专题06 等边三角形压轴三大模型-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题06 等边三角形压轴三大模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、平行法法构造全等三角形 1 类型二、利用“三线合一”解决综合问题 8 类型三、“截长补短法”构造全等三角形 15 压轴能力测评（15题） 26 类型一﹑ 平行线法构造全等三角形‌：通过作平行线来构造全等三角形，这种方法在证明与等腰或等边三角形相关的性质时非常有用。 类型二﹑ ‌三线合一‌：考虑到等边三角形的特殊性，有时可以通过三线合一的原则，即角平分线、中线、垂线三线重合，来简化证明过程。 类型三﹑ ‌截长补短法‌：在证明与三角形边长相关的性质时，可以通过截取或延长某一边，使得其长度等于另一边，从而构造出全等三角形。这种方法在处理三角形的边长关系时非常有用。 类型一、平行线法法构造全等三角形 【典例1】已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 【变式1-1】如图，等边三角形中，D为上一点，E为延长线上一点，交于点F，且．若，则的长为 ． 【变式1-2】是边长为9的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（点不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于E，连接交于D． (1)如图当时，求的长； (2)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 【变式1-3】如图，是等边三角形，是的中点，点在上，点在直线上， (1)当点与重合时，判断的形状，并说明理由? (2)当点在的延长线上时，求证：． 类型二、利用“三线合一”解决综合问题 【典例2】已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【变式2-1】如图，在等边三角形中，点D在上，延长至点E，使于点F． (1)如图①，若点D是的中点，求证：； (2)如图②，若点D是上任意一点，是否仍然成立？请证明你的结论； (3)如图③，若点D是延长线上的任意一点，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？画图并写出你的结论，不必证明． 【变式2-2】在八年级上册“轴对称”一章中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，常能为证明一个命题提供思路和方法．请用你所学知识解决下列问题． (1)【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．……请你画出图形并写出完整的解题过程； (2)【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； (3)【拓展】如图3，在四边形中，平方，，，，则的长为 ． 类型三、“截长补短法”构造全等三角形 【典例3】（1）【问题初探】在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，．点D在外，连接，，，且．过A作于点E．求证：．    ①如图，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．    ②如图，小龙同学从于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作交延长线于点G，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．    （2）【类比分析】 张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答． 如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交与点F．求证：．    （3）【学以致用】 如图，在中，，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，求的面积．    【变式3-1】在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图①，已知均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________ (2)类比探究：如图②，已知均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上； (3)解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长． 【变式3-2】在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形； (3)如图3，当，且时，求证：． 【变式3-3】已知在中，，过点引一条射线，是上一点． 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内部，，求证：．小明同学展示的做法是：在上取一点使得．通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程． 【类比探究】 (2)如图2，已知． ①当射线在内，求的度数； ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数． 1．如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 2．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 3．如图，在等边中，点E为边上任意一点，点D在边的延长线上，且． (1)当点E为的中点时（如图1），则有__________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，若点E为上任意一点，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． (3)在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为2，，直接写出的长． 4（综合与实践）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“”、“”或“”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与DB的大小关系，请你直接写出结论，______（填“”、“”或“”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）： (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）． 5．在等边中，D为边的中点，点N在边的延长线上，且．    (1)如图1，点M在边上，求证：； (2)如图2，点M在边的延长线上，试探究，与等边边长的数量关系： 6．数学课上，王老师出示了如下框中的题目： 如图，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，试判断线段与的大小关系，并说明理由．小明与学习小组成员交流后，进行了如下解答： （一）特殊情况， 探索结论　 （1）在等边三角形中，当E为的中点时，点D在边的延长线上，且，如图1，请你直接写出线段与的大小关系． ． （二）特例启发， 解答题目 （2）王老师给出的题目中，与的大小关系是 ． 理由如下： 如图2，过点E作， 交于点F，  (请你完成以下解答过程)． （三）拓展结论， 设计新题 （3）在中，，点E在的延长线上，，点D在的延长线上，，如图3，则的长是 ． 7．数学课上，老师出示了如下框中的题目． 如图1，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： 【猜想结论】 （1）当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“”，“”或“”）． 【类比探究】 （2）如图1，当点E为边上任意一点时，小敏和小聪认为（1）中的结论仍然成立．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪完成证明过程． 【拓展应用】 （3）在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若等边三角形的边长为2，，求的长（请自己画图，并完成解答）． 8．等边中，点D在边上，点E在边上．以为边，在右侧作等边，连接． (1)如图1，当点E与点C重合时，判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点D是的中点时，点E从点C运动到点B的过程中（边的中点除外），求的度数． 9．如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)当P为的中点时，求的长； (2)求证：在运动过程中，点D是线段的中点； (3)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 10．