第08讲 二次函数y＝a(x-h)²＋k的图象和性质（2个知识点+2种题型+分层练习） -2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第08讲 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 （2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1：二次函数的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点2：二次函数的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 要点归纳： 二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 题型强化 题型一、y=a（x-h）²的图象和性质 1．（22-23九年级上·广西贺州·期中）二次函数的开口方向是 ． 2．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知抛物线上的两点和，那么下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3)． 题型二、y=a（x-h）²+k的图象和性质 4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为 ． 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知抛物线的顶点坐标是，且图象经过点，求a，h的值． 分层练习 一、单选题 1．二次函数图象的对称轴是（　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．对于二次函数，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 4．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．对于函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为0 D．交y轴于点 6．顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（     ） A． B． C． D． 7．抛物线与坐标轴交点的个数（    ）． A．必定是1个 B．必定是2 个 C．必定是3个 D．可以是1个也可以是2个 8．设二次函数图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 9．若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 10．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．函数图象的顶点坐标为 ． 12．抛物线顶点坐标为 ． 13．抛物线解析式为 ，则该抛物线的顶点坐标为 ． 14．已知点，在抛物线上，则 （比较大小关系）． 15．若为二次函数图象上三点，则的大小关系为 ． 16．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 17．如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 18．在平面直角坐标系中，抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，且的面积为4，则a的值为 ． 三、解答题 19．（1）求抛物线的顶点坐标及对称轴方程； （2）当为何值时，随的增大而增大 20．抛物线经过点． (1)求的值； (2)写出该抛物线顶点坐标，对称轴． 21．已知抛物线经过点． (1)求b的值； (2)判断点是否在此抛物线上？ 22．已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． 23．已知二次函数． (1)二次函数图象的开口方向是______，对称轴是直线______，顶点坐标为______． (2)当______时，y有最小值是_____． (3)当时，____． (4)当x______时，y随x的增大而减小． 24．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 25．已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中． 若抛物线的对称轴为， ①m的值为_ ﹔ ②当时，有 （填“”，“”或“”） ． 当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围． 26．在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数图象可得如下结论． 如果抛物线与x轴有公共点的横坐标是，那么当x＝时，函数值是0，因此是方程的一个根． 同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题 (1)若二次函数（m为常数）与x轴两交点的横坐标为，，，求二次函数的解析式； (2)不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标； (3)在（1）的条件下，当，时，对应的函数值为N，Q，若求证： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 （2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1：二次函数的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点2：二次函数的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 要点归纳： 二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 题型强化 题型一、y=a（x-h）²的图象和性质 1．（22-23九年级上·广西贺州·期中）二次函数的开口方向是 ． 【答案】向下 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，当时，开口向上，当时，开口向下．根据二次项系数的符号，直接判断抛物线开口方向． 【详解】解：因为，所以抛物线开口向下． 故答案为：向下． 2．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知抛物线上的两点和，那么下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．由解析式求得二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据、到对称轴的距离的大小即可判断． 【详解】解：， 二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 和， ， ， 故选：C． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3)． 【答案】(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为 (2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为 (3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； （2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； （3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为； （3）解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型二、y=a（x-h）²+k的图象和性质 4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数为常数，，顶点坐标是，据此求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得抛物线的对称轴为，则抛物线与轴另一个交点为，再根据图象即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴抛物线的对称轴为， 由图象可知抛物线与轴的一个交点为， ∴关于对称的点为，即抛物线与轴另一个交点为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知抛物线的顶点坐标是，且图象经过点，求a，h的值． 