第一章 特殊平行四边形（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第一章 特殊平行四边形（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 2．如图，四边形ABCD为平行四边形，四边形BCEF为菱形，BF与CD交于点G，∠A＝60°，∠BEC＝22°，则∠BGC＝（　　） A．76° B．82° C．86° D．104° 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，则AE的长是（　　） A．3 B． C． D． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BD＝8，S菱形ABCD＝24，则AH＝（　　） A．2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 5．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长交BC于点M，交AB的延长线于点G．若AF＝3，FB＝1，则MB的长为（　　） A． B．2 C． D．3 6．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E在BD上，且AE＝AD，连接CE，点F为CE的中点，连接DF，若DF＝1，则BD的长为（　　） A． B． C．2 D．3 7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝130°，则∠CDE的大小是（　　） A．65° B．40° C．25° D．20° 8．如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板．其中A型是边长为x cm的正方形，共有2块；B型是长为x cm，宽为1cm的长方形，共有4块；C型为边长为1cm的正方形，共有3块．现用这9块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠、不留空隙），则下列操作可行的是（　　） A．用全部9块纸板 B．拿掉1块A型纸板 C．拿掉1块B型纸板 D．加上1块C型纸板 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，9）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（　　） A．（4，2） B． C．（3，2） D． 10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣D方向移动，移动到点D停止，连结AP、DP，在△BAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（　　） A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③① 11．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中： ①四边形ABCD是矩形； ②当CD＝4OF时，点E是AB的中点； ③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2； ④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形， 其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（　　）s时，能够使△BPE与△CQP全等． A．1 B．1或4 C．1或2 D．2或4 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，∠ABC＝50°，则∠ACD＝　 　． 14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OE＝4，菱形ABCD的面积为80，则OB的长为　 　． 15．如图，△ABC和△DBC都是边长为1的等边三角形，点B1在BC边上，将△DBC沿BC方向平移到△D1B1C1的位置．当四边形ABD1C1为矩形时，平移距离BE1＝　 　． 16．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，则矩形EFGD的面积最小值为 　 　． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．请你判断四边形BOCE的形状，并说明理由． 18．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，AB≡10，AD＝DE＝4，求BC的长． 19．（10分）如图，平行四边形ABCD，对角线BD的中点为O，过点O作EF垂直于BD交AD，BC于点E，F，连接BE，DF．求证：四边形EBFD是菱形． 20．（11分）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，过点E作FE⊥DE，交BD于点F，AD＝2，AB＝2，BD＝4． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形． （2）求EF的长． 21．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AG＝AD，BH＝BC，连接GH，交AC、BD于点E、F． （1）试判断四边形ABHG的形状，并说明理由； （2）求证：GE＝HF． 22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接CD，BE． