11.1 与三角有关的线段（11大题型）-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

11.1 与三角有关的线段 【考点归纳】 · 考点一：三角形的认识与分类 · 考点二：构成三角形的条件 · 考点三：三角形的个数问题 · 考点四：三角形三边关系的应用 · 考点五：画三角形的高 · 考点六：与三角形高有关的计算问题 · 考点七：根据三角形的中线求长度或者面积问题 · 考点八：重心的概念和性质 · 考点九：三角形的角平分线 · 考点十：三角形的稳定性问题 · 考点十一：三角形线段的综合 【知识梳理】 知识点一、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 知识点二、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 知识点三、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 知识点四、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。 知识点五、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 知识点六、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。 【题型归纳】 题型一：三角形的认识与分类 1．（23-24八年级上·山东德州）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）三角形是（    ） A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形 3．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是三角形按常见关系进行分类的图，则关于P、Q区域的说法正确的是（    ）    A．P是等边三角形，Q是等腰三角形 B．P是等腰三角形，Q是等边三角形 C．P是直角三角形，Q是锐角三角形 D．P是钝角三角形，Q是等腰三角形 题型二：构成三角形的条件 4．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）下列每组数分别表示三根小木棒的长度（单位：），其中能搭成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，4，8 C．5，6，10 D．6，6，12 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各组长度的线段能构成三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·四川泸州·期中）下列长度的三根小木棒能拼成三角形的是（　　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型三：三角形的个数问题 7．（23-24八年级上·吉林·期中）图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，以点A为三角形的一个顶点的三角形共有（    ）    A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 9．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在中，，分别为，上的点，以为顶点的三角形的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 题型四：三角形三边关系的应用 10．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 11．（2024·四川乐山·模拟预测）一木工有两根长分别为30厘米和50厘米的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架，则第三根木条的长度x厘米应在的范围是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知是的三条边长，化简的结果为（    ） A． B．0 C． D． 题型五：画三角形的高 13．（23-24八年级下·陕西西安·期末）（回忆童年，认识三角形高）下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 15．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 题型六：与三角形高有关的计算问题 16．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，已知，，垂足分别是c，d，其中，，，那么点c到的距离是（    ） a．3 b．4 c． d． 17．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　）    a．cm b．3cm c．cm d．4cm 18．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，是的高，，则（    ）    a． b． c． d． 题型七：根据三角形的中线求长度或者面积问题 19．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　）    a． b．1 c．2 d．7 20．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，已知、分别为的边、的中点，连接、，为的中线．若四边形的面积为20，则的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 21．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 题型八：重心的概念和性质 22．（23-24八年级上·山西长治·期中）有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（    ） A．三角形三条中线的交点处 B．三角形三条角平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条边的垂直平分线的交点处 23．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，交边于点D．设△ABC的重心为Q，若点Q在线段上，则下列结论正确的是（    ）． A．平分 B．为的中垂线 C． D．的周长等于的周长 24．（21-22八年级上·山东临沂·期中）如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为 题型九：三角形的角平分线 25．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 26．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在中，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 27．（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（    ） A．是的角平分线 B． C．是的边的高 D． 题型十：三角形的稳定性问题 28．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，工人师傅做了一个长方形窗框，、、、分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，则这根木条应钉在（    ） A．、两点之间   B．、两点之间 C．、两点之间 D．、两点之间 29．（23-24八年级上·广西南宁·期末）如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是（    ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于 30．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（    ） A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性 C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性 题型十一：三角形线段的综合 31．（2024八年级上·全国）如图，在中，是中线，，的周长比的周长大4． (1)求，的长； (2)求周长的取值范围． 32．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③分别是的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，所画点均在格点上． (1)在图①中，在右侧找到格点，使； (2)在图②中，画出，使； (3)在图③中，画射线，使平分四边形的面积． 