【答案】，． 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的顶点坐标是，得到，再把点代入中即可求解，知道抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴， 又∵抛物线经过点， ∴， ∴ 分层练习 一、单选题 1．二次函数图象的对称轴是（　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了学生对于二次函数顶点式的应用，学会通过顶点式得到对称轴是本题的关键． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线， 故选A． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．此题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线的顶点坐标为． 【详解】解：∵是抛物线的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故选：D． 3．对于二次函数，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的增减性，由，抛物线开口向上，而对称轴为直线，可得答案； 【详解】解：∵二次函数， 由于，抛物线开口向上， 而对称轴为直线， 所以当时，y随x的增大而增大． 故选D 4．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用二次函数的增减性判断函数值的大小是解本题的关键． 由抛物线，对称轴为直线，可得当时，随的增大而减小，再结合，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ， ， 故选：A． 5．对于函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为0 D．交y轴于点 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质即可一一判断． 【详解】解：对于函数的图象， ∵， ∴开口向下，对称轴，顶点坐标为，函数有最大值0， 时，， 交y轴于点， 故A、C、D正确， 故选：B． 6．顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线中，值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．根据抛物线的形状开口方向和抛物线的形状与值有关，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，且开口方向，形状与函数的图象相同， 这个二次函数的解析式为． 故选：A． 7．抛物线与坐标轴交点的个数（    ）． A．必定是1个 B．必定是2 个 C．必定是3个 D．可以是1个也可以是2个 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，正确利用函数解析式分析是解题关键． 直接利用抛物线解析式进而得出与坐标轴的交点个数． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴顶点在x轴上，即与x轴有1个交点． 当时，与y轴的正半轴相交，当时，与y轴的负半轴相交，即与y轴有1个交点， ∴与坐标轴交点的个数必定是2 个． 故选B． 8．设二次函数图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，正确理解二次函数的对称轴是解题的关键．根据二次函数的对称轴是直线，即可求解． 【详解】二次函数图象的对称轴为直线， 直线l上的点的横坐标为． 故选C． 9．若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据“当开口方向向上时，离着对称轴越远的点的纵坐标越大”即可作答． 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大， 点离着对称轴最远，其次是点，点离着对称轴最近， ． 故选：C． 10．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，则在对称轴右侧，随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，故①③正确，②错误， ∴当时，随的增大而减小，故④正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 二、填空题 11．函数图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】解：函数图象的顶点坐标为， 故答案为： 12．抛物线顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标公式，进行作答即可． 【详解】解：抛物线顶点坐标为； 故答案为：． 13．抛物线解析式为 ，则该抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为是解题关键．根据顶点式直接作答即可． 【详解】解：抛物线解析式为， 该抛物线的顶点坐标为， 故答案为： 14．已知点，在抛物线上，则 （比较大小关系）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由可得抛物线开口向上，且抛物线上的点距离对称轴的距离越远，的值也越大，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，且抛物线上的点距离对称轴的距离越远，的值也越大， ∵， ∴， 故答案为：． 15．若为二次函数图象上三点，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线，而到直线的距离最远，到直线的距离最近， ∴， 故答案为： 16．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当时，距离对称轴越远的点，函数值越小．先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数的图像开口方向向上，对称轴是直线， ∴距对称轴的距离是， 距对称轴的距离是3， 距对称轴的距离是2， ∵， ∴ 故答案为：． 17．如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 直线不经过第四象限， ， ， 故答案为：． 18．在平面直角坐标系中，抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，且的面积为4，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性，三角形面积公式，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 根据轴，抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与到x轴的距离相等，可知C为顶点，，对称轴为直线，得到在x轴的上方， ，C到的距离为4，根据的面积为4，得到，设，，得到，即得． 