第二十三章 旋转（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．“致中和，天地位焉，万物焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列图形，可以看作中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．观察下列图案，能通过左图顺时针旋转90°得到的（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，则下列说法不正确的是（　　） A．S△ACB=S△A′B′C′ B．AB=A′B′ C．AB∥A′B′，A′C′∥AC，BC∥B′C′ D．S△A′B′O=S△ACO 5．如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 6．如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序数对表示，如A点为（5，1），若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（　　） A．黑（1，5），白（5，5） B．黑（3，2），白（3，3） C．黑（3，3），白（3，1） D．黑（3，1），白（3，3） 7．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 8．如图，中，，，若以点C为旋转中心，将旋转θ到的位置，使点B恰好落在边上，则θ等于（ ） A． B． C． D． 9．若两个图形成中心对称，则下列说法： ①对应点的连线一定经过对称中心； ②这两个图形的形状和大小完全相同； ③这两个图形的对应线段一定互相平行； ④将一个图形围绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，△AOB是等边三角形，B（2，0），将△AOB绕O点逆时针方向旋转90°到△A′OB′位置，则A′坐标是（　 　） A．（﹣1，） B．（﹣，1） C．（，﹣1） D．（1，﹣） 11．如图，与关于点成中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2 023 次旋转结束时，点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 13．如图，在中，．将绕点按顺时针方向旋转度后得到，此时点在边上，斜边交边于点，则的大小和图中阴影部分的面积分别为（　　） A． B． C． D． 14．在等边 中， 是边 上一点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，若 ，，有下列结论：① ；② ；③ 是等边三角形；④ 的周长是 ．其中，正确结论的个数是 （  ） A． B． C． D． 15．平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA'，则点的坐标是(       ) A．（，3） B．（，4） C．（3，） D．（4，） 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点C的坐标为，点A在x轴正半轴上，且．将绕点C逆时针旋转，则旋转后点A的对应点的坐标为 ． 18．以如图（以为圆心，半径为的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图的有 ． ①只要向右平移个单位 ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可． 19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2016的坐标为 . 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）画出四边形ABCD关于点O对称的图形． 21．（6分）正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分． (1)请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴； (2)把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P． 22．（7分）如图，、经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点． （1）分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； （2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求、的值． 23．（6分）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接． (1)若，则_______°； (2)若，，求的面积与周长． 24．（8分）如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，连接任意两个格点的线段叫做格点线段． (1)如图1，格点线段AB、CD，请添加一条格点线段EF，使它们构成轴对称图形； (2)如图2，格点线段AB和格点C，在网格中找一格点D，使格点A、B、C、D四点构成中心对称图形； (3)在(2)的条件下，如果每一小正方形边长为1，那么四边形ABCD的面积S为_________． (请直接填写) 25．（8分）如图是两个等边三角形拼成的四边形． 这个图形是不是旋转对称图形？是不是中心对称图形？若是，指出对称中心． 若旋转后能与重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？请一一指出． 26．（8分）【猜想】　如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG.试猜想线段BG和AE的数量关系是 ； 【探究】　如图2，正方形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°）．试判断你猜想的结论是否仍然成立，请利用图2证明你的结论； 【应用】　在图2中，BC＝DE＝4.当AE取最大值时，AF的值为多少？    27．（12分）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图①，点E，F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． (1)思路梳理 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点、、共线，易证　　，故，，之间的数量关系为_______． (2)类比引申 如图②，点E，F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想，，之间的数量关系，并证明． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．