第一章 勾股定理（B卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第一章 勾股定理（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．若a，b，c是△ABC的三边，且对角分别是∠A，∠B，∠C，则下列说法正确的是（　　） A．总有a2+b2＝c B．当∠B+∠C＝90°时，a2+b2＝c2 C．当∠C＝90°时，a2+c2＝b2 D．当∠A＝90°时，b2+c2＝a2 2．如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（　　） A．144 B．196 C．256 D．304 3．已知△ABC中，AB＝15，AC＝6，且BC边上的高AD＝12，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．3或15 D．15 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E．若AC＝5，BC＝12，则△ACD的周长为（　　） A．13 B．17 C．18 D．30 5．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 6．如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇AB的长是（　　） A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 7．如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（　　） A．10dm B．20dm C．30dm D．36dm 8．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（　　） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝7，则AB2+CD2等于（　　） A．45 B．49 C．50 D．53 10．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 11．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），斜边为c，给出下面三个结论：①a+b＞c；②（a+b）2＞4ab；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 12．如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个正方形，长为1的线段和为4，第二个图形有2×2个小正方形，长为1的线段和为12，第三个图形有3×3个小正方形，长为1的线段和为24，按此规律，则第50个图形中长为1的线段和为（　　） A．5100 B．3800 C．2650 D．588 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　 　． 14．在直角三角形纸片ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°，分别在AC，AB边上取一点M，N，沿着MN把△AMN剪掉，剩下的四边形BCMN恰好是一个轴对称图形，则剪掉的△AMN的面积是 　 　． 15．如图1，D是△ABC中边AB上的任一点（与点A、B不重合），连结CD．若，则称CD是AB的“智慧线”．如图2，已知AB＝7，AC＝5，∠B＝45°，若边AB上存在点D，使CD是AB的“智慧线”，则AD的长为 　 　． 16．勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学小组发现如图形：在△ABC中，∠ACB＝90°，图中以AC、BC、AB为边的四边形都是正方形，并且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为 　 　． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知△ABC的三个顶点都在格点上． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求点B到AC的距离． 18．（10分）某村有如图所示的一笔直公路AB，水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方便公路上的人用水，拟从C处铺设水管到公路上．已知AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米． （1）求∠ACB的大小； （2）求铺设水管的最小长度． 19．（10分）某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图）．他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高AB为1.5米，AB＝DE． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 20．（10分）如图，某人从A地到B地有三条路可选，第一条路从A地沿AB到达B地，AB为10米，第二条路从A地沿折线AC→CB到达B地，AC为8米，BC为6米，第三条路从A地沿折线AD→DB到达B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上． （1）求证：∠C＝90°； （2）求AD的长． 21．（10分）清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）当k＝14时，写出这一组勾股数 　 　． （2）证明“罗士琳法则”的正确性． 22．（11分）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到15米，消防车高3米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为12米． （1）求B处与地面的距离． （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 23．（11分）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得OB＝17cm，BD＝8cm． （1）试说明：OE＝BD； （2）求DE的长． 24．（13分）阅读下列材料，并完成相应任务． 教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则． 如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2的大正方形． （1）观察：图2中，大正方形的面积可以用（a+b）2表示，也可以用含a、b、c的代数式表示为 　 　，那么可以得到等式：　 　． 