1 探索勾股定理(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

勾 股 定 理 第一章 自主导学 典例精析 例题 如图， 在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中， 点 A ， B 都在格点上， 求线段 AB 的长度 . 【分析】 以 AB 为斜边构造格点三角形， 利用勾股定理 求出 AB 的长度即可 ． 【解答】 如图， 在网格中取格点 C ， 连接 AC ， BC ， 则 △ABC 为直角三角形 . 因为 AB 2 =AC 2 +BC 2 ， 即 AB 2 =4 2 +3 2 =25 ， 所以 AB=5． 【点拨】 本题主要考查勾股定理， 解题的关键是在网格中构造以 AB 为斜边的直角三角形 ． 基础巩固 达标闯关 1. 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°. （ 1 ） 若 a=5 ， b=12 ， 则 c= ； （ 2 ） 若 a=8 ， c=10 ， 则 b= ； （ 3 ） 若 c=61 ， b=60 ， 则 a= ； （ 4 ） 若 a ∶ b=3 ∶ 4 ， c=10 ， 则 S △ABC = . 2. 如图， 直角三角形的两直角边长分别是 6 cm 和 8 cm ， 则阴影部分 的正方形面积是 . 3. 等腰 △ABC 中， AB=AC=17 cm ， BC=16 cm ， 则 BC 边上的高 AD= . 1 探索勾股定理 （第 1课时） 知识网络 第一章 勾 股 定 理 勾股定理 勾股定理的逆定理 勾股定理及其逆定理的应用 直 角 三 角 形 拼图法 判定直角三角形 勾股数组 验证 直接应用勾股定理 勾股定理逆定理的应用 第 2 题图 A B C A B 例题图 例题答图 1 八年级上册 （北师大版）数学 4. 如图， ∠OAB=∠OBC=∠OCD=90° ， AB=BC=CD=1 ， OA=2 ， 则 OD 2 = . 5. 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4 ， 则第三边边长的平方是 （ ） A. 25 B. 14 C. 7 D. 7 或 25 6. 如图， 在水塔 O 的东北方向 32 m 处有一抽水站 A ， 在水塔的东南方向 24 m 处有一 建筑工地 B ， 在 A ， B 间建一条直水管， 那么水管 AB 的长度是多少？ 能力提升 综合拓展 7. 在一棵树的 10 m 高 B 处有两只猴子， 一只猴子爬下树走到离树 20 m 处的池塘 A 处， 另一只猴子爬到树顶 D 后直接跃到 A 处， 距离以线段的长计算， 如果两只猴子所经过的距 离相等， 那么这棵树的高度是多少米？ 第 6 题图 东西 南 北 A B O 第 4 题图 A B C D O 第 7 题图 A C D B 2 勾 股 定 理 第一章 中考链接 真题演练 8. （ 2021 ·岳阳） 《九章算术》 是我国古代数学名著， 书中有下列问题： 今有户高多于 广六尺八寸， 两隅相去适一丈 . 问户高、 广各几何 . 其意思为： 今有一门， 高比宽多 6 尺 8 寸， 门对角线距离恰好为 1 丈 . 问门高、 宽各是多少 . （ 1 丈 ＝10 尺， 1 尺 ＝10 寸） 如图， 设门 高 AB 为 x 尺， 根据题意， 可列方程为 . 9. （ 2020 ·雅安） 对角线互相垂直的四边形称为 “垂美” 四边形， 现有如图所示的 “垂 美” 四边形 ABCD ， 对角线 AC ， BD 交于点 O. 若 AD=2 ， BC=4 ， 则 AB 2 +CD 2 = . 10. （ 2023 ·日照） 已知直角三角形的三边 a ， b ， c 满足 c＞a＞b ， 分别以 a ， b ， c 为边作三 个正方形， 把两个较小的正方形放置在最大的正方形内， 如图， 设三个正方形无重叠部分的面 积为 S 1 ， 均重叠部分的面积为 S 2 ， 则 （ ） A． S 1 ＞S 2 B． S 1 ＜S 2 C． S 1 =S 2 D． S 1 ， S 2 大小无法确定 11. （ 2022 ·金华） 如图 1 ， 将长为 2a+3 ， 宽为 2a 的矩形分割成四个全等的直角三角形， 拼成 “赵爽弦图” （如图 2 ）， 得到大小两个正方形 . （ 1 ） 用关于 a 的代数式表示图 2 中小正方形的边长 . （ 2 ） 当 a=3 时， 该小正方形的面积是多少？ x A B C D O A B C D 第 11 题图 图 1 图 2 2a 2a+3 第 9 题图第 8 题图 第 10 题图 S 2 S 1 3 参考答案与提示 第一章 勾 股 定 理 1 探索勾股定理 （第 1 课时） 1. （ 1 ） 13 （ 2 ） 6 （ 3 ） 11 （ 4 ） 24 2. 100 cm 2 3. 15 cm 4. 7 5. D 6. 解： 由题意可知 ∠AOB=90° ， OA=32 m ， OB=24 m ， 由勾股定理可得 AB 2 =OA 2 +OB 2 =1 600. ∴AB=40 m. 7. 解 ： 由已知得 BD+AD=BC+AC ， BC=10 m ， AC=20 m ， 设 BD=x m ， 则 AD= （ 30-x ） m ， CD= （ 10+x ） m. 在 Rt△ACD 中， CD 2 +AC 2 =AD 2 ， 即 （ 10+x ） 2 + 20 2 = （ 30-x ） 2 ， 解得 x=5. ∴10+x=15 ， 即这棵树的高度为 15 m. 8. （ x-6.8 ） 2 +x 2 =100 9. 