第08讲 线段的垂直平分线的性质（1个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第08讲 线段的垂直平分线的性质（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 题型强化 题型一．线段垂直平分线的性质 1．（2023秋•阳信县期末）如图，，若和分别垂直平分和，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•萧县期末）如图，中，的垂直平分线交于点．若，则的周长为　　． 3．（2024春•雁塔区校级期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接，，． （1）求的度数； （2）求证：平分． 题型二、线段垂直平分线的判定 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法中，正确的是（   ） A．过线段中点的直线，叫做这条线段的垂直平分线 B．若直线是线段的垂直平分线，则也是的垂直平分线 C．线段的中垂线平分线段 D．线段的中垂线有无数条 5．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在 中，，，， ． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知命题“如图，在中，，，为的角平分线，那么点在线段的垂直平分线上”是真命题，请证明． 题型三、作已知线段的垂直平分线 7．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·江西宜春·期中）如图，，是的垂直平分线，，则 ． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中， (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点D、E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长等于50，求的长． 分层练习 一、单选题 1．到三角形的三个顶点距离相等的点是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．在元旦联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是的（   ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．如图，是的角平分线，以M为圆心适当长为半径画弧交直线于D，E两点，分别以D，E为圆心以大于为半径画弧，两弧相交于点N（M，N位于直线的两侧），作直线交于点F，若，则的面积为（　　） A．3 B．7 C．5 D．10 4．如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 5．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 6．如图，已知线段，小蒲利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A，B为圆心，以a为半径作弧，两弧相交于C，D两点；②作直线．直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 7．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（　   　） A．是的平分线 B． C．点在线段的垂直平分线上 D． 8．如图，，则有（　　）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 9．如图， 中，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ，，， 的周长为 ，则 的周长是（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的（    ）    A．   B．   C．   D．   二、填空题 11．，点在线段的垂直平分线上． （填推理的依据） 12．如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点．观察图形，请写出图中线段之间的一个等量关系 ． 13．如图，在中，，是的垂直平分线，周长为14，，则长为 ． 14．如图，在中，，，分别以点A，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接，则的度数是 ． 15．如图，中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，若，则的周长为 cm． 16．如图，已知，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，连接，若，的周长为，则的周长是 ． 17．在中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作的角平分线交于点D；然后作线段的垂直平分线交于点E，交于点F．据此，我们可以推出：线段与线段的关系为 ． 18．如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ． 三、解答题 19．如图，设三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 20．如图，在四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且． 求证：点一定在的垂直平分线上． 21．已知：如图，，，是上的一点． 求证：（利用“线段垂直平分线定理及其逆定理”证明） 22．如图，，，的垂直平分线交于点，交于点，求的周长． 23．为了落实“爱国卫生运动”，某市计划在村、村之间建一个洗手台，两村坐落在两相交的笔直公路，内（如图所示），洗手台点必须满足下列条件：①点到两公路距离相等，②点到两村的距离也相等．请你通过作图确定点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 24．如图，已知，求作点，使点同时满足以下两个条件： ①点到两点的距离相等； ②点到两边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 25．如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找一点D，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下若，求的长． 26．已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 线段的垂直平分线的性质（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 题型强化 题型一．线段垂直平分线的性质 1．（2023秋•阳信县期末）如图，，若和分别垂直平分和，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由，可求得的度数，又由，分别垂直平分，，根据线段垂直平分线的性质，可得，，继而求得的度数，则可求得答案． 【解答】解：， ， ，分别垂直平分，， ，， ，， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 2．（2024春•萧县期末）如图，中，的垂直平分线交于点．若，则的周长为　　． 【分析】根据线段垂直平分线性质知，．的周长． 【解答】解：垂直平分， ． 的周长 ． 故答案为：． 【点评】此题考查了线段垂直平分线性质，内容单一，属基础题． 3．（2024春•雁塔区校级期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接，，． （1）求的度数； （2）求证：平分． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，求出，，求出，即可求出答案； （2）连接，，根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及角平分线的定义即可得到结论． 【解答】（1）解：， ， 边、的垂直平分线分别交边于点、， ，， ，， ， ； （2）证明：连接，， 边、的垂直平分线分别交边于点、， ，， ， ， ，， ，， ， 同理， ， 即平分． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 题型二、线段垂直平分线的判定 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法中，正确的是（   ） A．过线段中点的直线，叫做这条线段的垂直平分线 B．若直线是线段的垂直平分线，则也是的垂直平分线 C．线段的中垂线平分线段 D．线段的中垂线有无数条 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】根据线段垂直平分线具备的两个条件：①垂直这条线段；②平分这条线段逐项进行分析即可得到结论．本题主要考查了线段垂直平分线的定义，掌握段垂直平分线具备的两个条件：①垂直这条线段；②平分这条线段是解决问题的关键． 【详解】解：A．经过线段中点且与这条线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线，故本选项不符合题意； B．直线是线段的垂直平分线，则不一定是的垂直平分线，故本选项不符合题意； C．线段的中垂线平分线段，故本选项符合题意； D．线段的中垂线只有一条，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在 中，，，， ． 【答案】5 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，根据题意可得垂直平分，则由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知命题“如图，在中，，，为的角平分线，那么点在线段的垂直平分线上”是真命题，请证明． 