“致中和，天地位焉，万物焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列图形，可以看作中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．观察下列图案，能通过左图顺时针旋转90°得到的（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的定义,观察图形即可解答. 【详解】根据旋转的定义，图片按顺时针方向旋转90度，大拇指指向右边，其余4个手指指向下边，从而可确定为A图． 故选A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟知性质是解题的关键. 3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．据此求解即可． 【详解】解：由平面直角坐标系中任意一点关于原点的对称点是，可知点关于原点对称的点的坐标为． 故选B． 4．如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，则下列说法不正确的是（　　） A．S△ACB=S△A′B′C′ B．AB=A′B′ C．AB∥A′B′，A′C′∥AC，BC∥B′C′ D．S△A′B′O=S△ACO 【答案】D 【分析】根据中心对称的性质依次判断即可. 【详解】选项A，根据中心对称的两个图形全等，即可得选项A、B正确； 选项C，根据关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等，即可得对应线段平行，选项C正确； 选项D，S△A′B′O=S△ABO≠S△ACO，选项D错误． 故选D. 【点睛】本题主要考查了中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平；③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等. 5．如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】根据中心对称图形的意义解答． 【详解】解：如图， 如果以O为对称中心，则A与B、C与D、E与F分别对应， 从图中可以看出，G应该与③对应， 故选C． 【点睛】本题考查中心对称的应用，熟练掌握中心对称图形及对称中心的意义是解题关键． 6．如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序数对表示，如A点为（5，1），若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（　　） A．黑（1，5），白（5，5） B．黑（3，2），白（3，3） C．黑（3，3），白（3，1） D．黑（3，1），白（3，3） 【答案】D 【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的性质即可解答． 【详解】如图所示：黑（3，1），白（3，3）． 故选D． 【点睛】此题主要考查了旋转变换以及轴对称变换，正确把握图形的性质是解题关键． 7．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 8．如图，中，，，若以点C为旋转中心，将旋转θ到的位置，使点B恰好落在边上，则θ等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据互余计算出∠ABC=65°，再根据旋转的性质得CB=CE，∠BCE=∠ACD=θ，∠E=∠ABC=65°，则根据等腰三角形的性质得∠E=∠CBE=65°，然后在△BCE中根据三角形内角和定理可计算出∠BCE的度数． 【详解】∵∠ACB=90°,∠A=25°， ∴∠ABC=65°， ∵△ABC旋转θ到△DEC的位置，使点B恰好落在边DE 上， ∴CB=CE,∠BCE=∠ACD=θ,∠E=∠ABC=65°， ∴∠E=∠CBE=65°， ∴∠BCE=180°−2×65°=50°， 即θ=50°. 故选B. 【点睛】考查旋转的性质，旋转前后对应角相等，对应边相等. 9．若两个图形成中心对称，则下列说法： ①对应点的连线一定经过对称中心； ②这两个图形的形状和大小完全相同； ③这两个图形的对应线段一定互相平行； ④将一个图形围绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据两个图形成中心对称分别分析得出答案即可． 【详解】①对应点的连线一定经过对称中心，根据成中心对称的性质得出，此选项正确； ②这两个图形的形状和大小完全相同；根据成中心对称的性质得出，此选项正确； ③这两个图形的对应线段一定互相平行或在一条直线上，故此选项在错误； ④将一个图形围绕对称中心旋转后必与另一个图形重合，根据成中心对称的性质得出，此选项正确； 故正确的有3个. 故选C. 【点睛】此题主要考查了成中心对称图形的性质,熟练掌握定义与性质是解题关键. 10．如图，△AOB是等边三角形，B（2，0），将△AOB绕O点逆时针方向旋转90°到△A′OB′位置，则A′坐标是（　 　） A．（﹣1，） B．（﹣，1） C．（，﹣1） D．（1，﹣） 【答案】B 【分析】过点A′作A′C⊥x轴于C，根据点B的坐标求出等边三角形的边长，再求出∠A′OC＝30 ，然后求出OC、A′C，再根据点A′在第二象限写出点A′的坐标即可． 【详解】如图，过点A′作A′C⊥x轴于C， ∵B（2，0）， ∴等边△AOB的边长为2， 又∵∠A′OC＝90 −60 ＝30 ， ∴OC＝2×cos30 =2×＝，A′C＝2×＝1， ∵点A′在第二象限， ∴点A′（﹣，1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，等边三角形的性质，根据旋转的性质求出∠A′OC＝30，然后解直角三角形求出点A′的横坐标与纵坐标的长度是解题的关键． 11．如图，与关于点成中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质．根据中心对称的性质，为，的中点，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称，点A的坐标为， 设， 依题意，， 解得：， 点的坐标为， 故选：C． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2 023 次旋转结束时，点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，点的坐标，确定旋转后的位置是解此题的关键． 作出旋转后的图象，找出图形变换规律，再根据点的坐标即可求出旋转后点的坐标． 【详解】解：由题可知，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转， 每旋转4次则回到原位置， ， 第2023次旋转结束后，图形逆时针旋转了， ，， ， 第2023次旋转结束时，点的坐标是， 故选：D． 13．如图，在中，．