20 １0. C 11. 解： （ 1 ） ∵ 直角三角形较短的直角边 = 1 2 ×2a=a ， 较长的直角边 =2a+3 ， ∴ 小正方形的边长 =2a+3-a=a+3. （ 2 ） 小正方形的面 积 = （ a+3 ） 2 ， 当 a=3 时， 面积 = （ 3+3 ） 2 =36． 1 探索勾股定理 （第 2 课时） 1. 68 cm 2. 5 或 13 3. 49 4. 13 5. C 6. 解 ： 设 AE=x km ， 则 x 2 +15 2 =10 2 + （ 25-x ） 2 ， x=10 km. 7. 解： 如图， 作 AF⊥BO 于点 F ， CG⊥BO 于点 G ， 则四边形 ADBF 和四边形 BECG 为矩形 . ∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90° ， ∠AOF+∠OAF=90° ， ∴∠COG= ∠OAF. ∵∠CGO=∠AFO=90° ， AO=CO ， ∴△AOF≌△OCG （ AAS ） . ∴OG=AF=BD=4 m. 设 AO=x m ， 在 Rt△AFO 中， AF 2 +OF 2 =AO 2 ， 即 4 2 + （ x-1 ） 2 =x 2 ， 解得 x=8.5. 则 CE=GB=OB- OG=8.5-4=4.5 （ m ） . 8. 解： （ 1 ） S 1 =S 2 +S 3 . 理由如下： 设 Rt△ABC 的三边 BC ， AC ， AB 的长分别为 a ， b ， c ， 由勾股定理得 c 2 =a 2 +b 2 . 又 ∵S 1 =c 2 ， S 2 =a 2 ， S 3 =b 2 ， ∴S 1 =S 2 +S 3 . （ 2 ） S 1 =S 2 +S 3 . 理由如下： ∵S 1 = 1 4 c 2 ， S 2 = 1 4 a 2 ， S 3 = 1 4 b 2 ， ∴S 2 +S 3 = 1 4 a 2 + 1 4 b 2 = 1 4 （ a 2 +b 2 ） = 1 4 c 2 =S 1 . 9. 解： ∵Rt△AC′D′≌ Rt△CAB ， ∴∠AC′D′=∠CAB. ∵∠AC′D′+∠D′AC′=90° ， ∴∠BAC+∠D′AC′=90°. ∴∠C′AC=180°-90°=90°. ∴△C′AC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 １ ２ c 2 . 又 ∵ 四边形 BCC′D′ 是一个直角梯形， ∴ １ ２ （ a+b ） 2 =2× １ ２ ab+ １ ２ c 2 ， ∴ a 2 +b 2 =c 2 . １0. 96 １1. 12 １2. 证明： 由图可知， S 正方形 =4× 1 2 ab+ （ b-a ） 2 =2ab+b 2 -2ab+a 2 =a 2 +b 2 ， 又 ∵S 正方形 =c 2 ， ∴a 2 + b 2 =c 2 . 2 一定是直角三角形吗 1. D 2. C 3. B 4. C 5. 解： 由题意可设三条边的长分别为 3k ， 4k ， 5k ， ∵ （ 3k ） 2 + （ 4k ） 2 =25k 2 = （ 5k ） 2 ， ∴ 这 个三角形是直角三角形， 其中两个直角边的长分别为 3k 和 4k ， 斜边长为 5k. 设斜边上的高为 h ， 则 h · 5k=3k · 4k. 解得 h= 12k 5 . ∴ 三条边上的高的比为 4k ∶ 3k ∶ 12k 5 =20 ∶ 15 ∶ 12. 6. 解： 如图， 连接 BD ， 由勾股定理得 BD=5 cm ， 又 ∵BC=13 cm ， CD=12 cm ， ∴BD 2 +CD 2 =25+144=169=13 2 = BC 2 ， 由勾股定理逆定理得 △BCD 是直角三角形， ∴S 四边形 ABCD =S △ABD +S △BDC =36 cm 2 . 7. 解 ： △BEF 是直角三角形 . 理由如下 ： 设正方形的边长为 x ， 则 AE=ED= １ ２ x ， DF= １ 4 x ， FC= 3 4 x. 在 Rt△ABE 中， BE 2 =AE 2 +AB 2 =x 2 + １ ２ ２ & x 2 = 5 4 x 2 ； 在 Rt△DEF 中， EF 2 =DE 2 +DF 2 = １ ２ ２ & x 2 + １ 4 ２ & x 2 = 5 16 x 2 ； 在 Rt△BCF 中， BF 2 =BC 2 +CF 2 =x 2 + 3 4 ２ & x 2 = 25 16 x 2 ； 在 △BEF 中， BE 2 +EF 2 = 5 4 x 2 + 5 16 x 2 = 25 16 x 2 =BF 2 . ∴△BEF 为直角三角形 . 8. 解： ∠PAB+∠PBA=45°. 如图， 延长 AP 交格 点于 D ， 连接 BD ， 则 PD 2 =BD 2 =1 2 +2 2 =5 ， PB 2 =1 2 +3 2 =10. ∴PD=BD ， PD 2 +DB 2 =PB 2 . ∴∠PDB= 90°. ∴∠DPB=45°. ∴∠APB=180°-∠DPB=135°. ∴∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=180°-135°= 45°. 9. m 10. C A B P D 第 8 题答图 第 7 题答图 G E F O A B C D 参考答案与提示 第 6 题答图 A B D C 177