如图，点为等边的边上一点，为延长线上一点，，交于，过作于． (1)求证：； (2)若，求的长． 11．在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，请根据下列题组情境进行解答： (1)如下图，当点E为的中点时，下列结论中正确的是______；（填序号） ①        ②    ③    ④ (2)当点E不为的中点时，（1）中哪个正确的结论仍成立？请结合下图进行证明； (3)若的边长为3，，请直接写出的长． 12．如图，在中，，D为内一点，，交的延长线于点E，，． (1)求证：为等边三角形； (2)探究，与之间的数量关系，并证明． 13．如图，在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． 【问题解决】 如图①，若点在边上，求证：； 【类比探究】 如图②，若点在边的延长线上，请探究线段与之间存在怎样的数量关系，并直接写出这三条线段之间的数量关系．    14．如图，在等边的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问      (1)在爬行过程中，和始终相等吗？并说明理由 (2)如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着和的延长线爬行”，与交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：； (3)如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着的延长线爬行，连接交于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，始终等于是否正确．并说明理由． 15．如图，在中，点D是内一点，点E是延长线上一点， (1)求证：直线 (2)求的度数． (3)试猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 等边三角形压轴三大模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、平行法法构造全等三角形 1 类型二、利用“三线合一”解决综合问题 8 类型三、“截长补短法”构造全等三角形 15 压轴能力测评（15题） 26 类型一﹑ 平行线法构造全等三角形‌：通过作平行线来构造全等三角形，这种方法在证明与等腰或等边三角形相关的性质时非常有用。 类型二﹑ ‌三线合一‌：考虑到等边三角形的特殊性，有时可以通过三线合一的原则，即角平分线、中线、垂线三线重合，来简化证明过程。 类型三﹑ ‌截长补短法‌：在证明与三角形边长相关的性质时，可以通过截取或延长某一边，使得其长度等于另一边，从而构造出全等三角形。这种方法在处理三角形的边长关系时非常有用。 类型一、平行线法法构造全等三角形 【典例1】已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1) (2)相等，见解析 (3)7或3 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三线合一性质，等边三角形的性质，计算说明即可． （2）过作交于，证明是等边三角形，以及即可证明． （3）分为点在射线上或点在射线上两种情况，利用全等、等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：，理由如下： 为等边三角形，点为的中点， ，平分，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：相等，即，理由如下： 如图，过作交于， 是等边三角形， ，， ，， 即， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：如图③，当点在射线上时，过作交的延长线于， 则为等边三角形，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，当点O在射线上时，∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 过点O作，则， ∴， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，长为或． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【变式1-1】如图，等边三角形中，D为上一点，E为延长线上一点，交于点F，且．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，作，交于M，得为等边三角形，再证得到；根据，，可得，由此得出，最后根据即可求得的长． 【详解】解：如图，作，交于M， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴. ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：4． 【变式1-2】是边长为9的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（点不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于E，连接交于D． (1)如图当时，求的长； (2)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 【答案】(1) (2)在运动过程中线段的长不变； 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据等边三角形的性质得出，，再由含30度角的直角三角形的性质确定，根据题意得出方程求解即可； （2）过点P作交于点F，根据等边三角形的性质及判定确定是等边三角形，再由全等三角形的判定和性质结合图形求解即可 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 又 ， ， 两点同时出发且速度相同， ， 设，则， ， 解得：， ； （2）在运动过程中线段的长不变； 过点P作交于点F， 是等边三角形， ， ， ． ， 是等边三角形， ， 于E， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ， ． 【变式1-3】如图，是等边三角形，是的中点，点在上，点在直线上， (1)当点与重合时，判断的形状，并说明理由? (2)当点在的延长线上时，求证：． 【答案】(1)等边三角形，证明见详解 (2)证明过程见详解 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据，得，从而证明，即可证明是等边三角形； （2）过点作交于点，证明，即可求解； 【详解】（1）根据题意作图如下： ， 为等边三角形 ， ， 为等边三角形． （2）证明：过点作交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 又， 为等边三角形 ，， ， ， 即， 点是的中点， ， ， 在和中， ， ． 类型二、利用“三线合一”解决综合问题 【典例2】已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)10 【分析】（1）已知条件结合三角形内角和定理证明即可； （2）先说明为等边三角形，即，设，则，然后根据四边形的内角和用x表示出，进而表示出，最后根据三角形内角和即可解答； （3）如图：作，根据题意说明，进而说明，根据，得到，，利用直角三角形的特征，设，则，然后根据线段的和差列方程解答即可． 【详解】（1）证明：在中有， ∵， ， ， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ， 设，则， 在四边形中有：， ， ， ∵的平分线交于点E， ， ，即， ， 故答案为：； （3）如图，作， ， ， ，平分， ， ， 由（2）得， ， ， ， ， ， ， 设， ， ∴，，， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和、四边形内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键． 【变式2-1】如图，在等边三角形中，点D在上，延长至点E，使于点F． (1)如图①，若点D是的中点，求证：； (2)如图②，若点D是上任意一点，是否仍然成立？请证明你的结论； (3)如图③，若点D是延长线上的任意一点，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？画图并写出你的结论，不必证明． 