第19讲 反比例函数及其图象和性质（4大考点9大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

第19讲 反比例函数及其图象和性质 课程标准 学习目标 结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式； 会用描点法画出反比例函数的图象； 知道当k>0和k<0时反比例函数 (k≠0)图象的整体特征． 1、理解反比例函数的概念，会判断一个函数是不是反比例函数。 2、能结合具体问题确定反比例函数的表达式，并会确定实际问题中自变量的取值范围，求出函数值。 3、能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双曲线。 4、理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问题。 5、理解反比例函数中的比例系数k的几何意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面积问题。 知识点一：反比例函数的概念及表达式 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 知识点二：反比例函数图象的画法 （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 知识点三：反比例函数的图象与性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 2.反比例函数的性质 （1）当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； （3）反比例的图像关于原点的对称、关于直线对称； 知识点四：反比例函数表达式中比例系数k的几何意义 通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为，与两条坐标轴围成矩形面积为，注意加绝对值时，有正负两个答案． 题型01 用反比例函数表示数量关系 1．下列说法正确的是（    ） A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系； B．车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系； C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系； D．圆的周长与直径成正比例关系． 【答案】D 【分析】分别利用反比例函数、正比例函数关系分别分析得出答案． 【详解】解：A、一个人的体重与他的年龄成正比例关系，错误，不符合题意； B、车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成正比例关系，不符合题意；； C、周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系,错误，不符合题意； D、圆的周长故与直径成正比例关系,符合题意． 故选：D 【点睛】此题主要考查了反比例函数、正比例函数关系，正确得出函数关系是解题关键． 2．已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是（    ） A．当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系； B．当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大； C．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系； D．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系． 【答案】C 【分析】根据正比例函数关系和反比例函数关系的定义进行判断即可． 【详解】解：A．在中，当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系，故选项正确，不符合题意； B．在中，当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大，故选项正确，不符合题意； C．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项不正确，符合题意； D．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了正比例函数关系和反比例函数关系，熟练掌握正比例函数关系和反比例函数关系的定义是解题的关键． 3．若某城市市区人口x万人，市区绿地面积100万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据题意平均每人拥有绿地面积，列出函数关系式即可得出答案． 【详解】解：由城市市区人口x万人，市区绿地面积100万平方米， 则平均每人拥有绿地面积为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式进行求解是解决本题的关键． 4．计划修建铁路，那么铺轨天数是每日铺轨量的反比例函数吗？ 【答案】，y是x的反比例函数 【分析】铺轨天数铁路长每日铺轨量，把相关数值代入即可得到与之间的函数关系式，根据反比例函数的一般形式判断是否为反比例函数即可． 【详解】解：铺轨天数铁路长每天铺轨量， ， ∴是的反比例函数． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式为，关键是得到与之间的函数关系式． 题型02 根据反比例函数定义求参数 5．若函数是反比例函数，的值是（　　） A． B．1 C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义求出的值即可． 【详解】∵是反比例函数， ∴， 解得． 故选：A 6．若函数为反比例函数，则m的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，根据题意列出关于m的方程是解题的关键． 根据反比例函数的定义列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵函数为反比例函数， ∴，解得． 故答案为：0． 7．若函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可解答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，， 解得． 故答案为： 8．已知是关于的反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型03 求反比例函数的自变量或函数值 9．如果y是x的反比例函数，那么当x增加它的时，y将（    ） A．减少它的 B．减少它的 C．增加它的 D．增加它的 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据y是x的反比例函数，得出，根据当x增加它的时，自变量变为，设因变量变为，得出，求出，得出答案． 【详解】解：∵y是x的反比例函数， ∴， 当x增加它的时，自变量变为，设因变量变为，则： ， ∴， ∴y将减少它的， 故选：B． 10．在反比例函数中，当时， ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数的定义，将代入反比例函数中，解出即可．由已知函数解析式和函数值求相应的自变量的值． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 11．