第06讲 课题学习：最短路径问题（3个知识点+2类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（人教版）

第05讲 课题学习：最短路径问题 课程标准 学习目标 ①最短路径的基本原理 ②利用轴对称只是解决最短路径问题 ③利用平移解决造桥选址问题 1. 掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短与点到直线的距离最短。 2. 掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。 知识点01 最短路径的基本原理 1. 最短路径的基本原理： ①两点之间，线段 。如图， 号线最短 ②点到直线的距离 。如图， 最短。 ②图 ③图 ③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 。如图，MN是垂直平分线，CA= 。 知识点02 利用轴对称解决最短路径问题 1. 两点一线型（两点在直线的异侧）： 问题：如图1，直线两侧有点A与点B，在直线l上找一点p，使PA＋PB最小。 作法：如图2，连接AB，AB与直线l的交点即为点P。 结论：PA＋PB最小 原理：两点之间，线段最短。 图1 图2 2. 两点一线型（两点在直线的同侧）： 问题：如图1，直线两同侧有点P与点Q，在直线l上找一点M，使MP＋MQ最小。 作法：如图2，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。即作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于即为点M。 结论：MP＋MQ最小。 原理证明：∵P与P’关于直线l对称 ∴直线l是PP’的 ∴MP MP’ ∴MP＋MQ＝ ＋MQ＝ 。 ∴MP＋MQ此时有最小值，为 的长度 图1 图2 【即学即练1】 1．如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，且AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，BE+EF的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3. 一点两线型： 问题：如图1，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小。 作法：如图2，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点。 结论：△PAB的周长最小。 原理证明：证明：∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称 ∴OM是PP’的 ，ON是PP’’的 。 ∴AP AP’，BP BP’’ ∴＝ ＋AB＋ ＝ ∴△PAB的周长最小。 图1 图2 【即学即练1】 3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 4．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为 　． 4. 两点两线型： 问题：如图1，已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小。 作法：如图2，分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。即作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。 结论：四边形PQMN的周长最小。 原理证明：∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称 ∴OA是QD的 ，OB是PC的 。 ∴MD MQ，NP NC。 ＝PQ＋ ＋MN＋ ＝PQ＋ 。 ∴四边形PQMN的周长最小。 图1 图2 【即学即练1】 5．已知：∠AOB，点M和点N，试在OA、OB上分别找点P、Q，使四边形MNQP的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹） 【即学即练2】 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（　　） A．45° B．90° C．75° D．135° 知识点03 利用平移解决造桥选址问题 1. 造桥选址问题： 问题：如图1，平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村庄Q的路程最短。 作法：如图2，在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点。 图1 图2 【即学即练1】 7．如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 题型01 最短路径作图 【典例1】小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB的值最小． 【变式3】如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　） 方案一： ①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置． 方案二： ①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 【变式4】在OA、OB分别有两个动点M、N，网格内有一固定点P，要使得△PMN周长最小，请在图中规范地做出M、N两点的位置，并说明理由． 【变式5】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹） 【变式6】如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，要求指出最短路径． 同学甲：牧马人从A地出发，把马牵到草地与河边的交汇处N点，牧马又饮马，然后回到B处． 同学乙：作A点关于直线MN对称的A′点，再作B点关于直线l对称的B′点，连接A′B′交直线MN于Q点，交直线l于P点，则路径A→Q→P→B为最短路径． 你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由． 题型02 最短路径的计算 【典例1】如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线且AD＝12，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为　 　． 【典例1】 【变式1】 【变式2】 【变式1】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M，N分别是BC，AB边上的动点，∠B＝58°，当△DMN的周长最小时，∠MDN的度数是（　　） A．122° B．64° C．62° D．58° 【变式3】如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是　 　． 【变式3】 【变式4】 【变式5】 【变式4】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值是　 　． 