33．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 【高分演练】 一、单选题 34．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖．这种设计应用的几何原理是(    ) a．三角形的稳定性 b．两点之间线段最短 c．两点确定一条直线 d．垂线段最短 35．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） a． b． c． d． 36．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列命题是真命题的是（   ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．内错角相等 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 37．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D是的中点，，若的面积为10，则的面积是（    ） A． B．1.5 C． D．2 38．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）已知三角形两边的长分别是3和7，则第三边的长可能是（    ） A．3 B．6 C．11 D．12 39．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，G为的中点，连接并延长，交于点E，过点C作于点H，延长交于点F．下面说法错误的是（　　） A．是的角平分线 B．是的边上的高线 C．是的角平分线和高线 D．是的边上的中线 40．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点G是边上任意一点，点分别是的中点．若的面积为4，则的面积为（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 41．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24七年级下·江苏无锡·期中） 如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为，则的最小值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 43．（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）已知三角形的三边长为3、7、a，且a为整数，则a的最大值为 ． 44．（2024八年级上·江苏·专题练习） 如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积等于 ． 45．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，点D，E分别在，上，，若，则的值为 ． 46．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，中，是中线，点D在边上，，，相交于点O，若与的面积之差为6，则的面积为 ． 三、解答题 47．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图是由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的方格图，在该方格图中． (1)将向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（点与点A对应，点与点B对应，点与点C对应），请在方格图中画出； (2)画出边上的中线； (3)请求出的面积． 48．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：、、为的三边长，且、满足． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若，求的取值范围． 49．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中，是的中线，是的中线． (1)若，求的长； (2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求AC的长． 50．（23-24七年级下·福建厦门·期末）【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1 与三角有关的线段 【考点归纳】 · 考点一：三角形的认识与分类 · 考点二：构成三角形的条件 · 考点三：三角形的个数问题 · 考点四：三角形三边关系的应用 · 考点五：画三角形的高 · 考点六：与三角形高有关的计算问题 · 考点七：根据三角形的中线求长度或者面积问题 · 考点八：重心的概念和性质 · 考点九：三角形的角平分线 · 考点十：三角形的稳定性问题 · 考点十一：三角形线段的综合 【知识梳理】 知识点一、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 知识点二、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 知识点三、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 知识点四、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。 知识点五、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 知识点六、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。 【题型归纳】 题型一：三角形的认识与分类 1．（23-24八年级上·山东德州）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据三角形的定义即：由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，进行判断即可． 【详解】解：A，B，C，中的三条线段没有首尾顺次连接，故不是三角形， C中的三条线段首尾顺次连接，且不在同一条直线上，故C满足题意； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的定义与判定，能够深刻理解三角形的定义是解决本题的关键． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）三角形是（    ） A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形 【答案】B 【分析】根据三角形的定义解答即可． 【详解】解：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的定义，熟知由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形是解题的关键． 3．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是三角形按常见关系进行分类的图，则关于P、Q区域的说法正确的是（    ）    A．P是等边三角形，Q是等腰三角形 B．P是等腰三角形，Q是等边三角形 C．P是直角三角形，Q是锐角三角形 D．P是钝角三角形，Q是等腰三角形 【答案】B 【分析】根据等边三角形是特殊的等腰三角形即可得． 【详解】解：∵等边三角形是特殊的等腰三角形， ∴P是等腰三角形，Q是等边三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的分类，解题的关键是掌握等边三角形和等腰三角形的关系 题型二：构成三角形的条件4．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）下列每组数分别表示三根小木棒的长度（单位：），其中能搭成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，4，8 C．5，6，10 D．6，6，12 【答案】C 【分析】此题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断，通过计算较小的两个数的和能否大于第三个数可快速判断． 【详解】解： A、 ，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、 ，不能构成三角形，故此选项不合题意； C、 ，能构成三角形，故此选项符合题意； D、 ，不能构成三角形，故此选项不合题意； 故选：C． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各组长度的线段能构成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，利用三角形三边关系定理，分别求出各选项中的较小长度的两条线段的和，与最长的长度的线段比较大小，若较小长度的两条线段的和大于最长的长度的线段，则能构成三角形，据此可得答案． 