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）若BC＝2，连接AE，EC，求△AEC的面积． 23．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB和BC的延长线上（点E不与点A，点B重合），且CF＝AE，连接DE，DF，EF．过点D作DH⊥EF于H，连接CH． （1）求证：点H是线段EF的中点． （2）若AB＝3，CF＝1，求CH． （3）求证：点H始终在正方形ABCD的对角线AC上． 24．（12分）如图，在边长为4的正方形ABCD中， （1）如图1，DF⊥CE，垂足为点O，求证：BE＝CF； （2）如图2，FG垂直平分CE，且BE＝BF，求DG的长． 25．（13分）已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0＜t＜8）． （1）如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值； （2）如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 【解答】解：对于选项A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有； 对于选项B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分； 对于选项C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有； 对于选项D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有． 综上所述：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 故选：B． 2．如图，四边形ABCD为平行四边形，四边形BCEF为菱形，BF与CD交于点G，∠A＝60°，∠BEC＝22°，则∠BGC＝（　　） A．76° B．82° C．86° D．104° 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝60°， ∵四边形BCEF是菱形， ∴∠FBE＝∠EBC＝∠BEC＝22°， ∴∠GBC＝44°， ∴∠BGC＝180°﹣60°﹣44°＝76°， 故选：A． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，则AE的长是（　　） A．3 B． C． D． 【解答】解：连接CE，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，OA＝OC， ∵EF⊥BD， ∴EF是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， 设AE＝CE＝x，则DE＝AD﹣AE＝5﹣x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2＝32+（5﹣x）2， 解得：x＝， 即AE＝． 故选：B． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BD＝8，S菱形ABCD＝24，则AH＝（　　） A．2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，，， ∵S菱形ABCD＝24，对角线AC，BD于点O， ∴， ∴， 解得AC＝6， ∴OC＝3， ∴， ∵AH⊥BC， ∴BC•AH＝24， 即5AH＝24， ∴AH＝4.8． 故选C． 5．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长交BC于点M，交AB的延长线于点G．若AF＝3，FB＝1，则MB的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【解答】解：∵EF⊥AB， ∴∠AFE＝∠ABC＝90°， ∴EF∥BC， ∴＝， ∵AF＝3，FB＝1， ∴AB＝4＝DC， ∴＝， ∴＝， ∵DC∥AG， ∴＝＝， ∴AG＝3DC＝12， ∴BG＝AG﹣AB＝12﹣4＝8， ∴＝，即＝， ∴MB＝． 故选：C． 6．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E在BD上，且AE＝AD，连接CE，点F为CE的中点，连接DF，若DF＝1，则BD的长为（　　） A． B． C．2 D．3 【解答】解：∵D是AC的中点，F是CE的中点， ∴AE＝2DF＝2， ∴AD＝AE＝DC＝2， ∴AC＝4， ∵∠ABC＝90°， ∴BD＝AC＝2． 故选：C． 7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝130°，则∠CDE的大小是（　　） A．65° B．40° C．25° D．20° 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠AOD＝130°， ∴∠DOE＝50°， ∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣50°）＝65°， ∵DE⊥AC， ∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝40°， ∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝65°﹣40°＝25°； 故选：C． 8．如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板．