【变式5】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式6】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是8cm，则∠AOB的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式7】如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为 　 　． 【变式8】已知点P在∠MON内． （1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． ①若∠MON＝50°，则∠GOH＝　 　； ②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10； （2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 2．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（　　） A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M、N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD、PC，若∠A＝40°，则当△PCD周长最小时，∠CPD＝（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 6．如图，已知∠AOB＝α，C是∠AOB内部的一点，且OC＝3，点D、E分别是OA、OB上的动点，若△CDE周长的最小值等于3，则α＝（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 7．如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．100° B．90° C．70° D．80° 8．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是（　　） A．6 B．7 C．10 D．12 9．如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 10．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（　　） A．7 B．8 C．10 D．12 11．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD平分∠BAC，N是AC上一动点（不与A，C重合），M是AD上一动点（不与A，D重合），则CM+MN的最小值为 　 　． 12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积为24．点E在边AC上，点F在边AB上，且EF垂直平分AC，点D是边BC的中点，点M在线段EF上移动，连接CM，DM，则△CDM的周长的最小值为 　 　． 13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，此时∠MAN＝80°，则∠BAD的度数为 　 　． 14．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是 　 　． 15．已知：如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β．当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α＝　 　． 16．如图，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB＝30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO＝10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q，R分别是OA，OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值． 17．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） （1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1； （2）在DE上画出点P，使PB+PC最小； （3）在DE上画出点Q，使QA＝QC． 18．已知点P在∠MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． （1）若∠MON＝50°，求∠GOH的度数； （2）如图2，若OP＝6，当△PAB的周长最小值为6时，求∠MON的度数． 19．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合）．AD＝AE．∠DAE＝60°，连接CE． （1）求证：CE平分∠ACF； （2）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． （1）若∠ABC＝65°，求∠NMA的度数． （2）连接MB，若AC＝12cm，BC＝8cm． ①求△MBC的周长； ②在直线MN上是否有在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 课题学习：最短路径问题 课程标准 学习目标 ①最短路径的基本原理 ②利用轴对称只是解决最短路径问题 ③利用平移解决造桥选址问题 1. 掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短与点到直线的距离最短。 2. 掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。 知识点01 最短路径的基本原理 1. 最短路径的基本原理： ①两点之间，线段 最短 。如图， ② 号线最短 ②点到直线的距离 最短 。如图， PC 最短。 ③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。如图，MN是垂直平分线，CA= CB 。 知识点02 利用轴对称解决最短路径问题 1. 两点一线型（两点在直线的异侧）： 问题：如图1，直线两侧有点A与点B，在直线l上找一点p，使PA＋PB最小。 作法：如图2，连接AB，AB与直线l的交点即为点P。 结论：PA＋PB最小 原理：两点之间，线段最短。 图1 图2 2. 两点一线型（两点在直线的同侧）： 问题：如图1，直线两同侧有点P与点Q，在直线l上找一点M，使MP＋MQ最小。 作法：如图2，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。即作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于即为点M。 结论：MP＋MQ最小。 原理证明：∵P与P’关于直线l对称 ∴直线l是PP’的 垂直平分线 ∴MP ＝ MP’ ∴MP＋MQ＝ MP’ ＋MQ＝ P’ Q 。 ∴MP＋MQ此时有最小值，为 P’ Q 的长度 图1 图2 【即学即练1】 1．如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称得出最短路径即可． 【解答】解：使牧马人所走路径最短的是， 故选：D． 【即学即练2】 2．