整理后，得到a、b、c之间的数量关系：a2+b2＝c2，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边a、b与斜边c所满足的关系式． （2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可） （3）应用：如图3，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么AB＝　 　，点D为射线BC上一点，将△ACD沿AD所在直线翻折，点C的对应点为点C1，如果点C1在射线BA上，那么CD＝　 　．（直接写出答案） 25．（13分）综合与实践 一个直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＜b），斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”） 探究活动 （1）如图1，中间围成的小正方形的边长为 　 　（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出a2，b2，c2的一个等式：　 　，并给出证明过程； 【证明】 初步运用 （2）利用上述的结论完成下列问题： ①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为 　 　； ②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是 　 　． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．若a，b，c是△ABC的三边，且对角分别是∠A，∠B，∠C，则下列说法正确的是（　　） A．总有a2+b2＝c B．当∠B+∠C＝90°时，a2+b2＝c2 C．当∠C＝90°时，a2+c2＝b2 D．当∠A＝90°时，b2+c2＝a2 【解答】解：由题意可得， A、a2+b2＝c未说明直角，错误，故不符合题意； B、∠B+∠C＝90°，则c2+b2＝a2，错误，故不符合题意； C、∠C＝90°，则a2+b2＝c2，错误，故不符合题意； D、∠A＝90°，则b2+c2＝a2，正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（　　） A．144 B．196 C．256 D．304 【解答】解：如图， 由正方形的面积公式得：AC2＝25，AD2＝169， 由勾股定理得：CD2＝AD2﹣AC2＝169﹣25＝144， ∴B所代表的正方形的面积为144， 故选：A． 3．已知△ABC中，AB＝15，AC＝6，且BC边上的高AD＝12，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．3或15 D．15 【解答】解：如图1，在△ABC中，AB＝15，AC＝6，BC边上的高AD＝12， ∴BD＝＝＝9， CD＝＝＝6， ∴BC＝BD+DC＝15； 如图2，在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12， BD＝＝＝9， CD＝＝＝6， ∴BC＝BD﹣CD＝9﹣6＝3， 综上所述，BC的长为15或3， 故选：C． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E．若AC＝5，BC＝12，则△ACD的周长为（　　） A．13 B．17 C．18 D．30 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴， ∵BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E， ∴BD＝CD， ∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18， 故选：C． 5．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【解答】解：直角三角形较短的直角边为＝6， 所以，正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4． 故选：A． 6．如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇AB的长是（　　） A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣2）尺， 因为B'E＝16尺，所以B'C＝8尺 在Rt△AB'C中，82+（x﹣2）2＝x2， 解之得：x＝17， 即芦苇长17尺． 故选：C． 7．如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（　　） A．10dm B．20dm C．30dm D．36dm 【解答】解：如图所示， ∵它的每一级的长宽高分别为24dm，3dm，3dm， ∴MN＝＝30（dm）， 即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是30dm， 故选：C． 8．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（　　） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【解答】解：连接BD， ∵BC＝9m，CD＝12m，∠C＝90°， ∴BD＝＝＝15（m）， ∵AB＝25m，AD＝20m， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴∠ADB＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝＝204（平方米）， ∴204×200＝40800（元）， 答：铺满该区域需要的费用是40800元， 故选：A． 9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝7，则AB2+CD2等于（　　） A．45 B．49 C．50 D．53 【解答】解：在Rt△AOB与Rt△COD中，由勾股定理得， AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2， ∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2 ＝AD2+BC2 ＝22+72 ＝53， 故选：D． 10．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，…… ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1， ∴当c＝n2+1＝65时，n＝8， ∴x＝63，y＝16， ∴x+y＝79， 故选：C． 11．