反比例函数中，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查反比例函数解析式，直接将代入求出y的值即可． 【详解】解：反比例函数中， 当时，， 故答案为：3． 12．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为，当时，I的值为 A． 【答案】5 【分析】本题考查了求反比例函数值，掌握反比例函数图像的点必然满足函数解析式成为解题的关键． 把代入函数表达式即可求出I的值． 【详解】解：当时，． 故答案为：5． 13．已知反比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】直接将点代入求出a即可． 【详解】解：直接将点代入，则， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数知识和计算准确性是解决本题的关键，难度较小． 14．已知反比例函数． (1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据是反比例函数的比例系数，在分母上求出取值范围即可； （2）把，代入解析式，求出值，即可得解； （3）把，代入解析式，求出值，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：把，代入得：； ∴当时函数的值为：； （3）解：把，代入得：，解得：； ∴当时的值为：． 【点睛】本题考查反比例函数的定义以及求自变量或函数值．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键． 题型04 利用反比例函数求解析式 15．已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数． （1）设，则，然后利用待定系数法即可求得； （2）把代入（1）求得函数解析式求解． 【详解】（1）解：设， 则， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：； （2）解：当时，． 16．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，． (1)求y的表达式； (2)求当时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意得出，，根据，当时，，当时，得出、的函数关系式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式，求出的值即可． 本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出与的函数关系式是解答此题的关键． 【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例， ，， ，当时，，当时，． ， ，， ； （2）解：当，． 17．已知函数，与成正比例函数，与x成反比例函数，当时，，当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解正比例、反比例的含义． （1）根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式，计算即可得解； （2）把代入（1）中所求函数解析式，计算求y即可． 【详解】（1）解：设，     则 把代入得 ， ∴ ∴ （2）当时     18．已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查求函数表达式，设，待定系数法求出，即可．掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键． 【详解】解：设， 则：， 由题意，得：，解得：， ∴． 题型05 反比例函数图象与参数之间的关系 19．若反比例函数的图像在第二、四象限，则的最大整数值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键；根据图像所在的象限，可知，即可求解； 【详解】解：， ， 的最大整数是， ∴选：B. 20．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． 21．如图是反比例函数的图像，写出一个符合要求的整数的值是 ． 【答案】1（或2或3） 【分析】本题主要考查反比例函数图像的性质：（1）时，图像是位于一、三象限；（2）时，图像是位于二、四象限． 反比例函数是常数，的图像在第一象限，则，再根据反比例函数的图像经过点，找出符合上述条件的的一个值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像在一象限， ， 又∵反比例函数的图像经过点时，． ， ∴的值可以是1． 故答案为：1． 22．如图是反比例函数的图象，那么实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例的函数图象经过第一、三象限，得，直接解答即可．本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 【详解】解：∵反比例的函数图象经过第一、三象限 ∴， 故． 故答案为：． 题型06 反比例函数的增减性与参数之间的关系 23．在函数的图象上有三点，，，已知，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，判断出反比例函数在每个象限的增减性，进而可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：A． 24．若点都在反比例函数的图象上，若则的大小关系是 ．（请用“”号连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 由，可得函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小，进而得到的大小关系． 【详解】解：， 反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小， 又， ，且， ， 故答案为：． 25．反比例函数的图象，当时，随的增大而 ． 【答案】减小 【分析】根据反比例函数解析式及反比例函数的性质即可解答．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小是解答此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小， 故答案为：减小． 26．如果反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小，那么满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的图像与性质是解题关键．对于反比例函数，当时，该反比例函数的图像在第一、三象限，且在每一个象限内，函数值随自变量的增大而减小；当时，该反比例函数的图像在第二、四象限，且在每一个象限内，函数值随自变量增大而增大．根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小， ∴， 解得． 故答案为：． 27．反比例函数，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，则 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质和定义，反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大． 直接利用反比例函数的性质和定义得出且，进而得出的值． 