将绕点按顺时针方向旋转度后得到，此时点在边上，斜边交边于点，则的大小和图中阴影部分的面积分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2， ∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2，AB=2BC=4， ∵△EDC是△ABC旋转而成， ∴BC=CD=BD=AB=2， ∵∠B=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BCD=60°， ∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∵BD=AB=2， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=， ∴S阴影=DF×CF=×=． 故选C． 14．在等边 中， 是边 上一点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，若 ，，有下列结论：① ；② ；③ 是等边三角形；④ 的周长是 ．其中，正确结论的个数是 （  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得∠ABC＝∠C＝60°，AC＝BC＝5，再利用旋转的性质得∠BAE＝∠C＝60°，AE＝CD，则∠BAE＝∠ABC，于是根据平行线的判定可对①进行判断；由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到∠DBE＝60°，BD＝BE＝4，则根据边三角形的判定方法得到△BDE为等边三角形，于是可对③进行判断；根据等边三角形的性质得∠BDE＝60°，DE＝DB＝4，然后说明∠BDC＞60°，则∠ADE＜60°，于是可对②进行判断；最后利用AE＝CD，DE＝BD＝4和三角形周长定义可对④进行判断． 【详解】∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝60°，AC＝BC＝5， ∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴∠BAE＝∠C＝60°，AE＝CD， ∴∠BAE＝∠ABC， ∴AE∥BC，所以①正确； ∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴∠DBE＝60°，BD＝BE＝4， ∴△BDE为等边三角形，所以③正确， ∴∠BDE＝60°，DE＝DB＝4， 在△BDC中，∵BC＞BD， ∴∠BDC＞∠C，即∠BDC＞60°， ∴∠ADE＜60°，所以②错误； ∵AE＝CD，DE＝BD＝4， ∴△ADE的周长＝AD＋AE＋DE＝AD＋CD＋DB＝AC＋BD＝5＋4＝9，所以④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质． 15．平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA'，则点的坐标是(       ) A．（，3） B．（，4） C．（3，） D．（4，） 【答案】C 【分析】根据旋转中心为点O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，作出点A的对应点A'，可得所求点的坐标． 【详解】作AB⊥x轴于B点，A′B′⊥y轴于B′点．如图所示． ∵A（4，3），∴OB=4，AB=3． ∴OB′=4，A′B′=3． ∵A′在第四象限， ∴A′（3，－4）． 故选C． 【点睛】考查由图形旋转得到相应坐标；根据旋转中心，旋转方向及角度得到相应图形是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． 17．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点C的坐标为，点A在x轴正半轴上，且．将绕点C逆时针旋转，则旋转后点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】画出示意图，然后根据旋转的性质可求得答案. 【详解】解：∵点C的坐标为，AC=2， 如图所示，将RtΔABC先绕点C逆时针旋转90°， 则点A'的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 18．以如图（以为圆心，半径为的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图的有 ． ①只要向右平移个单位 ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可． 【答案】②③④ 【分析】观察两个半圆的位置关系，再确定能否通过图象变换得到，以及旋转、平移的方法． 【详解】解：由图可知，图（1）先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，或先绕着点O旋转180°，再向右平移1个单位，或绕着OB的中点旋转180°即可得到图（2）．故答案为②③④． 【点睛】本题考查了旋转、轴对称、平移的性质．关键是根据变换图形的位置关系，确定变换规律． 19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2016的坐标为 . 【答案】（0，0） 【分析】根据题意，确定出前几次跳跃后点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，得出规律，根据所得的规律即可求出点P2016的坐标． 【详解】根据题意可知：点P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0），由此可得可得出6次一个循环， ∵2016÷6=336， ∴点P2016的坐标为（0，0）． 故答案为（0，0）． 【点睛】本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）画出四边形ABCD关于点O对称的图形． 【答案】见解析 【分析】连接AO、BO、CO、DO并延长相同的长度，得到四点的对应点，顺次连接即可． 【详解】如图所示： 四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD关于点O对称的图形． 【点睛】本题主要考查了中心对称作图，作中心对称图形的关键是找对应点． 21．（6分）正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分． (1)请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴； (2)把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形，中心对称图形的性质画出图形即可． （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：图形如图①②所示． （2）解：图形如图③所示，点P即为所求作． 【点睛】本题考查利用旋转变换设计图案，正方形的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（7分）如图，、经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点． （1）分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； （2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求、的值． 