其中A型是边长为x cm的正方形，共有2块；B型是长为x cm，宽为1cm的长方形，共有4块；C型为边长为1cm的正方形，共有3块．现用这9块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠、不留空隙），则下列操作可行的是（　　） A．用全部9块纸板 B．拿掉1块A型纸板 C．拿掉1块B型纸板 D．加上1块C型纸板 【解答】解：由A、B、C的边长可知，A的边与B的长边重合， C的边与B的宽边重合， 当用全部9块纸板时，多了1块C型纸板，此时无法拼出一个大的长方形，故A不符合要求； 当拿掉1块A型纸板，此时可以拼出一个大的长方形，如图1，故B符合要求； 当拿掉1块B型纸板，此时无法拼出一个大的长方 形，故C不符合要求； 当加上1块C型纸板，此时无法拼出一个大的长方形，故D不符合要求； 故选：B． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，9）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（　　） A．（4，2） B． C．（3，2） D． 【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， 将 （﹣2，9）和 （7，0）代入y＝kx+b得， ， 解得，， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+7， 由题意知，OE＝OC＝DE＝2， 将y＝2代入y＝﹣x+7， 得﹣x+7＝2， 解得，x＝5， ∴E（5，2）， ∴D（3，2）， 故选：C． 10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣D方向移动，移动到点D停止，连结AP、DP，在△BAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（　　） A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③① 【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成， 当点P与点B重合时，此时△ABP为等腰三角形， 当AP⊥AD时，此时△DAP为直角三角形； 当点P到达点C处时，此时△DAP为等边三角形； 当P为CD中点时，△ABP为直角三角形； 故选：A． 11．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中： ①四边形ABCD是矩形； ②当CD＝4OF时，点E是AB的中点； ③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2； ④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形， 其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故①正确，符合题意； ②由①可知，四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∵点O，F分别是AC，CE的中点， ∴OF是△ACE的中位线， ∴AE＝2OF， ∵CD＝4OF， ∴CD＝AB＝2AE， ∴点E是AB的中点，故②正确，符合题意； ③当点E与点D重合时，OF的值最大， ∵AD＝BC＝4， ∴AE的最大值是4， ∴OF＝＝2， 即线段OF长度的最大值是2，故③正确，符合题意； ④当∠COF＝60°时，∠OAB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠OBA＝60°， ∴∠FON＝60°， ∵∠BEN＞∠OAB， ∴∠OFN≠60°， ∴△OFN不是等边三角形，故④错误，不符合题意； 综上所述，其中正确的有3个， 故选：C． 12．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（　　）s时，能够使△BPE与△CQP全等． A．1 B．1或4 C．1或2 D．2或4 【解答】解：分两种情况： ①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP， ∵AB＝20cm，AE＝6cm， ∴EB＝14cm， ∴PC＝14cm， ∵BC＝16cm， ∴BP＝2cm， ∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动， ∴t＝2÷2＝1（s）； ②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP， 由题意得：2t＝16﹣2t， 解得：t＝4（s）， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，∠ABC＝50°，则∠ACD＝　40　． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点， ∴AD＝CD＝BD＝AB， ∴∠B＝∠BCD＝50°， ∴∠ACD＝90°﹣50°＝40°， 故答案为：40°． 14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OE＝4，菱形ABCD的面积为80，则OB的长为　10　． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴AC＝2OE＝8， ∵•AC•BD＝80， ∴BD＝20， ∴OB＝BD＝10． 故答案为：10． 15．如图，△ABC和△DBC都是边长为1的等边三角形，点B1在BC边上，将△DBC沿BC方向平移到△D1B1C1的位置．