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），斜边为c，给出下面三个结论：①a+b＞c；②（a+b）2＞4ab；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解答】解：①由三角形的两边之和大于第三边可知a+b＞c，故①正确； ②∵（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，a＞b， 即（a+b）2＞4ab，故②正确； ③∵a2+b2＝c2， ∴[（a+b）]2﹣（2c）2 ＝2（a+b）2﹣4（a2+b2） ＝2a2+4ab+2b2﹣4a2﹣4b2 ＝﹣2a2﹣2b2+4ab ＝﹣2（a﹣b）2≤0， 又a＞b，且a、b、c都大于0， ∴（a+b）与2c都大于0， ∴﹣2（a﹣b）2＜0， 即．故③正确； 故选：D． 12．如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个正方形，长为1的线段和为4，第二个图形有2×2个小正方形，长为1的线段和为12，第三个图形有3×3个小正方形，长为1的线段和为24，按此规律，则第50个图形中长为1的线段和为（　　） A．5100 B．3800 C．2650 D．588 【解答】解：∵第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4＝2×1×2， 第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12＝2×2×3， 第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24＝2×3×4， •••， 按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）． 则第50个图形中长为1的线段和为：2×50×（50+1）＝5100． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　7　． 【解答】解：∵∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2， ∴OB2＝OA2+AB2＝22+12＝5； 同理，OC2＝OB2+BC2＝5+1＝6， ∴OD2＝OC2+CD2＝6+1＝7． 故答案为：7． 14．在直角三角形纸片ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°，分别在AC，AB边上取一点M，N，沿着MN把△AMN剪掉，剩下的四边形BCMN恰好是一个轴对称图形，则剪掉的△AMN的面积是 　1.5或　． 【解答】解：如图，四边形BCMN是轴对称图形， ∵BC＝3，AC＝4，∠C＝90°， ∴AB＝＝5， ∵四边形BCMN是轴对称图形， ∴BN＝BC＝3，MN＝CM， ∴AN＝5﹣3＝2， 令MN＝x， ∴AM＝AC﹣CM＝4﹣x， ∵AM2＝MN2+AN2， ∴（4﹣x）2＝x2+22， ∴x＝1.5， ∴MN＝1.5， ∴△AMN的面积＝AN•MN＝×2×1.5＝1.5； 如图，四边形BCMN是轴对称图形， 连接CN，过N作NK⊥AC于K，NL⊥BC于L， ∵四边形BCMN是轴对称图形， ∴CN平分∠ACB，CM＝BC＝3， ∴NK＝NL， ∵△ACB的面积＝△ACN的面积+△BCN的面积， ∴BC•AC＝AC•NK+BC•NL， ∴3×4＝4NK+3NK， ∴NK＝， ∵AM＝AC﹣MC＝4﹣3＝1， ∴△AMN的面积＝AM•NK＝×1×＝， ∴剪掉的△AMN的面积是1.5或． 故答案为：1.5或． 15．如图1，D是△ABC中边AB上的任一点（与点A、B不重合），连结CD．若，则称CD是AB的“智慧线”．如图2，已知AB＝7，AC＝5，∠B＝45°，若边AB上存在点D，使CD是AB的“智慧线”，则AD的长为 　4﹣或3+　． 【解答】解：过C作CE⊥AB，在AB上找一点D，连接CD，使CD＝AB，如图2所示， 在Rt△BCE中，∠B＝45°，∠CEB＝90°， ∴∠ECB＝∠B＝45°， ∴CE＝BE， 设CE＝BE＝x， ∵AB＝7， ∴AE＝AB﹣BE＝7﹣x， 在Rt△ACE中，AC＝5，AE＝7﹣x，CE＝x， 根据勾股定理得：AE2+CE2＝AC2，即（7﹣x）2+x2＝52， 解得：x1＝3，x2＝4， 当x＝3时，AD＝7﹣x＝4，在Rt△CDE中，CD＝3.5，CE＝3， 根据勾股定理得：DE＝＝＝， 此时AD＝AE﹣DE＝4﹣； 当x＝4时，如图3所示，AD＝7﹣x＝3，在Rt△CDE中，CD＝3.5，CE＝3， 根据勾股定理得：DE＝＝＝， 此时AD＝AE+DE＝3+， 综上所述，AD＝4﹣或3+． 故答案为：4﹣或3+． 16．勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学小组发现如图形：在△ABC中，∠ACB＝90°，图中以AC、BC、AB为边的四边形都是正方形，并且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为 　625　． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴S＝225+400＝625． 故答案为：625． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知△ABC的三个顶点都在格点上． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求点B到AC的距离． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下： 由网格的特点和勾股定理可知，， ∴AB＝BC， ∴△ABC是等腰三角形； （2）设点B到AC的距离为h， 由网格的特点和勾股定理可知， ∵， ∴，即， ∴， ∴点B到AC的距离为． 18．某村有如图所示的一笔直公路AB，水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方便公路上的人用水，拟从C处铺设水管到公路上．已知AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米． （1）求∠ACB的大小； （2）求铺设水管的最小长度． 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米， ∵AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小， ∵△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC， ∴AB•CD＝AC•BC， ∴200CD＝120×160， 解得：CD＝96， ∴铺设水管的最小长度为96米． 19．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图）．他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高AB为1.5米，AB＝DE． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225， 所以，CD＝15（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝15+1.5＝16.5（米）， 答：风筝的高度CE为16.5米； （2）由题意得，CM＝9， ∴DM＝6， ∴BM＝＝＝10（米）， ∴BC﹣BM＝17﹣10＝7（米）， ∴他应该往回收线7米． 