如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，且AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，BE+EF的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．连接CE，由题意可得BE＝EC，将FE+EB转化为FE+CE，当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小，此时CF的长度为BE+EF的最小值． 【解答】解：如图：连接CE， ∵△ABC是等边三角形，AD是中线， ∴AD垂直平分BC， ∴BE＝EC， ∴BE+EF＝EC+EF， ∴当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小． 此时：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CF⊥AB， ∴AD＝CF＝6， 即BE+EF的最小值是6， 故选：B． 3. 一点两线型： 问题：如图1，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小。 作法：如图2，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点。 结论：△PAB的周长最小。 原理证明：证明：∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称 ∴OM是PP’的 垂直平分线 ，ON是PP’’的 垂直平分线 。 ∴AP ＝ AP’，BP ＝ BP’’ ∴＝ AP’ ＋AB＋ BP’’ ＝ P’ P’’ ∴△PAB的周长最小。 图1 图2 【即学即练1】 3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称的性质即可得到结论． 【解答】解：分别作点P关于∠O的两边的对称点P1，P2，连接P1P2交∠O的两边于A，B，连接PA，PB，此时△PAB的周长最小． 故选：D． 【即学即练2】 4．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为 　8　． 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解． 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，连接OP， 则OP1＝OP＝OP2，∠P1OA＝∠POA，∠POB＝∠P2OB， MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2 ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°， ∴△OP1P2是等边三角形． △PMN的周长＝P1P2， ∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝8． 故答案为：8． 4. 两点两线型： 问题：如图1，已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小。 作法：如图2，分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。即作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。 结论：四边形PQMN的周长最小。 原理证明：∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称 ∴OA是QD的 垂直平分线 ，OB是PC的 垂直平分线 。 ∴MD ＝ MQ，NP ＝ NC。 ＝PQ＋ MD ＋MN＋ NC ＝PQ＋ DC 。 ∴四边形PQMN的周长最小。 图1 图2 【即学即练1】 5．已知：∠AOB，点M和点N，试在OA、OB上分别找点P、Q，使四边形MNQP的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹） 【分析】分别作M点和N点关于OA和OB的对称点M′、N′，连接M′N′交OA于P，交OB于Q，则四边形MNQP满足条件． 【解答】解：如图，四边形MNQP为所作． 【即学即练2】 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（　　） A．45° B．90° C．75° D．135° 【分析】作点D关于BC的对称点D'，作点E关于AC的对称点E'，连接D'E'分别交AC，BC于点M'，N'，连接ME'，ND'，EM'，DN'，推出四边形DEMN的周长最小时，点M与M'重合，点N与点N'重合，再求出∠DN'M+∠EM'N即可解决问题． 【解答】解：作点D关于BC的对称点D'，作点E关于AC的对称点E'，连接D'E'分别交AC，BC于点M'，N'，连接ME'，ND'，EM'，DN'， 则ME＝ME'，ND＝ND'， ∴四边形DEMN的周长＝DE+ME+MN+ND＝DE+ME'+MN+ND'≥DE+D'E'， ∵DE长固定， ∴点M与M'重合，点N与点N'重合时，四边形DEMN的周长最小，此时∠DNM+∠EMN＝∠DN'M+∠EM'N， 由对称性和三角形外角性质可知：∠DN'M＝∠N'DD'+∠N'D'D＝2∠N'D'D，∠EM'N＝∠M'EE'+∠M'E'E＝2∠M'E'E， ∴∠DN'M+∠EM'N＝2∠N'D'D+2∠M'E'E＝2（180°﹣∠D'DE'）， 设DD'与BC交于点H， ∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠BDH＝45°， ∴∠D'DE'＝180°﹣45°＝135°， ∴∠DN'M+∠EM'N＝2（180°﹣135°）＝90°， 即当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是90°， 故选：B． 知识点03 利用平移解决造桥选址问题 1. 造桥选址问题： 问题：如图1，平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村庄Q的路程最短。 作法：如图2，在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点。 图1 图2 【即学即练1】 7．如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 【分析】根据两点间直线距离最短，使FEPP′为平行四边形即可，即PP′垂直河岸且等于河宽，接连P′Q即可． 【解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽， 连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E， 则EF∥PP′且EF＝PP′， 于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE， 根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短． 故C选项符合题意， 故选：C． , 题型01 最短路径作图 【典例1】小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　） A． B． C． D． 【分析】本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边关系解题即可． 