当四边形ABD1C1为矩形时，平移距离BE1＝　1　． 【解答】解：当移动距离BB1＝1时，四边形ABC1D1是矩形． 理由：连接BC1，AD1， ∵△ABD，△BDC都是边长为2的等边三角形， ∴AD＝BD＝DD1，∠ADB＝60°， ∴∠DAD1＝∠DD1A＝30°， ∴∠BAD＝60°+30°＝90°， 根据等边三角形的性质，得到AC＝B1D1，∠BB1D1＝∠ACC1， ∴△BB1D1≌△ACC1， ∴AC1＝BD1， ∵AB＝C1D1， ∴四边形ABD1C1是平行四边形， ∴平行四边形ABC1D1是矩形． 故答案为：1． 16．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，则矩形EFGD的面积最小值为 　　． 【解答】解：如图所示：连接BD交AC于点E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝BD，∠BAD＝90°，AB＝AD＝3， ∴AC＝， ∵AC，BD是正方形ABCD的对角线， ∴DB⊥AC，， ∴此时DE的长最短， ∵四边形DEFG是矩形DEFG， ∴四边形DEFG是正方形， ∴当时，矩形DEFG的面积最小， ∴矩形EFGD的面积最小值为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．请你判断四边形BOCE的形状，并说明理由． 【解答】解：四边形BOCE是矩形，理由如下， ∵BE∥AC，EC∥BD， ∴四边形BOCE是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴四边形BOCE是矩形． 18．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，AB≡10，AD＝DE＝4，求BC的长． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵E是AC的中点，DE＝4， ∴AC＝2DE＝8， 由勾股定理得：CD＝＝＝4， ∵AB＝10，AD＝4， ∴BD＝AB﹣AD＝6， ∴BC＝＝＝2． 19．如图，平行四边形ABCD，对角线BD的中点为O，过点O作EF垂直于BD交AD，BC于点E，F，连接BE，DF．求证：四边形EBFD是菱形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EDO＝∠OBF， ∵O是BD中点， ∴BO＝DO， ∵∠EOD＝∠BOF， ∴△DEO≌△BFO（ASA）， ∴ED＝BF， ∴四边形EBFD是平行四边形， 又∵EF⊥BD， ∴四边形EBFD是菱形． 20．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，过点E作FE⊥DE，交BD于点F，AD＝2，AB＝2，BD＝4． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形． （2）求EF的长． 【解答】（1）证明：在△ABD中，AD＝2，AB＝2，BD＝4， ∴AD2+AB2＝22+（2）2＝16．BD2＝42＝16， ∴AD2+AB2＝BD2， ∴∠A＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵∠A＝90°， ∴EA⊥AD， ∵FE⊥DE，DE平分∠ADB， ∴EF＝AE， ∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣AE＝2﹣EF， 在Rt△ADE和Rt△FDE中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△FDE（HL）， ∴AD＝FD＝2， ∴BF＝4﹣2＝2， 在Rt△BEF中，EF2+BF2＝BE2， ∴EF2+22＝（2﹣EF）2， ∴EF＝． 21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AG＝AD，BH＝BC，连接GH，交AC、BD于点E、F． （1）试判断四边形ABHG的形状，并说明理由； （2）求证：GE＝HF． 【解答】（1）解：四边形ABHG是平行四边形， 理由：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AD＝BC， ∵AG＝AD，BH＝BC， ∴AG∥BH，AG＝BH， ∴四边形ABHG是平行四边形． （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB＝AD＝CD， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC 同理∠ABD＝∠CBD， ∵四边形ABHG是平行四边形， ∴AB∥GH， ∴∠BAC＝∠GEA，∠ABD＝∠HFB， ∴∠DAC＝∠GEA，∠CBD＝∠HFB， ∴GE＝AG，HF＝BH， 由（1）得AG＝BH， ∴GE＝HF． 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接CD，BE． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）若BC＝2，连接AE，EC，求△AEC的面积． 