【详解】解：A、∵， ∴这组长度的线段不能构成三角形，故A不符合题意； B、∵， ∴这组长度的线段不能构成三角形，故B不符合题意； C、∵， ∴这组长度的线段不能构成三角形，故C不符合题意； D、∵， ∴这组长度的线段能构成三角形，故D符合题意； 故答案为：D． 6．（23-24八年级上·四川泸州·期中）下列长度的三根小木棒能拼成三角形的是（　　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 题型三：三角形的个数问题 7．（23-24八年级上·吉林·期中）图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形就是三条首尾顺次相接的线段构成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，图中的三角形有，共5个， 故选C． 8．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，以点A为三角形的一个顶点的三角形共有（    ）    A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】根据三角形的定义得出答案即可． 【详解】解：以点为顶点的三角形有6个，它们分别是，，，，，． 故选A． 【点睛】此题主要考查了三角形的定义，解题的关键是理解三角形的定义：由三条都不共线的线段首尾相连围成的图形得出三角形个数． 9．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在中，，分别为，上的点，以为顶点的三角形的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有，，，， ∴以为顶点的的三角形的个数是4个． 故选：B． 【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 题型四：三角形三边关系的应用 10．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，判断即可． 【详解】解：在中，，，， 则， A，B间的距离不可能是， 故选：D． 11．（2024·四川乐山·模拟预测）一木工有两根长分别为30厘米和50厘米的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架，则第三根木条的长度x厘米应在的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， 即， 故选：D． 12．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知是的三条边长，化简的结果为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是根据三边关系化简绝对值．根据三角形三边关系得到，，再去绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴，， ∴ ． 故选：B． 题型五：画三角形的高 13．（23-24八年级下·陕西西安·期末）（回忆童年，认识三角形高）下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 【详解】解：线段是的高的图是选项D． 故选：D． 14．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】B 【分析】根据“三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高”对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题主要考差了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键． 【详解】解：于点D， 中，是边上的高，故A不符合题意， ，线段是边上的高，故B选项符合题意； 于点F， 是边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意． 故选：B． 15．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、中，是上的高，不是上的高，故本选项说法错误，符合题意； B、中，是上的高，说法正确，不符合题意； C、中，是上的高，说法正确，不符合题意；     D、中，是上的高，说法正确，不符合题意； 故选：A． 题型六：与三角形高有关的计算问题 16．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，已知，，垂足分别是c，d，其中，，，那么点c到的距离是（    ） a．3 b．4 c． d． 【答案】d 【分析】本题考查了三角形的面积； 根据三角形面积的不同计算方法列式求解即可． 【详解】解：因为 所以，即， ∴，即点c到的距离是， 故选：d． 17．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　）    a．cm b．3cm c．cm d．4cm 【答案】a 【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握面积法是解题的关键．要求高长，只需分别以和为底边，利用面积相等即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：a． 18．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，是的高，，则（    ）    a． b． c． d． 【答案】a 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，利用等积法列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴； 故选：a． 题型七：根据三角形的中线求长度或者面积问题 19．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　）    a． b．1 c．2 d．7 【答案】c 【分析】本题考查了三角形的中线的定义．熟练掌握三角形的中线是解题的关键． 由三角形中线的定义可知，然后根据三角形的周长的定义知与的周长之差为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，． ∵的周长，的周长， ∴与的周长之差为：． 故选：c． 20．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，已知、分别为的边、的中点，连接、，为的中线．若四边形的面积为20，则的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线与三角形面积的关系，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据三角形中线平分三角形面积推出，，再根据四边形的面积为20，得到，据此求解即可． 【详解】解：是的中线， ， 同理可得， 同理可得， ， 四边形的面积为20， ， ， ， 故选：B 21．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线，掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分成为解题的关键．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解答即可． 【详解】解：∵是的边上的中线，的面积为， ∴， ∵是的边上的中线， ∴． 故选C． 题型八：重心的概念和性质 22．（23-24八年级上·山西长治·期中）有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（    ） A．三角形三条中线的交点处 B．三角形三条角平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念，熟记三角形的重心是三角形的三条中线的交点是解本题的关键． 【详解】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点处， 故选A 23．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，交边于点D．设△ABC的重心为Q，若点Q在线段上，则下列结论正确的是（    ）． A．平分 B．为的中垂线 C． D．的周长等于的周长 【答案】C 【分析】利用重心的性质得到为的中线，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵的重心为G，点G在线段AD上， ∴为的中线， ∴，选项C符合题意； 当时，平分，为的中垂线，的周长等于的周长， ∴选项A、B、D都不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形重心的概念，三角形重心是三角形三边中线的交点． 