【详解】解：在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减少， 且， ， 故答案为：． 28．已知点都在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上得到坐标特征解答即可． 【详解】解：，， 反比例函数在各个象限内，随的增大而增大， 点、在同在第四象限，，即． 故答案为：． 题型07 利用图形面积求比例系数k 29．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，得到，，再根据题意得到，计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵点A，B在反比例函数的图象上，，， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 解得，（舍去）． 故选：B． 30．如图，过反比例函数图象上的一点A作轴于点B，连接，若，则k的值是（　　） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数值k的几何意义，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． 根据反比例函数 k 值的几何意义可知|，再根据图象所在象限确定 k 的符号即可． 【详解】解：， ， 函数图象在第二象限， ． 故选：D． 31．如图，点A是函数（）图象上一点，点B是（，）图象上一点，点C在x轴上，连结，，．若轴，，则（    ）． A．4 B．2 C．2.5 D．5 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． 连接，如图所示，得到，再结合反比例函数的几何意义即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 轴， ， ， ，解得， 故选：D． 32．如图，在平面直角坐标系中，若将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，已知点，连接、，则图中阴影部分的面积为4则该函数的解析式中的k值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平移的性质，反比例函数图象的性质.如图，过作于，由将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上， ∴ ∴， 故选：B. 33．如图，平行四边形的顶点B在x轴上，点A在上，且轴，对角线的延长线交y轴于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积、平行四边形的性质，熟练掌握k值几何意义是关键． 设与x轴交于点，连接，根据，， 且，可得 ，再利用，，继而求出值． 【详解】解：设与x轴交于点，连接， ∵ ， ， 且， ， 又∵， ， ， 反比例函数在第二象限， . 故选：B. 题型08 利用比例系数k求图形面积 34．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为(  ) A．1 B．2 C．4 D．无法计算 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：A． 35．如图，反比例函数，点位于反比例函数图像上，垂直于轴，点在轴从上往下运动的过程中，三角形的面积变化情况是（    ）    A．不变 B．一直变大 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，反比例函数比例系数的几何意义，，根据平行线的性质和反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点位于反比例函数图像上， ∴， 故选：A．    36．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象与平行四边形综合，利用反比例函数的几何意义或利用设元法解决是关键．设，可表示出点坐标，便得和的长，即可得平行四边形的面积． 【详解】解：设， ∵轴，点在双曲线上，点在双曲线上， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形的面积， 故选：D． 37．如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由的几何意义得，即，即可求解；理解的几何意义“过反比例函数上任意一点作轴（轴）的垂线，则此点、垂足、坐标原点所构成的三角形面积为．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ； 故选：C． 38．如图，点均在反比例函数的图象上，轴于点轴于点，连接，若，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】由可得到的值为8，由方得到，再结合轴，点B在反比例函数的图象上，可得到，则． 本题考查了反比例函数的面积计算，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由，得到的值为8，由，得到， ∵轴，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：3． 题型09 反比例函数图象和性质的综合判断 39．对于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象分布在第一、三象限 B．它的两支图象关于原点对称 C．当时，则 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由得反比例函数的图象分布在第一、三象限，正确，不符合题意； B、反比例函数的两支图象关于原点对称，正确，不符合题意； C、当时，反比例函数的图象在第三象限，且y随x的增大而减小，则，原说法正确，不符合题意； D、反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意， 故选：D． 40．已知反比例函数 ，则下列描述不正确的是（     ） A．图象位于第一、三象限 B．图象必经过 C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质； 根据反比例函数的图象与系数的关系，以及反比例函数图象上点的坐标特征逐项判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴图象位于第一、三象限，正确； B.∵当时，， ∴图象必经过，正确； C.图象不可能与坐标轴相交，正确 D.∵， ∴图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，描述错误； 故选：D． 41．已知反比例函数，下列结论不正确的是（       ） A．图象必经过点 B．在每一象限内，随的增大而增大 C．若，则 D．图象位于第二、四象限内 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．进行判断即可．掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：A、反比例函数的图象必经过点，原说法正确，不合题意； B、，在每一象限内，随的增大而增大，原说法正确，不符合题意； C、若，则，原说法错误，符合题意； D、，函数的图象分别位于第二、四象限，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 42．下列说法中不正确的是（ ） A．函数的图象经过原点 B．函数的图象位于第一、三象限 C．