【解答】解：（1）选择小星的做法： 证明：∵DE∥BC，DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴DC＝BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝DC， ∴四边形BCDE是菱形， ∴EC⊥AB； 选择小红的做法： 证明：连接EC， ∵DE∥BC，DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴DC＝BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝DC． ∴四边形BCDE是菱形， ∴AB垂直平分EC． ∴AE＝AC； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠ACE＝60°， 由（1）知△AEC是等腰三角形， ∵BC＝2， ∴EC＝AC＝2， 设EC与AB相交于点O， ∴AO＝3． ∴S△AEC＝×2×3＝3． 23．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB和BC的延长线上（点E不与点A，点B重合），且CF＝AE，连接DE，DF，EF．过点D作DH⊥EF于H，连接CH． （1）求证：点H是线段EF的中点． （2）若AB＝3，CF＝1，求CH． （3）求证：点H始终在正方形ABCD的对角线AC上． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴DC＝DA，∠DAB＝∠DCB＝∠B＝90°， ∴∠DCF＝∠DAB＝90°， 在△DCF和△DAE中， ， ∴△DCF≌△DAE（SAS）， ∴DF＝DE， ∵DH⊥EF于H， ∴EH＝FH， 即点H是线段EF的中点； （2）解：过点H向左HK⊥BF于K，如图1所示： ∵AB＝3，CF＝1， ∴BC＝AB＝3，AE＝CF＝1， ∴BF＝BC+CF＝4，BE＝AB﹣AE＝2， ∵HK⊥BF于K，∠B＝90°， ∴HK∥AB， ∵点H是线段EF的中点， ∴HK是△BEF的中位线， ∴HK＝BE＝1，BK＝FK＝BF＝2， ∴CK＝FK﹣CF＝2﹣1＝1， 在Rt△HKC中，由勾股定理得：CH＝＝； （3）法一 证明：连接AH，过点H作HK⊥BC于K，HT⊥AB于T，如图2所示： 则四边形BKHT为矩形， ∴BK＝HT，HK＝BT，HK∥AB，∠KHT＝∠BTH＝90°， 设CF＝a，HK＝b，则AE＝CF＝a，HK＝BT＝b， ∵点H是线段EF的中点，HK∥AB， ∴HK是△BEF的中位线， ∴BE＝2HK＝2b，BK＝FK＝BF， ∴BC＝AB＝AE+BE＝a+2b， ∴BF＝BC+CF＝a+2b+a＝2a+2b， ∴FK＝BK＝BF＝a+b， ∴FK＝CF+CK＝a+CK＝a+b， ∴CK＝b， ∴HK＝CK＝b， ∴△CHK为等腰直角三角形， ∴∠CHK＝45°， ∵HT＝BK＝a+b，AT＝AB﹣BT＝AB﹣HK＝a+2b﹣b＝a+b， ∴△AHT为等等腰直角三角形， ∴∠AHT＝45°， ∴∠AHC＝∠AHT+∠KHT+∠CHK＝45°+90°+45°＝180°， ∴A，H，C在同一条直线上， ∴点H始终在正方形ABCD的对角线AC上． 法二：连接AH，过点H作HM⊥AD于K，HN⊥AB于T，如图3所示： 由（1）知△DCF≌△DAE、DE＝DF ∴∠ADE＝∠CDF ∴∠ADE+∠EDC＝90° ∴∠CDF+∠EDC＝90° ∴∠EDF＝90° ∴△EDF为等腰直角三角形 ∵由（1）知EH＝FH ∴DH＝EH、∠EHD＝90° ∵HN⊥AB、HM⊥AD ∴∠ANH＝∠AMH＝90° ∵∠A＝90° ∴四边形ANHM为矩形 ∴∠NHM＝90° ∴∠NHE+∠EHM＝90° ∵∠MHD+∠EHM＝90° ∴∠NHE＝∠MHD ∴Rt△NHE≌Rt△MHD（AAS） ∴HN＝HM ∵HN⊥AB、HM⊥AD ∴点H在∠BAD的角平分线上 即点H始终在正方形ABCD的对角线AC上 24．如图，在边长为4的正方形ABCD中， （1）如图1，DF⊥CE，垂足为点O，求证：BE＝CF； （2）如图2，FG垂直平分CE，且BE＝BF，求DG的长． 【解答】（1）证明：∵正方形ABCD， ∴BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°， ∴∠BCE+∠OCD＝90°， ∵DF⊥CE，垂足为点O， ∴∠CDF+∠OCD＝90°， ∴∠BCE＝∠CDF， 在△CBE和△DCF中， ， ∴△CBE≌△DCF（ASA）， ∴BE＝CF； （2）解：连接EG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠EBC＝∠FCD＝∠A＝∠D＝90°， ∵FG垂直平分CE，且BE＝BF， ∴GE＝GC，FE＝FC，EA＝FC， 设BE＝BF＝x， 则EA＝FC＝EF＝4﹣x，， ∴， 解得， ∴， 设DG＝y， 则AG＝4﹣y， ∴AE2+AG2＝DG2+CD2， ∴， 解得， 故． 25．已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0＜t＜8）． （1）如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值； （2）如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值． 【解答】解：（1）由题意得DQ＝t cm，AP＝2t cm， ∵四边形ABCD是边长为8cm的正方形， ∴CQ＝（8﹣t）cm， 当PQ，AC互相平分时，四边形APCQ为平行四边形， ∴AP＝CQ， ∴2t＝8﹣t， 解得t＝， 即t的值为s； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°， ∵AP⊥BQ， ∴∠BAP+∠ABH＝∠ABH+∠CBQ＝90°， ∴∠BAP＝∠CBQ， ∴△ABP≌△BCQ（ASA）， ∴BP＝CQ， ∵BP＝2t﹣AB＝2t﹣8，CQ＝8﹣t， ∴2t﹣8＝8﹣t， 解得t＝， 即t的值为s． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$