH 、 正方形 MNPQ 的面积分别为 S 1 ， S 2 ， S 3 ． 若 S 1 +S 2 +S 3 =60 ， 则 S 2 的值是 （ ） A． 12 B． 15 C． 20 D． 30 6. 如图， 铁路上 A ， B 两点相距 25 km ， C ， D 为两村庄， DA⊥AB 于点 A ， CB⊥AB 于 点 B ， 已知 DA=15 km ， CB=10 km ， 现在要在铁路 AB 上建一个土特产收购站 E ， 使得 C ， D 两村到 E 站的距离相等， 那么 E 站应建在离 A 点多远处？ 7. 如图是高空秋千的示意图， 小李从起始位置点 A 处绕着点 O 经过最低点 B ， 最终荡 到最高点 C 处 . 若 ∠AOC=90° ， 点 A 与点 B 的高度差 AD=1 m ， 水平距离 BD=4 m. 求点 C 与 点 B 的高度差 CE. 能力提升 综合拓展 8. 如图 1 ， 分别以 Rt△ABC 的三条边为直径向外作三个半圆， 其面积分别用 S 1 ， S 2 ， S 3 表示， 则 S 1 =S 2 +S 3 . （ 1 ） 如图 2 ， 分别以 Rt△ABC 的三条边为边长向外作三个正方形， 其面积分别用 S 1 ， S 2 ， S 3 表示， 那么 S 1 ， S 2 ， S 3 之间有什么关系？ 请说明理由 . （ 2 ） 如图 3 ， 分别以 Rt△ABC 的三条边为边长向外作三个等腰直角三角形， 其面积分别 用 S 1 ， S 2 ， S 3 表示， 那么 S 1 ， S 2 ， S 3 之间有什么关系？ 请说明理由 . E O A B C D 第 7 题图 第 6 题图 A E B C D 第 8 题图 图 2 图 1 图 3 A B C S 1 S 2 S 3 A B C S 1 S 2 S 3 A B C S 1 S 2 S 3 5 八年级上册 （北师大版）数学 9. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下， 启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法 . 如 图， 火柴盒的一个侧面 ABCD 倒下到 AB′C′D′ 的位置， 连接 CC′ ， 设 AB=a ， BC=b ， AC=c ， 请利用四边形 BCC′D′ 的面积验证勾股定理： a 2 +b 2 =c 2 . 中考链接 真题演练 10． （ 2023 ·扬州） 我国古代数学家赵爽证明勾股 定理时创制了一幅 “勾股圆方图”， 后人称之为 “赵 爽弦图”， 它是由 4 个全等的直角三角形和一个小正 方形组成的 ． 如图， 直角三角形的直角边长为 a ， b ， 斜边长为 c ， 若 b-a=4 ， c=20 ， 则每个直角三角形的 面积为 . 11. （ 2022 ·鄂尔多斯） 如图， AB⊥BC 于点 B ， AB⊥AD 于点 A ， 点 E 是 CD 的中点， 若 BC=5 ， AD=10 ， BE= 13 2 ， 则 AB 的长是 . 12. （ 2021 ·攀枝花） 如图是 “弦图” 的示意图， “弦图” 最早是由三国时期的数学家赵 爽在为 《周髀算经》 作注时给出的， 它标志着中国古代的数学成就 . 它由 4 个全等的直角三 角形与一个小正方形组成， 恰好拼成一个大正方形， 每个直角三角形的两条直角边分别为 a ， b ， 斜边为 c. 请你运用此图形证明勾股定理： a 2 +b 2 =c 2 . 第 9 题图 D C A B C′ D′ b c a B′ 第 11 题图第 10 题图 E A B C D 勾（ a ） 弦（ c ） 股（ b ） a b c 第 12 题图 6 参考答案与提示 第一章 勾 股 定 理 1 探索勾股定理 （第 1 课时） 1. （ 1 ） 13 （ 2 ） 6 （ 3 ） 11 （ 4 ） 24 2. 100 cm 2 3. 15 cm 4. 7 5. D 6. 解： 由题意可知 ∠AOB=90° ， OA=32 m ， OB=24 m ， 由勾股定理可得 AB 2 =OA 2 +OB 2 =1 600. ∴AB=40 m. 7. 解 ： 由已知得 BD+AD=BC+AC ， BC=10 m ， AC=20 m ， 设 BD=x m ， 则 AD= （ 30-x ） m ， CD= （ 10+x ） m. 在 Rt△ACD 中， CD 2 +AC 2 =AD 2 ， 即 （ 10+x ） 2 + 20 2 = （ 30-x ） 2 ， 解得 x=5. ∴10+x=15 ， 即这棵树的高度为 15 m. 8. （ x-6.8 ） 2 +x 2 =100 9. 20 １0. C 11. 解： （ 1 ） ∵ 直角三角形较短的直角边 = 1 2 ×2a=a ， 较长的直角边 =2a+3 ， ∴ 小正方形的边长 =2a+3-a=a+3. （ 2 ） 小正方形的面 积 = （ a+3 ） 2 ， 当 a=3 时， 面积 = （ 3+3 ） 2 =36． 1 探索勾股定理 （第 2 课时） 1. 