【解答】解：如图：作点A关于街道的对称点A′，连接A′B交街道所在直线于点C， ∴A′C＝AC， ∴AC+BC＝A′B， 在街道上任取除点C以外的一点C′，连接A′C′，BC′，AC′， ∴AC′+BC′＝A′C′+BC′， 在△A′C′B中，两边之和大于第三边， ∴A′C′+BC′＞A′B， ∴AC′+BC′＞AC+BC， ∴点C到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 【变式1】如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论． 【解答】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短． 则选项A 符合要求， 故选：A． 【变式2】已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB的值最小． 【分析】过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′即可． 【解答】作法： 作A点关于直线l的对称点A′， 连接A′B交l于点P， 则P点为所求． 【变式3】如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　） 方案一： ①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置． 方案二： ①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 【分析】因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可，可利用平移解决问题． 【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可． ∵AA'垂直于河岸l2，AA′＝d， 连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线l1， 由平移的性质，知MN∥AA′，且MN＝AA′＝d，MA′＝NA， 根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短． 故方案一符合题意， 故选：A． 【变式4】在OA、OB分别有两个动点M、N，网格内有一固定点P，要使得△PMN周长最小，请在图中规范地做出M、N两点的位置，并说明理由． 【分析】作出点P关于直线OA的对称点Q，点P关于直线OB的对称点R，连接QR分别交OA、OB于点M，点N，由轴对称及线段的垂直平分线的性质可求得PM+PN+MN＝QM+RN+MN＝QR，因为两点之间线段最短，所以此时PM+PN+MN的值最小，则点M、点N就是所求的图形． 【解答】解：取格点Q，格点R，连接QR分别交OA、OB于点M，点N， 点M、点N就是所求的图形. 理由：连接PQ、PR， ∵点Q与点P关于直线OA对称， ∴OA垂直平分PQ， ∴PM＝QM， ∵点R与点P关于直线OB对称， ∴OB垂直平分PR， ∴PN＝RN， ∴PM+PN+MN＝QM+RN+MN＝QR， ∵Q、M、N、R四点在同一条直线上， ∴QM+RN+MN＝QR的值最小， ∴PM+PN+MN的值最小， ∴△PMN周长最小． 【变式5】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹） 【分析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置． 【解答】解：作出线段AB的垂直平分线，与∠COD的平分线交于P点，则P点为所求． 【变式6】如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，要求指出最短路径． 同学甲：牧马人从A地出发，把马牵到草地与河边的交汇处N点，牧马又饮马，然后回到B处． 同学乙：作A点关于直线MN对称的A′点，再作B点关于直线l对称的B′点，连接A′B′交直线MN于Q点，交直线l于P点，则路径A→Q→P→B为最短路径． 你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由． 【分析】作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地于点Q，交河边于点P，连接AQ，BP，即可得到结论 【解答】解：同学乙指出的最短路径正确． 理由：如图，在直线MN上任意选一点Q1，在直线l上任意选一点P1，连接AQ1，A′Q1，BP1，B′P1． 由轴对称性质，易得AQ1＝A′Q1，BP1＝B′P1． ∵A′Q1+P1Q1+B′P1＞A′B′＝A′Q+QP+PB′， ∴AQ1+P1Q1+BP1＞A′B′， 当A′，Q1，P1，B′共线时， ∴A′Q1+P1Q1+B′P1＝A′B′＝A′Q+QP+PB′ ∵AQ+PQ+BP＝A′Q+QP+PB′ ∴AQ+PQ+BP是最短路径． 题型02 最短路径的计算 【典例1】如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线且AD＝12，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为　　． 【分析】作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性求出CF+EF＝CM，根据垂线段最短得出CF+EF≥，即可得出答案． 【解答】解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N， ∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线， ∴BD＝DC＝5，AD⊥BC，AD平分∠BAC， ∴M在AB上， 在Rt△ABD中，AD＝12， ∴S△ABC＝×BC×AD＝×AB×CN， ∴CN＝＝＝， ∵E关于AD的对称点M， ∴EF＝FM， ∴CF+EF＝CF+FM＝CM， 根据垂线段最短得出：CM≥CN， 即CF+EF≥， 即CF+EF的最小值是， 故答案为：． 【变式1】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM＝DM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，得出∠AOB＝∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD＝60°，即可得出结果． 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD， 分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C， ∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB， ∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD， ∵△PMN周长的最小值是6cm， ∴PM+PN+MN＝6， ∴DM+CN+MN＝6， 即CD＝6＝OP， ∴OC＝OD＝CD， 即△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠AOB＝30°， 故选：B． 【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M，N分别是BC，AB边上的动点，∠B＝58°，当△DMN的周长最小时，∠MDN的度数是（　　） A．