函数的图象不经过第二象限 D．函数的值随值增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数、一次函数及反比例函数的性质，属于函数的基础性知识，解题的关键是了解有关函数的性质，难度不大． 利用正比例函数、一次函数及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：、函数是正比例函数， 函数的图象经过原点，故A正确，不符合题意； B、， 函数的图象位于第一、三象限，故B正确，不符合题意； C、，， 函数的图象经过第一、三、四象限，故C正确，不符合题意； D、， 当或时，函数的值随值增大而增大，故D错误，符合题意． 故选：D． 43．下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质等知识点，理解相关定义成为解题的关键． 根据反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质逐个判断即可． 【详解】解：（1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且，说法正确； （2）单曲线不是反比例函数，说法错误； （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数，说法正确； （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定，说法错误； （5）直线是常值函数，常值函数是函数，说法错误； （6）直线不是函数，说法错误． 综上，正确的有2个正确． 故选B． 44．如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 设，，根据三角形的面积公式和的几何意义，即可求出结果． 【详解】解：设，， 则， ， 点，在反比例函数的图象上， ， ． 故选：B． 45．如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．15 B．12 C．10 D．18 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的几何意义，设反比例函数为，设，得到，，，求出，得到，求出，得到，，列得，得到，进而求出，即可得到． 【详解】解：设反比例函数为, ∴， ∵，， ∴设， ∴， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴，， ∴， 得 ∴ ∵ ∴． 故选A． 46．如图，已知点，过点P作轴于点M，轴于点，反比例函数的图象交于点A，交于点，若四边形的面积为，则k的值为（　　） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【详解】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是学会用方程的思想思考问题． 根据反比例函数系数k的几何意义，利用，即可解决问题． 【解答】解：∵轴于点M，轴于点N， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴，， ∴， ∵点A、B在反比例函数 ∴， ∵， 即， ∵， ∴， 故选：A． 47．在函数（为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数值的大小比较．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知函数（为常数）的图象在第二、四象限，在第二象限中随的增大而增大，且；在第四象限中随的增大而增大，且；然后比较大小即可． 【详解】解：由题意知，， ∴函数（为常数）的图象在第二、四象限， 在第二象限中随的增大而增大，且；在第四象限中随的增大而增大，且； ∵， ∴， 故选：D． 48．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，则的值为（    ） A．27 B．48 C．54 D．108 【答案】D 【分析】过作于F，交于E，设，，，通过证明，得到 ，解方程组求得m与n的值，即可得到的坐标进而得到反比例函数中k的值． 【详解】解：如图所示 过A′作于F，交于E，由折叠性质以及正方形性质可得：， ， 设， ∴，． ∵ 正方形的边、分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点， ∴ ，． ∵， 即 解得：，．经检验符合题意； ∴ ∴ 反比例函数中， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何问题的综合运用，涉及到正方形的性质、折叠性质、反比例函数图像上点的坐标特征以及三角形相似的判定和性质，运用相关知识求得的坐标是解决本题的关键． 49．如图，在四边形中，，，，平分．设，，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，通过添加辅助线证明是解本题的关键． 先证明，过点作于点，证明，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案． 【详解】解：过点作于点． ， ， 平分， ， ，则，即为等腰三角形， 则垂直平分， ，， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：D． 二、填空题 50．从，，3，6四个数中任意取一个数作点P的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n，则点落在反比例函数图象上的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数与概率结合，解题的关键是掌握反比例函数的性质，以及画树状图求概率的方法．首先利用树状图法求出所有可能的结果，然后求出点落在反比例函数图象上的结果，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中点P在反比例函数图象上的有4种结果：， ∴点落在反比例函数图象上的概率是． 故答案为：． 51．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是点B关于原点O的对称点，连接，则的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特性、点的坐标规律，设，则，，可得，再根据反比例函数图象上点的特征可得，即可求解． 【详解】解：设，则，， ∴，， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：10． 52．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程． 先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 53．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，延长至点，使，点是轴上任意一点，连接，，若的面积是9，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了两点之间距离公式、三角形的面积公式、解一元一次方程，理解反比例函数图象上的点都满足反比例函数的解析式是解题的关键． 设点的坐标为，即可表示出和的长，再由可得出的长，最后由三角形的面积公式列方程即可得出结果． 【详解】解：设点的坐标为，则，， ， ， ， ， 即， 解得． 故答案为：6． 54．