68 cm 2. 5 或 13 3. 49 4. 13 5. C 6. 解 ： 设 AE=x km ， 则 x 2 +15 2 =10 2 + （ 25-x ） 2 ， x=10 km. 7. 解： 如图， 作 AF⊥BO 于点 F ， CG⊥BO 于点 G ， 则四边形 ADBF 和四边形 BECG 为矩形 . ∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90° ， ∠AOF+∠OAF=90° ， ∴∠COG= ∠OAF. ∵∠CGO=∠AFO=90° ， AO=CO ， ∴△AOF≌△OCG （ AAS ） . ∴OG=AF=BD=4 m. 设 AO=x m ， 在 Rt△AFO 中， AF 2 +OF 2 =AO 2 ， 即 4 2 + （ x-1 ） 2 =x 2 ， 解得 x=8.5. 则 CE=GB=OB- OG=8.5-4=4.5 （ m ） . 8. 解： （ 1 ） S 1 =S 2 +S 3 . 理由如下： 设 Rt△ABC 的三边 BC ， AC ， AB 的长分别为 a ， b ， c ， 由勾股定理得 c 2 =a 2 +b 2 . 又 ∵S 1 =c 2 ， S 2 =a 2 ， S 3 =b 2 ， ∴S 1 =S 2 +S 3 . （ 2 ） S 1 =S 2 +S 3 . 理由如下： ∵S 1 = 1 4 c 2 ， S 2 = 1 4 a 2 ， S 3 = 1 4 b 2 ， ∴S 2 +S 3 = 1 4 a 2 + 1 4 b 2 = 1 4 （ a 2 +b 2 ） = 1 4 c 2 =S 1 . 9. 解： ∵Rt△AC′D′≌ Rt△CAB ， ∴∠AC′D′=∠CAB. ∵∠AC′D′+∠D′AC′=90° ， ∴∠BAC+∠D′AC′=90°. ∴∠C′AC=180°-90°=90°. ∴△C′AC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 １ ２ c 2 . 又 ∵ 四边形 BCC′D′ 是一个直角梯形， ∴ １ ２ （ a+b ） 2 =2× １ ２ ab+ １ ２ c 2 ， ∴ a 2 +b 2 =c 2 . １0. 96 １1. 12 １2. 证明： 由图可知， S 正方形 =4× 1 2 ab+ （ b-a ） 2 =2ab+b 2 -2ab+a 2 =a 2 +b 2 ， 又 ∵S 正方形 =c 2 ， ∴a 2 + b 2 =c 2 . 2 一定是直角三角形吗 1. D 2. C 3. B 4. C 5. 解： 由题意可设三条边的长分别为 3k ， 4k ， 5k ， ∵ （ 3k ） 2 + （ 4k ） 2 =25k 2 = （ 5k ） 2 ， ∴ 这 个三角形是直角三角形， 其中两个直角边的长分别为 3k 和 4k ， 斜边长为 5k. 设斜边上的高为 h ， 则 h · 5k=3k · 4k. 解得 h= 12k 5 . ∴ 三条边上的高的比为 4k ∶ 3k ∶ 12k 5 =20 ∶ 15 ∶ 12. 6. 解： 如图， 连接 BD ， 由勾股定理得 BD=5 cm ， 又 ∵BC=13 cm ， CD=12 cm ， ∴BD 2 +CD 2 =25+144=169=13 2 = BC 2 ， 由勾股定理逆定理得 △BCD 是直角三角形， ∴S 四边形 ABCD =S △ABD +S △BDC =36 cm 2 . 7. 解 ： △BEF 是直角三角形 . 理由如下 ： 设正方形的边长为 x ， 则 AE=ED= １ ２ x ， DF= １ 4 x ， FC= 3 4 x. 在 Rt△ABE 中， BE 2 =AE 2 +AB 2 =x 2 + １ ２ ２ & x 2 = 5 4 x 2 ； 在 Rt△DEF 中， EF 2 =DE 2 +DF 2 = １ ２ ２ & x 2 + １ 4 ２ & x 2 = 5 16 x 2 ； 在 Rt△BCF 中， BF 2 =BC 2 +CF 2 =x 2 + 3 4 ２ & x 2 = 25 16 x 2 ； 在 △BEF 中， BE 2 +EF 2 = 5 4 x 2 + 5 16 x 2 = 25 16 x 2 =BF 2 . ∴△BEF 为直角三角形 . 8. 解： ∠PAB+∠PBA=45°. 如图， 延长 AP 交格 点于 D ， 连接 BD ， 则 PD 2 =BD 2 =1 2 +2 2 =5 ， PB 2 =1 2 +3 2 =10. ∴PD=BD ， PD 2 +DB 2 =PB 2 . ∴∠PDB= 90°. ∴∠DPB=45°. ∴∠APB=180°-∠DPB=135°. ∴∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=180°-135°= 45°. 9. m 10. C A B P D 第 8 题答图 第 7 题答图 G E F O A B C D 参考答案与提示 第 6 题答图 A B D C 177