【答案】(1)见解析 (2)仍然成立，证明见解析 (3)（2）中的结论仍然成立，图见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定和性质， （1）根据等边三角形得到，，三线合一推出，证得，，而证得，利用三线合一证得； （2）过点D作，交于点M，得到是等边三角形，由此证明，得到，根据三线合一证得； （3）过点E作，交的延长线于点N，得到等边三角形，证明，得到，根据三线合一证得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点D是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）仍然成立， 证明：过点D作，交于点M， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）（2）中的结论仍然成立， 证明：如图，过点E作，交的延长线于点N， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-2】在八年级上册“轴对称”一章中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，常能为证明一个命题提供思路和方法．请用你所学知识解决下列问题． (1)【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．……请你画出图形并写出完整的解题过程； (2)【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； (3)【拓展】如图3，在四边形中，平方，，，，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)18 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证；由得，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处，由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， , ，， ， ， ， ， ， 由得，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 类型三、“截长补短法”构造全等三角形 【典例3】（1）【问题初探】在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，．点D在外，连接，，，且．过A作于点E．求证：．    ①如图，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．    ②如图，小龙同学从于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作交延长线于点G，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．    （2）【类比分析】 张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答． 如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交与点F．求证：．    （3）【学以致用】 如图，在中，，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，求的面积．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）77 【分析】(1)①在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； ②过A作交延长线于G，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论； (2) 在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出是等边三角形，得出，则可得出结论； (3) 过A作于H，证明，得出，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）①选择小辉同学的思路， 证明：如图1，在上截取，连接，    ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②选择小龙同学的思路， 证明：过A作交延长线于G，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴； （2）证明：在上截取，连接，    ∵为等边三角形， ∵， ∵为等腰直角三角形， ∴ ∴，， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∵是边上的中线， ∴平分， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴； （3）过A作于H，    ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵，, ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式3-1】在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图①，已知均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________ (2)类比探究：如图②，已知均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上； (3)解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下：、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ，即， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点，，在同一直线上； （3）解：如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 【变式3-2】在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形； (3)如图3，当，且时，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到 ，等量代换证明结论； （2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形； （3）延长交于，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （3）证明：如图3，延长、交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式3-3】已知在中，，过点引一条射线，是上一点． 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内部，，求证：．小明同学展示的做法是：在上取一点使得．通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程． 【类比探究】 (2)如图2，已知． ①当射线在内，求的度数； ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)①；②会变化， 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，据此可得到答案； （2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案；②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出． 【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①在上取一点E，，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； ②的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点E，使得，如图所示： 同理①的方法可证：， ∴， ∴． 1．如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）通过边角边证明，再根据全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）在上截取，连接，先证明，进而证明，即可求解； （3）延长到点N，使得，连接，连接，交于点M，通过证明，进而证明是等腰三角形，是等边三角形，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在上截取，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点N，使得，连接，连接，交于点M， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，沿翻折交于点G，， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 2．