122° B．64° C．62° D．58° 【分析】延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC于M，此时，△DMN的周长最小，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，设∠MDN＝α，根据三角形的内角和列方程即可得到结论． 【解答】解：延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC于M， 此时，△DMN的周长最小， ∵∠A＝∠C＝90°， ∴DM＝FM，DN＝EN， ∴∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM， ∵∠B＝58°， ∴∠ADC＝122°， 设∠MDN＝α， ∴∠ADN+∠CDM＝122°﹣α， ∴∠DNM+∠DMN＝2（122°﹣α）， ∴a+2（122°﹣α）＝180°， 解得：α＝64°， 故选：B． 【变式3】如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是　60°　． 【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题； 【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴PC＝PB， ∴PE+PC＝PB+PE＝BE， 即BE就是PE+PC的最小值， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BCE＝60°， ∵BA＝BC，AE＝EC， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠EBC＝30°， ∵PB＝PC， ∴∠PCB＝∠PBC＝30°， ∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°， 故答案为60°． 【变式4】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值是　8　． 【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6， ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为BM+MD的最小值， ∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8． 故答案为：8． 【变式5】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：连接AD，AM． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×8×AD＝20，解得AD＝5， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴MA＝MC， ∵AD≤AM+MD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝5+×8＝5+4＝9． 故选：B． 【变式6】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是8cm，则∠AOB的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM＝DM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN＝CN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，得出∠AOB＝∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD＝60°，即可得出结果． 【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D， ∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB， ∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD， ∵△PMN周长的最小值是8cm， ∴PM+PN+MN＝8， ∴DM+CN+MN＝8，即CD＝8＝OP， ∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠AOB＝30°， 故选：A． 【变式7】如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为 　10　． 【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BF＝14，求得EG＝8，于是得到结论． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠B＝60°， 作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P， 则此时，EP+PF的值最小， ∵∠B＝60°，∠BFG＝90°， ∴∠G＝30°， ∵BF＝7， ∴BG＝2BF＝14， ∴EG＝8， ∵CE＝CG＝4， ∴AC＝BC＝10， 故答案为：10． 【变式8】已知点P在∠MON内． （1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． ①若∠MON＝50°，则∠GOH＝　100°　； ②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10； （2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 【分析】（1）依据轴对称可得OG＝OP，OM⊥GP，即可得到OM平分∠POG，ON平分∠POH，进而得出∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°；②当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，此时点G，O，H在同一直线上，可得GH＝GO+HO＝10； （2）设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP＝P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数． 【解答】解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H， ∴OG＝OP，OM⊥GP， ∴OM平分∠POG， 同理可得ON平分∠POH， ∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°， 故答案为：100°； ②∵PO＝5， ∴GO＝HO＝5， 当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°， ∴点G，O，H在同一直线上， ∴GH＝GO+HO＝10； （2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B， 连接PA、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长． 