【详解】∵抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点， ∴轴，作图如下， ∵抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等， ∴C为顶点，，对称轴为直线， ∴C在x轴下方，到x轴的距离为2， ∴在x轴的上方，到x轴的距离为2， ∴， ∴C到的距离为：， ∵， ∴， 设点A在点B的左边，则，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．（1）求抛物线的顶点坐标及对称轴方程； （2）当为何值时，随的增大而增大 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴方程为；（2） 【分析】本题考查了二次函数的性质．解题时，利用了数形结合的数学思想，减少了繁琐的计算过程． （1）由顶点式可得顶点坐标及对称轴方程． （2）开口向下时在对称轴的左侧随的增大而增大，可得到答案． 【详解】解：（1）， 抛物线顶点坐标为，对称轴方程为． （2）， ∴抛物线开口向下， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大． 20．抛物线经过点． (1)求的值； (2)写出该抛物线顶点坐标，对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，直接把（1，-1）代入可求出a=-1； （2）根据顶点式可直接写出顶点坐标与对称轴． 【详解】（1）解：把（1，-1）代入得=-1， 解得； （2）∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键． 21．已知抛物线经过点． (1)求b的值； (2)判断点是否在此抛物线上？ 【答案】(1)16 (2)不在 【分析】（1）只需把点A的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题； （2）只需考虑时抛物线上所对应点的函数值是否等于8，即可解决问题． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ； （2）解：∵当时，， ∴不在此抛物线上． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 22．已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． 【答案】h的值为8或2 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．根据二次函数的性质，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，顶点坐标为，， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∵当时，与其对应的函数的最大值是， ∴在对称轴的同侧． ①当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． ②当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． 综上所述，h的值为8或2． 23．已知二次函数． (1)二次函数图象的开口方向是______，对称轴是直线______，顶点坐标为______． (2)当______时，y有最小值是_____． (3)当时，____． (4)当x______时，y随x的增大而减小． 【答案】(1)向上，， (2)4， (3)7 (4) 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的所有的图象和性质才能比较熟练解决问题． （1）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的顶点式解析式可以确定其顶点的坐标； （2）根据抛物线的顶点式即可回答； （3）将代入函数关系式求y的值； （4）根据二次函数的图象与性质回答即可． 【详解】（1）二次函数， 图象开口方向上，对称轴为，顶点坐标为， 故答案为：向上，，； （2）二次函数， ∴当时，y有最小值是， 故答案为：4，； （3）将代入函数关系式得：， 故答案为：7； （4）二次函数，图象开口方向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小． 故答案为：． 24．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法和步骤． （1）根据对称轴得出，则，把代入求出k的值，即可得出抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质得出当时，y有最大值9，再求出当时，x的值， 结合当时，该二次函数值y取得的最小值为，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，y有最大值9， 当时，， 解得：， ∵当时，该二次函数值y取得的最小值为， ∴． 25．已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中． 若抛物线的对称轴为， ①m的值为_ ﹔ ②当时，有 （填“”，“”或“”） ． 当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围． 【答案】（1）1；②=；（2） 【分析】（1）①把抛物线化为一般式，得，由对称轴公式，得； ②把分别代入和，即可比较与大小； （2）联立、的解析式得方程，△，题中，即抛物线与直线相交，有2个交点，当时和时代入方程，即得的值，可求出的范围． 【详解】解：（1）①由， 则对称轴， ， ②把分别代入与得， ，， ； （2）联立、的解析式可得，， 整理得，， 则△， ， ， 即就是没有直线与抛物线相切的情况． 当时，代入方程， 得， （负值舍去）， ， 当时，代入方程， 得， ， 又， 的取值为：． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数，解本题的关键是要熟练掌握二次函数对称轴公式，代入法求值、一元二次方程的判别式等． 26．在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数图象可得如下结论． 如果抛物线与x轴有公共点的横坐标是，那么当x＝时，函数值是0，因此是方程的一个根． 同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题 (1)若二次函数（m为常数）与x轴两交点的横坐标为，，，求二次函数的解析式； (2)不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标； (3)在（1）的条件下，当，时，对应的函数值为N，Q，若求证： 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】（1）由根与系数的关系得，求出，即可求解； （2）原函数解析式可化为，由不论m为何值，该函数的图象都会经过一个定点得，即可求解； （3）将，代入可求得，，①当时，可得，将其代入化成关于的二次函数，化成顶点式，由的性质即可求证；②当时，可得，同理可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ， 解得：， ， 二次函数的解析式为； （2）解： ， 不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点， 不含项， ， 解得 ， 当时， ； 该函数图象始终过定点； （3）证明：当，时， ， ， ， ， ①当时， ， ， ， ； ②当时， ， ， ， ； 综上所述：． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，待定系数法，函数图象过定点，二次函数的性质等，掌握二次函数的性质，根于系数的关系，能将函数图象过顶点转化为多项式不含某一项是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$