20．如图，某人从A地到B地有三条路可选，第一条路从A地沿AB到达B地，AB为10米，第二条路从A地沿折线AC→CB到达B地，AC为8米，BC为6米，第三条路从A地沿折线AD→DB到达B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上． （1）求证：∠C＝90°； （2）求AD的长． 【解答】（1）证明：∵AC＝8米，BC＝6米，AB＝10米， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°； （2）解：设AD＝x米，则BD＝（26﹣x）米， ∴CD＝BC+BD＝6+26﹣x＝（32﹣x）（米）， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：82+（ 32﹣x）2＝x2， 解得：x＝17， 答：AD的长为17米． 21．清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）当k＝14时，写出这一组勾股数 　14，48，50　． （2）证明“罗士琳法则”的正确性． 【解答】解：（1）当k＝14时，＝48，， 故答案为：14，48，50； （2）证明： ＝ ＝． ∴当k大于2时， ∴如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数． 22．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到15米，消防车高3米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为12米． （1）求B处与地面的距离． （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 【解答】解：（1）在Rt△OAB中， ∵AB＝15米，OA＝12米， ∴OB＝＝＝9（米）， ∴BE＝OB+OE＝9+3＝12（米）． 答：B处与地面的距离是12米； （2）在Rt△OCD中， ∵CD＝15米，OD＝OB+BD＝9+3＝12（米）， ∴OC＝＝＝9， ∴AC＝OA﹣OC＝12﹣9＝3（米）． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为3米． 23．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得OB＝17cm，BD＝8cm． （1）试说明：OE＝BD； （2）求DE的长． 【解答】（1）证明：∵OB⊥OC， ∴∠BOD+∠COE＝90°， 又∵CE⊥OA，BD⊥OA． ∴∠CEO＝∠ODB＝90°， ∴∠BOD+∠B＝90°， ∴∠COE＝∠B， 在△COE和△OBD中， ， ∴△COE≌△OBD（AAS）， ∴OE＝BD； （2）解：在Rt△OBD中，＝15（cm）， 由（1）得OE＝BD＝8cm， ∴DE＝OD﹣OE＝15﹣8＝7（cm）． 24．阅读下列材料，并完成相应任务． 教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则． 如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2的大正方形． （1）观察：图2中，大正方形的面积可以用（a+b）2表示，也可以用含a、b、c的代数式表示为 　4×ab+c2　，那么可以得到等式：　（a+b）2＝4×ab+c2　． 整理后，得到a、b、c之间的数量关系：a2+b2＝c2，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边a、b与斜边c所满足的关系式． （2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可） （3）应用：如图3，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么AB＝　5　，点D为射线BC上一点，将△ACD沿AD所在直线翻折，点C的对应点为点C1，如果点C1在射线BA上，那么CD＝　或6　．（直接写出答案） 【解答】解：（1）由图形可知：正方形的面积也可表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即4×ab+c2， ∵用不同的方法表示同一个图形的面积，面积不变， ∴（a+b）2＝4×ab+c2， 故答案为：4×ab+c2，（a+b）2＝4×ab+c2； （2）答案不唯一，比如： （3）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理，得AB＝＝＝5， 点D为射线BC上一点，分两种情况： ①点D在BC上时，如图， 设CD＝x，由翻折可知C'D＝x，BD＝BC﹣CD＝4﹣x，BC'＝AB﹣AC'＝AB﹣AC＝5﹣3＝2， 在Rt△BDC'中， 由勾股定理，得BD2＝BC'2+DC'2， 即（4﹣x）2＝22+x2， 解得x＝； ②点D在BC的延长线上时，如图， 设CD＝y，由翻折可知C'D＝y，BD＝BC+CD＝4+y，BC'＝AB+AC'＝AB+AC＝5+3＝8， 在Rt△BDC'中， 由勾股定理，得BD2＝BC'2+DC'2， 即（4+y）2＝82+y2， 解得y＝6． 故答案为：或6． 25．综合与实践 一个直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＜b），斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”） 探究活动 （1）如图1，中间围成的小正方形的边长为 　b﹣a　（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出a2，b2，c2的一个等式：　a2+b2＝c2　，并给出证明过程； 【证明】 初步运用 （2）利用上述的结论完成下列问题： ①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为 　100或28　； ②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是 　　． 【解答】解：（1）中间围成的小正方形的边长为较长的直角边减去较短的直角边，即b﹣a， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积+中间的小正方形的面积， 可表示为：， 正方形的面积还可以表示为：c2， ∴，化简得a2+b2＝c2． （2）①当6，8为直角边时， 斜边的平方＝62+82＝100； 当8为斜边时， 第三边的平方＝82﹣62＝28； ②如图，设正方形G，H，E的边长分别为a，b，c， 根据勾股定理可得：a2+b2＝c2， ∴正方形G，H的面积之和等于正方形E的面积， 同理可得：正方形E的面积等于正方形A，B，C，D的面积的和， ∴正方形E的面积为3+5+2+3＝13， ∴正方形E的边长为． 试卷第2页，共36页 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