24．（21-22八年级上·山东临沂·期中）如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为 【答案】 【分析】根据三角形的重心性质得，过点B作交AD的延长线与点G，则BG是和的高，根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：由题可知，点O是的重心， ∴， 如图所示，过点B作交AD的延长线与点G， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的重心及重心性质，解题的关键是掌握这些知识点． 题型九：三角形的角平分线 25．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义作答即可． 【详解】∵，， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴选项D错误， 故选：D． 26．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在中，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，这样就很容易判断出C选项的错误；由于，结合“从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高”即可判断出是否是的高，这样也能得出D选项的正误． 【详解】A、由图可知：是的中线，正确，不符合题意； B、由图可知：是的角平分线，正确，不符合题意； C、是的角平分线， ， 是中线， ， 不正确，符合题意． D、由图可知∶ 是的高，正确，不符合题意； 故选C． 27．（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（    ） A．是的角平分线 B． C．是的边的高 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线定义，三角形的中线，解题的关键是：根据三角形的角平分线的定义，三角形的中线性质和三角形的面积逐个判断即可． 【详解】解：A．平分， 是的角平分线，故本选项不符合题意； B．平分， ， 但不能推出、和相等，故本选项符合题意； C．， ， 是的边的高，故本选项不符合题意； D．，，， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 题型十：三角形的稳定性问题 28．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，工人师傅做了一个长方形窗框，、、、分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，则这根木条应钉在（    ） A．、两点之间   B．、两点之间 C．、两点之间 D．、两点之间 【答案】A 【分析】考查三角形稳定性的实际应用．解题关键是利用了三角形的稳定性，判断是否稳定则看能否构成三角形．根据三角形的稳定性进行判断． 【详解】A．若钉在、两点之间构成了三角形，能固定窗框，故符合题意； B．若钉在、两点之间不能构成三角形，不能固定窗框，故不符合题意； C．若钉在，两点之间不能构成三角形，不能固定窗框，故不符合题意； D．若钉在，两点之间不能构成三角形，不能固定窗框，故不符合题意； 故选A． 29．（23-24八年级上·广西南宁·期末）如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是（    ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性， 故选：． 30．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（    ） A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性 C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的特性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性；根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是：三角形的稳定性． 故选：B． 题型十一：三角形线段的综合 31．（2024八年级上·全国）如图，在中，是中线，，的周长比的周长大4． (1)求，的长； (2)求周长的取值范围． 【答案】(1)， (2)周长 【分析】（1）由是的中线得，则和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可； （2）根据三角形的三边关系先求出的范围，进而可求出周长的取值范围． 本题主要考查了三角形中线的定义和性质以及三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长， 即， 又， 得， 解得， 得，， 解得， 和的长分别为：，． （2）解：，， ， 即， ， ， 周长． 32．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③分别是的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，所画点均在格点上． (1)在图①中，在右侧找到格点，使； (2)在图②中，画出，使； (3)在图③中，画射线，使平分四边形的面积． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【分析】（）取格点，连接，由网格可得，，即，故点即为所求； （）取格点，由网格可得，，即，故即为所求； （）取格点，画射线，由网格可得，即射线即为所求． 本题考查了网格作图，根据网格特点求出图形的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，射线即为所求． 33．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形中线的性质，三角形面积公式，掌握三角形中线平分三角形面积是解题关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）由三角形中线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：为的中线，为中线， ， ， ， ， ， ． 【高分演练】 一、单选题 34．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖．这种设计应用的几何原理是(    ) a．三角形的稳定性 b．两点之间线段最短 c．两点确定一条直线 d．垂线段最短 【答案】a 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】 解：双人漫步机采用如图所示的三角形支架方法固定， 这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性． 故选：a． 35．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） a． b． c． d． 【答案】c 【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义可得，结合题意可得，进而获得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 36．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列命题是真命题的是（   ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．内错角相等 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查命题判断，涉及三边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等．根据相关概念逐项分析即可． 【详解】解：A、两个锐角之和不一定是钝角，故原命题为假命题，不符合题意； B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意； C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意； D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意； 故选：B． 37．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D是的中点，，若的面积为10，则的面积是（    ） A． B．1.5 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积得到，再由题意得到，则． 