【答案】（1）；；；特征：对应点的坐标的横纵坐标各互为相反数．（2）． 【分析】（1）由图所示即可求出． （2）根据（1）坐标的特征可得到关系、方程，解方程即可求出、的值． 【详解】（1）由图可得：；；， 由对应的的坐标可得：对应点的坐标的横纵坐标各互为相反数． （2）由（1）中点的坐标特征可得， 点与点的横纵坐标互为相反数， ∴， 解得：． 【点睛】此题考查了坐标系中关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握坐标系中关于原点对称的点的坐标特点． 23．（6分）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接． (1)若，则_______°； (2)若，，求的面积与周长． 【答案】(1) (2)的面积为3，周长为； 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理． （1）根据旋转的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，即可求出，即可得结果； （2）利用旋转的性质结合勾股定理求得、和的长，再利用三角形的面积公式和周长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵绕直角顶点C顺时针旋转，得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵绕直角顶点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴的面积； 的周长． 24．（8分）如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，连接任意两个格点的线段叫做格点线段． (1)如图1，格点线段AB、CD，请添加一条格点线段EF，使它们构成轴对称图形； (2)如图2，格点线段AB和格点C，在网格中找一格点D，使格点A、B、C、D四点构成中心对称图形； (3)在(2)的条件下，如果每一小正方形边长为1，那么四边形ABCD的面积S为_________． (请直接填写) 【答案】(1)略(仅一种)(2′)　　　(2)略(两种)(6′)     (3)S="6" (8′) 【详解】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形.（1）做AO⊥CD于点O，并延长到E，使EO=AO，连接BC并延长至F ,使BC=CF,连接EF即可；（2）利用中心对称图形的性质，可以做一个平行四边形；(3)根据所围成的长方形的面积减去周边三角形的面积，即可求得平行四边形的面积 25．（8分）如图是两个等边三角形拼成的四边形． 这个图形是不是旋转对称图形？是不是中心对称图形？若是，指出对称中心． 若旋转后能与重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？请一一指出． 【答案】这个图形是旋转对称图形，对称中心为的中点；个，点，点，的中点 【分析】（1）根据旋转对称图形的定义得出即可； （2）利用△ACD旋转后能与△ABC重合，结合图形得出旋转中心． 【详解】解：这个图形是旋转对称图形，对称中心为的中点； 个，旋转中心可以为：点，点，的中点． 【点睛】本题考查了旋转对称图形、中心对称图形的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转对称图形、中心对称图形的性质． 26．（8分）【猜想】　如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG.试猜想线段BG和AE的数量关系是 ； 【探究】　如图2，正方形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°）．试判断你猜想的结论是否仍然成立，请利用图2证明你的结论； 【应用】　在图2中，BC＝DE＝4.当AE取最大值时，AF的值为多少？    【答案】【猜想】　BG＝AE；【探究】成立，证明详见解析；【应用】　2. 【猜想】：由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论； 【探究】如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论； 【应用】可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论． 【详解】解：【猜想】　如图1， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，BD=CD=AD， ∴∠ADB=∠ADC=90°． ∵四边形DEFG是正方形， ∴DE=DG． 在△BDG和△ADE中， , ∴△ADE≌△BDG（SAS）， ∴BG=AE． 故答案为：BG=AE； 【探究】成立，BG＝AE.理由如下： 如图2，连接AD.    ∵在Rt△BAC中，D为斜边BC的中点， ∴AD＝BD，AD⊥BC. ∴∠ADG＋∠GDB＝90°. ∵四边形EFGD为正方形， ∴DE＝DG，且∠GDE＝90°. ∴∠ADG＋∠ADE＝90°. ∴∠BDG＝∠ADE. 在△BDG和△ADE中， ∴△BDG≌△ADE（SAS）． ∴BG＝AE. 【应用】∵BG＝AE， ∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．    如图3，当旋转角为270°时，BG＝AE. ∵BC＝DE＝4， ∴BG＝2＋4＝6. ∴AE＝6. 在Rt△AEF中，由勾股定理，得 AF＝＝＝2. 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 27．（12分）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图①，点E，F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． (1)思路梳理 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点、、共线，易证　　，故，，之间的数量关系为_______． (2)类比引申 如图②，点E，F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1所示： ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， ，点、、共线， ，， ，即． 在和中， ， ． ． ，即． 故答案为：；． （2）解∶． 理由：如图2所示． ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， 点、、在一条直线上． ，，． 又， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质， 旋转的性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$