由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB， ∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°， ∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°， ∴∠OPA＝∠OP'A＝30°， 同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°， ∴∠APB＝30°+30°＝60°． 1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【分析】首先求得点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，即可求得答案． 【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短， ∵M′N与直线l交于点C， ∴点P应选C点． 故选：C． 2．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【分析】解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．连接CE，由题意可得BE＝EC，将FE+EB转化为FE+CE，当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小，此时CF的长度为FE+EB的最小值． 【解答】解：如图：连接CE， ∵△ABC是等边三角形，AD是中线， ∴AD垂直平分BC， ∴BE＝EC， ∴BE+EF＝EC+EF， ∴当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小． 此时：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CF⊥AB， ∴AD＝CF＝6， 即EB+EF的最小值是6， 故选：A． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（　　） A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【分析】作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D．则AD＝A'D，所以AD+DE＝A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E． 【解答】解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D. 则AD＝A'D， ∴AD+DE＝A'D+DE≥A'E． 即AD+DE的最小值为A'E． ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10，AA'＝12， ∵S△AA'B＝， ∴A'E＝＝＝9.6， 即AD+DE的最小值为9.6． 故选：B． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值． 【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q， ∵AD是∠BAC的平分线． ∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8， ∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC， ∴CM＝＝， 即PC+PQ的最小值为． 故选：B． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M、N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD、PC，若∠A＝40°，则当△PCD周长最小时，∠CPD＝（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【分析】连接AP．根据MN垂直平分AC，推出PA＝PC，∠PAC＝∠PCA，所以PC+PD＝PA+PD，当A、P、D在同一直线上时，PA+PD最小，最小值为AD．据此解答即可． 【解答】解：如图，连接AP． ∵MN垂直平分AC， ∴PA＝PC，∠PAC＝∠PCA， ∴PC+PD＝PA+PD， 当A、P、D在同一直线上时，PA+PD最小，最小值为AD． ∴△PCD周长最小值＝PC+PD+CD＝AD+CD． ∵AB＝AC，点D是边BC的中点， ∴∠BAC＝2∠CAD， ∵∠CPD＝∠PAC+∠PCA＝2∠CAD， ∴∠CPD＝∠BAD＝40°． 故选：D． 6．如图，已知∠AOB＝α，C是∠AOB内部的一点，且OC＝3，点D、E分别是OA、OB上的动点，若△CDE周长的最小值等于3，则α＝（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 【分析】设点C关于OA的对称点为P，关于OB的对称点为F，当点E、F在射线PD上时，△CDE的周长为CD+CE+DE＝PF，此时周长最小，根据OC＝3可求出α的度数． 【解答】解：如图，作点C关于OA的对称点P，关于OB的对称点F，连接PF，交OA于D，OB于E．此时，△CDE的周长最小． 连接OP，OF，CD，EF． ∵点C与点P关于OA对称， ∴OA垂直平分PC， ∴∠POA＝∠AOC，PD＝CD，OC＝OP， 同理，可得∠FOB＝∠BOC，EF＝CE，OF＝OC． ∴∠POF＝2α． 又∵△CDE的周长＝CD+DE+EC＝PD+EF+ED＝PD＝3， ∴OP＝OC＝OF＝3， ∴△POF是等边三角形， ∴2α＝60°， ∴α＝30°． 故选：D． 7．如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．100° B．90° C．70° D．80° 【分析】要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝40°，即可得出答案． 【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值． ∵∠C＝40°， ∴∠DAB＝140°， ∴∠AA′E+∠A″＝40°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″， ∴∠EAA′+∠A″AF＝40°， ∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°， 故选：A． 8．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是（　　） A．6 B．7 C．10 D．12 【分析】如图，连接PC．利用三角形的面积公式求出CD，由EF垂直平分AB，推出PB＝PC，推出PB+PD＝PC+PD，由PC+PD≥AD，推出PC+PD≥4，推出PC+PD的最小值为4，由此即可解决问题． 【解答】解：如图，连接CP， ∵AC＝BC，CD⊥AB， ∴BD＝AD＝3， ∵S△ABC＝•AB•CD＝12， ∴CD＝4， ∵EF垂直平分BC， ∴PB＝PC， ∴PB+PD＝PC+PD， ∵PC+PD≥CD， ∴PC+PD≥4， ∴PC+PD的最小值为4， ∴△PBD的最小值为4+3＝7， 故选：B． 9．