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②； (2) (3)有最小值，最小值为2 【分析】（1）①过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论；②过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，在上截取，通过证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：①过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角性是解题的关键． 3．如图，在等边中，点E为边上任意一点，点D在边的延长线上，且． (1)当点E为的中点时（如图1），则有__________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，若点E为上任意一点，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． (3)在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为2，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的长为2或6 【分析】（1）根据三线合一定理和三角形外角的性质证明即可得到答案； （2）过作交于，先证明是等边三角形，再证明即可得到答案； （3）分在的延长线和在的延长线上两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵三角形是等边三角形，点是的中点， ∴平分，， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，过作交于， ∵是等边三角形， ， ∴， 即． ∴是等边三角形． ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：∵三角形是等边三角形， ， 如图所示：当在的延长线上时，过点作交直线于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当在的延长线上时，如图，过点作交延长线于， 同理可以求得， ， ， 故的长为2或6． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 4（综合与实践）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“”、“”或“”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与DB的大小关系，请你直接写出结论，______（填“”、“”或“”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）： (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据等边三角形三线合一，结合三角形外角的性质，得到即可； （2）过点E作，交于点F，易得为等边三角形，证明，即可得证； （3）作，易得为等边三角形，证明，得到，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵等边三角形， ∴，， ∵点E为的中点 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： 过点E作，交于点F， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在△DBE和△EFC中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）由题意，点在线段的延长线上，作，则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 同（2）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．在等边中，D为边的中点，点N在边的延长线上，且．    (1)如图1，点M在边上，求证：； (2)如图2，点M在边的延长线上，试探究，与等边边长的数量关系： 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行线的性质： （1）作交于，根据等边三角形的判定及性质可证得是等边三角形，再利用证得即可求证结论； （2）作交于，由（1）同理可证，得出，进而可求得，即可求解； 根据相关知识证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：作交于，如图：   是等边三角形， ，， D为边的中点， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：，理由如下： 作交于，如图：    由（1）同理可证， ， ． 6．数学课上，王老师出示了如下框中的题目： 如图，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，试判断线段与的大小关系，并说明理由．小明与学习小组成员交流后，进行了如下解答： （一）特殊情况， 探索结论　 （1）在等边三角形中，当E为的中点时，点D在边的延长线上，且，如图1，请你直接写出线段与的大小关系． ． （二）特例启发， 解答题目 （2）王老师给出的题目中，与的大小关系是 ． 理由如下： 如图2，过点E作， 交于点F，  (请你完成以下解答过程)． （三）拓展结论， 设计新题 （3）在中，，点E在的延长线上，，点D在的延长线上，，如图3，则的长是 ． 【答案】（1）， （2），理由见解析 （3）3， 【分析】本题综合考查了等边及等腰三角形的性质及判定，同时涉及全等三角形的证明，添加辅助线，综合利用等腰及等边三角形的性质证全等是解题关键； （1）当E为中点时，根据等腰三角形三线合一先得是角平分线，则，证明，所以，由中点定义可得进而得到 （2）过E作，证明，可得，再证明是等边三角形，可得到，进而得出； （3）过E作交延长线于点F，在证，是等边三角形，得，即可得出结论； 【详解】（1）， 是等边三角形， ， E为的中点， ，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 过点E作，交于点F． 为等边三角形，且 ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 为等边三角形， ， 故答案为∶． （3）3， 过E作交延长线于点F， 是等边三角形， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， 即 ， 故答案为：3 7．数学课上，老师出示了如下框中的题目． 如图1，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： 【猜想结论】 （1）当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“”，“”或“”）． 【类比探究】 （2）如图1，当点E为边上任意一点时，小敏和小聪认为（1）中的结论仍然成立．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪完成证明过程． 【拓展应用】 （3）在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若等边三角形的边长为2，，求的长（请自己画图，并完成解答）． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）或 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质与判定、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）先由等边三角形的性质得到，，再证出，即可得出结论； （2）作交于．证明，推出，即可得出； （3）分两种情形讨论：①当在的延长线上时，作交的延长线于，证，可得，；②当在的延长线上时，作交的延长线于，证，可得，，由此即可解决问题． 【详解】解：（1）是等边三角形，点为的中点， ，，， ， ， ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ， ， 故答案为：； （2）如图2，过点作，交于点．    则，，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ； （3）如图3，当在的延长线上时，作交的延长线于，    同（2）得：， ， ， 如图4中，当在的延长线上时，作交的延长线于，    同（2）得：， ， ． 综上所述，的长为1或5． 8．等边中，点D在边上，点E在边上．以为边，在右侧作等边，连接． (1)如图1，当点E与点C重合时，判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点D是的中点时，点E从点C运动到点B的过程中（边的中点除外），求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后可证，进而问题可求证； （2）过点F作交于点H，在上找一点G，使得，由题意易证，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵，都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点F作交于点H，在上找一点G，使得，如图所示： ∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 9．