如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点在轴上，，若的面积等于8，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数比例图象上点的特征、等腰三角形三线合一的性质、三角形的面积．要求学生掌握设而不求的方法解题．设，过点A作轴于点E，表示出、，结合的面积即可求出k的值． 【详解】解：设，则， ， ，， 过点A作轴于点E， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 55．如图，在平面直角坐标系中，的边轴，边轴，且点在反比例函数（k为大于0的常数，）的图象上．若的面积是2，则k的值是 ． 【答案】8 【分析】根据边轴，边轴，得到，根据题意，，结合反比例函数的性质解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵边轴，边轴， ∴， 根据题意，，的面积是2， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：8． 56．如图，点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，线段交x轴于点E，连接．若，四边形的面积为9，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，设，结合点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，得出，结合四边形的面积为9，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设， ∵点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D， ∴ ∵四边形的面积为9 ∴ 即 解得 故答案为：4 57．已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与的关系，进而得出答案． 【详解】解：函数，当时，函数的最大值为， 时，， ，当时，函数的最小值为， 当时，， ， 故， 解得：． 故答案为：2． 58．如图，点，分别在函数图像的两支上（在第一象限），连结交轴于点．点，在函数图像上，轴，轴，连结，．若，的面积为12，四边形的面积为15，则的值为 ． 【答案】 【分析】依据题意，设，再由轴，轴，，可得，，，再结合的面积为12，四边形的面积为15，即可得解. 【详解】解：设， ∵轴，且点E在函数上， ∴. ∵，且点B在函数上， ∴. ∵轴，点D在函数上， ∴. ∵的面积为12， ∴. ∴. 【点睛】本题主要考查反比例函数与图形的综合，掌握反比例函数图象的性质，几何图形点坐标的计算方法，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算方法是解题的关键． 59．如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接，作轴，设点，，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【详解】解：如图， 作轴于G，连接，设和交于I， 设点，， 由对称性可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴(， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴），即：， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴， ∵直线的解析式为：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 三、解答题 试卷第38页，共41页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 反比例函数及其图象和性质 课程标准 学习目标 结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式； 会用描点法画出反比例函数的图象； 知道当k>0和k<0时反比例函数 (k≠0)图象的整体特征． 1、理解反比例函数的概念，会判断一个函数是不是反比例函数。 2、能结合具体问题确定反比例函数的表达式，并会确定实际问题中自变量的取值范围，求出函数值。 3、能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双曲线。 4、理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问题。 5、理解反比例函数中的比例系数k的几何意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面积问题。 知识点一：反比例函数的概念及表达式 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 知识点二：反比例函数图象的画法 （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 知识点三：反比例函数的图象与性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 2.反比例函数的性质 （1）当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； （3）反比例的图像关于原点的对称、关于直线对称； 知识点四：反比例函数表达式中比例系数k的几何意义 通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为，与两条坐标轴围成矩形面积为，注意加绝对值时，有正负两个答案． 题型01 用反比例函数表示数量关系 1．下列说法正确的是（    ） A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系； B．车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系； C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系； D．圆的周长与直径成正比例关系． 2．已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是（    ） A．当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系； B．当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大； C．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系； D．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系． 3．若某城市市区人口x万人，市区绿地面积100万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为 ． 4．计划修建铁路，那么铺轨天数是每日铺轨量的反比例函数吗？ 题型02 根据反比例函数定义求参数 5．若函数是反比例函数，的值是（　　） A． B．1 C． D．不能确定 6．若函数为反比例函数，则m的值是 ． 7．若函数是反比例函数，则 ． 8．已知是关于的反比例函数，则 ． 题型03 求反比例函数的自变量或函数值 9．如果y是x的反比例函数，那么当x增加它的时，y将（    ） A．减少它的 B．减少它的 C．增加它的 D．增加它的 10．在反比例函数中，当时， ． 11．反比例函数中，，则 ． 12．