如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【分析】根据等边三角形 到现在得到AB＝BC，∠C＝60°，作点N关于直线BD的对称点G，过G作GM⊥AC于M，交BD于P，则此时，MP+PN的值最小，根据三角形的内角和定理得到∠G＝30°，根据直角三角形的性质得到CG＝2CM＝14，于是得到结论． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠C＝60°， 作点N关于直线BD的对称点G，过G作GM⊥AC于M，交BD于P， 则此时，MP+PN的值最小， ∵∠C＝60°，∠CNG＝90°， ∴∠G＝30°， ∵CM＝7， ∴CG＝2CM＝14， ∴NG＝8， ∴BN＝GG＝4， ∴AC＝BC＝10， 故选：C． 10．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（　　） A．7 B．8 C．10 D．12 【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′， 【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC， ∵D为AC中点，AQ＝4，QD＝3， ∴AD＝DC＝AQ+QD＝7， 作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′， ∵AQ＝4cm，AD＝DC＝7， ∴QD＝DQ′＝3， ∴CQ′＝BP＝4， ∴AP＝AQ′＝10， ∵∠A＝60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′＝PA＝10， ∴PE+QE的最小值为10． 故选：C． 11．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD平分∠BAC，N是AC上一动点（不与A，C重合），M是AD上一动点（不与A，D重合），则CM+MN的最小值为 　　． 【分析】作CG⊥AB于点G，由×5CG＝×4×3＝S△ABC，求得CG＝，作NE⊥AD于点F，交AE于点E，连接CE交AD于点I，连接ME、IN，可证明点E与点N关于直线AD对称，则MN＝ME，IN＝IE，可知当点M与点I重合时，CM+MN＝CE，则当CE的值最小时，CM+MN的值最小，即可求得当点E与点G重合时，CE取得最小值，则CM+MN的最小值为． 【解答】解：作CG⊥AB于点G， ∵∠C＝90°， ∴AB•CG＝AC•BC＝S△ABC， ∵AC＝4，BC＝3，AB＝5， ∴×5CG＝×4×3， ∴CG＝， 作NE⊥AD于点F，交AE于点E，连接CE交AD于点I，连接ME、IN， ∴∠AFN＝∠AFE＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAN＝∠FAE， 在△FAN和△FAE中， ， ∴△FAN≌△FAE（ASA）， ∴FN＝FE， ∴点E与点N关于直线AD对称， ∴MN＝ME，IN＝IE， ∴CM+MN＝CM+ME， ∵当点M与点I重合时，CM+MN＝CM+ME＝CI+IN＝CI+IE＝CE， ∴当CE的值最小时，则CM+MN的值最小， ∴当点E与点G重合时，则CE＝CG＝，此时CE取得最小值， ∴CM+MN的最小值为， 故答案为：． 12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积为24．点E在边AC上，点F在边AB上，且EF垂直平分AC，点D是边BC的中点，点M在线段EF上移动，连接CM，DM，则△CDM的周长的最小值为 　10　． 【分析】连接AD，由AB＝AC，点D是BC边的中点可得 AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再判断出点M在AD上时，AM+CM最小，由此即可得出结论． 【解答】解：连接AD，AM， ∵AB＝AC，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴， 解得AD＝6， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴AM＝CM， 当点M在AD上时，CM+MD最小，最小值为AD， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD ＝ ＝ ＝10． 故答案为：10． 13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，此时∠MAN＝80°，则∠BAD的度数为 　130°　． 【分析】作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，此时△AMN的周长有最小值，由对称性求出∠BAM+∠FAN＝50°，则有∠BAD＝130°． 【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴AN＝NF，AM＝EM， ∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值， ∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM， ∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD＝180°﹣（∠EAM+∠MAN+∠NAD）＝180°﹣（∠E+∠F）﹣80°， ∴∠E+∠F＝50°， ∴∠BAM+∠FAN＝50°， ∴∠BAD＝80°+50°＝130°， 故答案为：130°． 14．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是 　110°　． 【分析】延长AB到点G，延长AD到点H，使GB＝AB，HD＝AD，连接AE、AF，则AM＝GM，AN＝HN，连接GH交BC于点E，交DC于点H，连接AE、AF，则AE＝GE，AF＝HF，由GM+MN+HN≥GH，得AM+MN+AN≥GE+EF+HF，可知当点M与点E重合并且点N与点F重合时，△AMN周长最小，可求得∠AMN+∠ANM＝∠AEF+∠AFE＝110°，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长AB到点G，延长AD到点H，使GB＝AB，HD＝AD，连接AE、AF， ∵BC垂直平分AG，DC垂直平分AH， ∴点A与点G关于直线BC对称，点A与点H关于直线DC对称， ∴AM＝GM，AN＝HN， ∴AM+MN+AN＝GM+MN+HN， 连接GH交BC于点E，交DC于点H，连接AE、AF， ∵AE＝GE，AF＝HF， ∴AE+EF+AF＝GE+EF+HF＝GH， ∵GM+MN+HN≥GH， ∴AM+MN+AN≥GE+EF+HF， ∴当点M与点E重合并且点N与点F重合时，△AMN周长最小， ∵∠EGA＝∠EAG，∠FHA＝∠FAH， ∴∠AEF＝∠EGA+∠EAG＝2EGA，∠AFE＝∠FHA+∠FAH＝2∠FHA， ∴∠AEF+∠AFE＝2（∠EGA+∠FHA）， ∵∠EGA+∠FHA＝180°﹣∠BAD＝180°﹣125°＝55°， ∴∠AEF+∠AFE＝2×55°＝110°， ∴∠AMN+∠ANM＝∠AEF+∠AFE＝110°， 故答案为：110°． 15．已知：如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β．当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α＝　60°　． 