【详解】解：∵在中，点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 38．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）已知三角形两边的长分别是3和7，则第三边的长可能是（    ） A．3 B．6 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：设第三边的长度为x， 由题意得：， 即：， ∴B符合题意； 故选：B． 39．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，G为的中点，连接并延长，交于点E，过点C作于点H，延长交于点F．下面说法错误的是（　　） A．是的角平分线 B．是的边上的高线 C．是的角平分线和高线 D．是的边上的中线 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可． 本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：A、， 是的角平分线，本选项说法正确，不符合题意； B、， 是的边上的高线，本选项说法正确，不符合题意； C、，， 是的角平分线和高线，本选项说法正确，不符合题意； D、∵G为的中点， 是的边上的中线，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 40．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点G是边上任意一点，点分别是的中点．若的面积为4，则的面积为（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等． 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接， 点是的中点， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ，， ， ∴， ． 故选：A． 41．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，三角形中线的交点是重心，它把中线分为两部分，可得 【详解】解：∵，分别是边，上的中线， ∴点是的重心， ∴， ∴ 故选：A 42．（23-24七年级下·江苏无锡·期中） 如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为，则的最小值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积； 连接，利用三角形中线的性质依次求出，，与的面积间的关系，然后根据四边形的面积为求出的面积，进而可求出边上的高，即为的最小值． 【详解】解：连接，如图，    ∵点为的中点， ∴， ∵为的中线， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， 解得， 作于点，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值是； 故选：C． 二、填空题 43．（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）已知三角形的三边长为3、7、a，且a为整数，则a的最大值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟记“三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可以求出a的取值范围，从而得出符合要求的整数． 【详解】解：∵三角形三边关系，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∴a为整数，可取的值为：9． 故答案为：9． 44．（2024八年级上·江苏·专题练习） 如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，解题关键是恰当作出辅助线求得三角形的高．过点E作于F，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：如图，过点E作于F， ∵是边上的高， ∴． ∵平分，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：6． 45．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，点D，E分别在，上，，若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，一元一次方程的应用，根据已知条件找到相等关系列出方程是解题的关键．设，则可得到，利用同底等高，结合，得到点是的中点，由此得到，进而利用列方程即可求解． 【详解】解：设， 则， 且两个三角形等高， ，即点是的中点， ， ，， 解得， ． 故答案为：6． 46．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，中，是中线，点D在边上，，，相交于点O，若与的面积之差为6，则的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查三角形的面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键．设的面积为a，易求，，即可求得，进一步可求解． 【详解】解：设的面积为a， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与的面积之差为6， ∴， ∴， 即的面积为36． 故答案为：36． 三、解答题 47．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图是由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的方格图，在该方格图中． (1)将向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（点与点A对应，点与点B对应，点与点C对应），请在方格图中画出； (2)画出边上的中线； (3)请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7 【分析】本题主要考查了画平移图形，画三角形中线，网格中求三角形面积： （1）根据平移方式确定A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）根据网格的特点取中点D，再连接即可； （3）用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作；   ； （2）解：如图即为所求； （3）解：根据题意可得：． 48．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：、、为的三边长，且、满足． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解一元一次不等式，解题的关键是利用非负性求出，的值． （1）利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解； （2）根据第题意，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 解得，， ，， ∴． （2）解：∵， ． 49．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中，是的中线，是的中线． (1)若，求的长； (2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求AC的长． 【答案】(1)16 (2)11 【分析】（1）根据三角形的中线的概念计算； （2）根据三角形的周长公式得到，，进而求出． 本题主要考查了三角形中线的定义和性质，熟练掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：是 的中线，， ， 是的中线， ； （2）解：是 的中线， ， 与的周长差为3， ， ， 的周长为37，， ， ， ． 50．（23-24七年级下·福建厦门·期末）【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 【答案】（1）①见解析，②2 （2） 【分析】本题考查利用三角形的中线求三角形面积及其应用．熟练掌握等高（或同高）的两三角形面积比等于底边之比是解题的关键． （1）①根据是的中点，则，，从而得，即可得出结论； ②根据，则，，即，得出，即可求    解． （2）连接，根据，得，，根据，则，，设，，则，，，，根据，则，从而求得，再根据则求得，则有，所以，即可得出． 【详解】解：（1）①∵是的中点， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）连接， ∵， ∴，， ∵， ∴，， 设，，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$