如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)当P为的中点时，求的长； (2)求证：在运动过程中，点D是线段的中点； (3)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)不变， 【分析】（1）先求出，再利用含30°的直角三角形的性质得出，即可作答； （2）先作出得出，进而判断出得出即可得出结论； （3）利用等边三角形的性质得出，借助，即可得出，最后用等量代换即可． 【详解】（1）解：∵是边长为6的等边三角形，P为的中点 ∴， ∵ ∴， ∴； （2）证明：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点， （3）解：运动过程中线段的长不发生变化，是定值为3， 理由：∵， ∴ 又∵， ∴， 即 ∴ 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了含的直角三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点，是一道比较简单的中考常考题． 10．如图，点为等边的边上一点，为延长线上一点，，交于，过作于． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过P作，可得为等边三角形 ，得出，再证，即可得； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，代入数据进行计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点P作，则， ∵为等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 11．在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，请根据下列题组情境进行解答： (1)如下图，当点E为的中点时，下列结论中正确的是______；（填序号） ①        ②    ③    ④ (2)当点E不为的中点时，（1）中哪个正确的结论仍成立？请结合下图进行证明； (3)若的边长为3，，请直接写出的长． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 (3)2或4 【分析】（1）根据等边三角形的三线合一可以判断①；同时得到，再根据等边对等角得到，依次判断②③④； （2）过作交于点，由题意可得是等边三角形，可得，可利用“”证明 可得； （3）分点在上和在的延长线上，类似（2）证得全等，再利用平行得到所求线段的长． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点E为的中点， ∴，，故①正确； 又∵， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③； （2）解：当E为边上任意一点时，仍成立； 证明：如图1，过E作交于点F． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：因为，的边长为，所以点可能在线段上，也可能在的延长线上， 当点在时，由 可知，则； 当点在的延长线上时，如图，过点作，交的延长线于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴，是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ． 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，利用全等得到，再找和的关系是解题的关键． 12．如图，在中，，D为内一点，，交的延长线于点E，，． (1)求证：为等边三角形； (2)探究，与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质， （1）首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质得到，结合即可证明出为等边三角形； （2）在上取点F，使得，得到是等边三角形，然后根据题证明出，得到，进而求解即可． 解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质（对应边相等，对应角相等）和判定定理（，，，，）． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）如图所示，在上取点F，使得 ∵ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∵为等边三角形 ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴． 13．如图，在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． 【问题解决】 如图①，若点在边上，求证：； 【类比探究】 如图②，若点在边的延长线上，请探究线段与之间存在怎样的数量关系，并直接写出这三条线段之间的数量关系．    【答案】[问题解决]证明见解析；[类比探究] 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，作辅助线构造等边三角形是解题的关键． [问题解决]在上截取，连接，可证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论； [类比探究]过作，交的延长线于点，由平行线的性质易证，得出为等边三角形，则，证明，得出，即可得出． 【详解】[问题解决] 证明：如图①，在上截取，连接．    是等边三角形， ． 是等边三角形． ． 是等边三角形， ． ． ． 在和中， ∵ ． ． ． 即． [类比探究] 解：；理由见如下： 是等边三角形， ， 过作，交的延长线于点，如图②：    ．． ，， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ∴， ， 在和中， ∵， ， ， ， 即． 14．如图，在等边的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问      (1)在爬行过程中，和始终相等吗？并说明理由 (2)如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着和的延长线爬行”，与交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：； (3)如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着的延长线爬行，连接交于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，始终等于是否正确．并说明理由． 【答案】(1)和始终相等，理由见解析 (2)证明见解析 (3)始终等于正确，理由见解析 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，得到，再根据三角形的外角性质计算，得到答案； （3）过点作交于，证明，根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：和始终相等，理由如下： 为等边三角形， ，， 由题意得：， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ，， ； （3）解：始终等于正确，理由如下， 过点作交于， ， 为等边三角形， ∴， ∵， ∴，    为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定、平行线的性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 15．如图，在中，点D是内一点，点E是延长线上一点， (1)求证：直线 (2)求的度数． (3)试猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. （1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据全等三角形的性质得到 ，根据三角形的外角性质计算，得到答案； （3）在线段上截取，连接，得到是等边三角形，根据，得到，结合图形证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 即； （2）， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）， 理由如下: 在线段上截取,连接， ∵， ∴是等边三角形，    ∴， ∵， ∴， 在和中, ， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$