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为，当时，I的值为 A． 13．已知反比例函数的图象经过点，则 ． 14．已知反比例函数． (1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 题型04 利用反比例函数求解析式 15．已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 16．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，． (1)求y的表达式； (2)求当时的值． 17．已知函数，与成正比例函数，与x成反比例函数，当时，，当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 18．已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 题型05 反比例函数图象与参数之间的关系 19．若反比例函数的图像在第二、四象限，则的最大整数值是（　　） A． B． C． D． 20．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 21．如图是反比例函数的图像，写出一个符合要求的整数的值是 ． 22．如图是反比例函数的图象，那么实数m的取值范围是 ． 题型06 反比例函数的增减性与参数之间的关系 23．在函数的图象上有三点，，，已知，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 24．若点都在反比例函数的图象上，若则的大小关系是 ．（请用“”号连接） 25．反比例函数的图象，当时，随的增大而 ． 26．如果反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小，那么满足的条件是 ． 27．反比例函数，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，则 28．已知点都在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围为 ． 题型07 利用图形面积求比例系数k 29．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 30．如图，过反比例函数图象上的一点A作轴于点B，连接，若，则k的值是（　　） A．4 B． C．8 D． 31．如图，点A是函数（）图象上一点，点B是（，）图象上一点，点C在x轴上，连结，，．若轴，，则（    ）． A．4 B．2 C．2.5 D．5 32．如图，在平面直角坐标系中，若将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，已知点，连接、，则图中阴影部分的面积为4则该函数的解析式中的k值是（    ） A．4 B．8 C． D． 33．如图，平行四边形的顶点B在x轴上，点A在上，且轴，对角线的延长线交y轴于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 题型08 利用比例系数k求图形面积 34．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为(  ) A．1 B．2 C．4 D．无法计算 35．如图，反比例函数，点位于反比例函数图像上，垂直于轴，点在轴从上往下运动的过程中，三角形的面积变化情况是（    ）    A．不变 B．一直变大 C．先变大后变小 D．先变小后变大 36．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（    ） A．2 B． C． D．1 38．如图，点均在反比例函数的图象上，轴于点轴于点，连接，若，则的面积为 ． 题型09 反比例函数图象和性质的综合判断 39．对于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象分布在第一、三象限 B．它的两支图象关于原点对称 C．当时，则 D．y随x的增大而减小 40．已知反比例函数 ，则下列描述不正确的是（     ） A．图象位于第一、三象限 B．图象必经过 C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小 41．已知反比例函数，下列结论不正确的是（       ） A．图象必经过点 B．在每一象限内，随的增大而增大 C．若，则 D．图象位于第二、四象限内 42．下列说法中不正确的是（ ） A．函数的图象经过原点 B．函数的图象位于第一、三象限 C．函数的图象不经过第二象限 D．函数的值随值增大而增大 43．下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 44．如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 45．如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．15 B．12 C．10 D．18 46．如图，已知点，过点P作轴于点M，轴于点，反比例函数的图象交于点A，交于点，若四边形的面积为，则k的值为（　　） A．6 B． C．12 D． 47．在函数（为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（    ） A． B． C． D． 48．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，则的值为（    ） A．27 B．48 C．54 D．108 49．如图，在四边形中，，，，平分．设，，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（　　） A． B． C． D． 50．从，，3，6四个数中任意取一个数作点P的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n，则点落在反比例函数图象上的概率是 ． 51．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是点B关于原点O的对称点，连接，则的面积为 ． 52．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 53．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，延长至点，使，点是轴上任意一点，连接，，若的面积是9，则的值是 ． 54．如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点在轴上，，若的面积等于8，则的值为 ． 55．如图，在平面直角坐标系中，的边轴，边轴，且点在反比例函数（k为大于0的常数，）的图象上．若的面积是2，则k的值是 ． 56．如图，点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，线段交x轴于点E，连接．若，四边形的面积为9，则k的值为 ． 57．已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 58．如图，点，分别在函数图像的两支上（在第一象限），连结交轴于点．点，在函数图像上，轴，轴，连结，．若，的面积为12，四边形的面积为15，则的值为 ． 59．如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 试卷第38页，共41页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$