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ＝，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN＝ ， ∴∠QPN＝＝＝（180°﹣α） ∵∠QPN＝∠AOB+∠OQP ＝∠AOB+∠AQN' ＝∠AOB+ ＝30°+（180°﹣β）， ∴（180°﹣α）＝30°+（180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β）， ∴180°﹣α＝240°﹣β， ∴β﹣α＝240°﹣180°， ∴β﹣α＝60°， 故答案为60°． 16．如图，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB＝30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO＝10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q，R分别是OA，OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值． 【分析】分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MN，MN交OA，OB于点Q，R，连接PR，PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN，利用轴对称的性质解答即可． 【解答】解：如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MN，MN交OA，OB于点Q，R，连接PR，PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN． 由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB， ∴∠MON＝2∠AOB＝2×30°＝60°， 则△MON为等边三角形， 即NM＝ON＝OP＝10cm． 即△PQR周长的最小值等于10cm． 17．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） （1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1； （2）在DE上画出点P，使PB+PC最小； （3）在DE上画出点Q，使QA＝QC． 【分析】（1）根据轴对称的性质画出△A1B1C1即可； （2）连接B1C与DE交于点P，则点P即为所求点； （3）作AC的中垂线与DE交于点Q，则点Q即为所求点． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）连接B1C，B1C与DE的交点即为点P； （3）作AC的中垂线，与DE的交点即为所求点Q． 18．已知点P在∠MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． （1）若∠MON＝50°，求∠GOH的度数； （2）如图2，若OP＝6，当△PAB的周长最小值为6时，求∠MON的度数． 【分析】（1）根据轴对称的性质可得对称轴两边的对应角相等，那么∠GOM＝∠POM，∠HON＝∠PON，那么∠GOH＝2∠MON； （2）作点P关于OM、ON的对称点P′和P″，连接P′P″、OP′、OP″、OP．那么△PAB的周长最小值即为P′P″的长，易得△OP′P″为等边三角形，那么∠P′OP″＝60°，所以∠MON＝30°． 【解答】解：（1）∵点P关于射线OM的对称点是G， ∴∠GOM＝∠POM． ∵点P关于射线ON的对称点是H， ∴∠HON＝∠PON． ∵∠MON＝∠MOP+∠NOP＝50°， ∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠NOP+∠HON＝2∠MON＝100°； （2）作点P关于OM、ON的对称点P′和P″，连接P′P″、OP′、OP″、OP. ∴PA＝P′A，PB＝P″B，OP′＝OP，OP″＝OP，∠P′OM＝∠POM，∠PON＝∠P″ON． ∵△PAB的周长最小值为6，OP＝6， ∴P′P″＝OP′＝OP″＝6． ∴△OP′P″为等边三角形． ∴∠P′OP″＝60°． ∵∠P′OP″＝∠P′OM+∠POM+∠PON+∠P″ON＝2∠MON， ∴∠MON＝30°． 19．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合）．AD＝AE．∠DAE＝60°，连接CE． （1）求证：CE平分∠ACF； （2）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长． 【分析】（1）由于AB＝AC，AD＝AE，所以只需证∠BAD＝∠CAE即可得结论； （2）根据全等三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝2，将四边形ADCE的周长用AD表示，AD最小时就是四边形ADCE的周长最小，根据垂线段最短原理，当AD⊥BC时，AD最小，此时BD就是BC的一半． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵∠DAE＝60°， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD＝∠ACB＝60°， ∴∠ACE＝60°，∠ACF＝120°， ∴CE平分∠ACF； （2）解：∵△ABD≌△ACE， ∴CE＝BD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝2， ∴四边形ADCE的周长＝CE+DC+AD+AE＝BD+DC+2AD＝2+2AD， 根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值， ∵AB＝AC， ∴BD＝BC＝×2＝1． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． （1）若∠ABC＝65°，求∠NMA的度数． （2）连接MB，若AC＝12cm，BC＝8cm． ①求△MBC的周长； ②在直线MN上是否有在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （2）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案； ②根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB+PC与AC的关系． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝ACB＝65°， ∴∠A＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∵MN⊥AB， ∴∠ANM＝90°， ∴∠AMN＝180°﹣∠A﹣∠ANM＝40°； （2）如图：连接BM， ①∵MN垂直平分AB． ∴MB＝MA， ∴△MBC＝MB+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC＝20（cm）； ②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是12cm． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$