【答案】证明见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的定义，过点D作于点E，则，证明，得到，进而证明，据此可证明结论． 【详解】证明：如图，过点D作于点E，则． ， ． ∵为的角平分线， ． 在和中， ， ． ， ， ， 所在直线是线段的垂直平分线，即点在线段的垂直平分线上． 题型三、作已知线段的垂直平分线 7．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】根据即，只需作线段的垂直平分线即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，即，只需作线段的垂直平分线即可． 故选B． 8．（22-23八年级上·江西宜春·期中）如图，，是的垂直平分线，，则 ． 【答案】30 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、作已知线段的垂直平分线 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据直角三角形两锐角互余列式求解即可．解题的关键是证得． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：30． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中， (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点D、E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长等于50，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的作图，以及线段的垂直平分线的性质，正确理解的周长是关键． （1）利用尺规作图即可作出； （2）根据线段的垂直平分线的性质可得，则的周长，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求， （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴． 分层练习 一、单选题 1．到三角形的三个顶点距离相等的点是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，可得到到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点． 【详解】解：到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点， 故选：D． 2．在元旦联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是的（   ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据题意可知凳子到的三个顶点的距离相同，再由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知凳子到的三个顶点的距离相同，故凳子是三边垂直平分线的交点， 故选：D． 3．如图，是的角平分线，以M为圆心适当长为半径画弧交直线于D，E两点，分别以D，E为圆心以大于为半径画弧，两弧相交于点N（M，N位于直线的两侧），作直线交于点F，若，则的面积为（　　） A．3 B．7 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质．根据尺规作图可得垂直平分，再由角平分线的性质可得点M到的距离等于点M到的距离等于， 【详解】解：由作法得垂直平分， ∵是的角平分线， ∴点M到的距离等于点M到的距离等于， ∴的面积． 故选：C． 4．如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 5．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分线的性质证明，可得结论． 【详解】由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 故选：D． 6．如图，已知线段，小蒲利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A，B为圆心，以a为半径作弧，两弧相交于C，D两点；②作直线．直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据作图方法和步骤，即可解答． 【详解】解：根据尺规作图—作垂直平分线的步骤可得：， ∵， ∴， ∴a的值可能是6， 故选：A． 7．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（　   　） A．是的平分线 B． C．点在线段的垂直平分线上 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的含义，线段的垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质，A根据作图的过程可以判定是的角平分线；B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则． 【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故D错误，符合题意， 故选：D． 8．如图，，则有（　　）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵，    ∴， 在与中， ， ， ， ∴垂直平分，故A正确， 无法得出，故不能垂直平分，故B和C错误， 也无法得出，故不能平分，故D错误， 故选：A． 9．如图， 中，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ，，， 的周长为 ，则 的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长为， ， 的周长， 故选：D． 10．如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图、判定和性质等知识，根据题意证明点P为的垂直平分线与的交点即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 即：点P为的垂直平分线与的交点． 只有B选项符合题意， 故选：B． 二、填空题 11．，点在线段的垂直平分线上． （填推理的依据） 【答案】到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定定理． 根据“到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”解答即可． 【详解】解：， 点在线段的垂直平分线上（到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． 故答案为：到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 12．如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点．观察图形，请写出图中线段之间的一个等量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图，根据作图的方法得垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，是的垂直平分线，周长为14，，则长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长计算公式推出，再由，可得． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵周长为14， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：8． 14．如图，在中，，，分别以点A，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接，则的度数是 ． 【答案】/42度 【分析】本题主要考查作图一基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知为的中垂线， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，若，则的周长为 cm． 【答案】12 【分析】根据垂直平分线的性质得边相等，由结合三角形的周长公式即可得求得．解题的关键是利用垂直平分线的性质． 【详解】解：∵边的垂直平分线交边于点D，边的垂直平分线交边于点E， ∴，， ∵， ∴的周长 ＝12， 故答案为：12． 16．如图，已知，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，连接，若，的周长为，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图，基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握五种基本作图方法，是解答本题的关键． 由作图得：垂直平分，故，，然后利用等线段代换计算的周长，由此得到答案． 【详解】解：由作图得： 垂直平分， ，， 的周长为， ， ， 即， 的周长是： ， 故答案为：． 17．在中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作的角平分线交于点D；然后作线段的垂直平分线交于点E，交于点F．据此，我们可以推出：线段与线段的关系为 ． 【答案】互相垂直平分 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质与判定，证明，得到，即可得到线段与线段的关系为互相垂直平分． 【详解】解：设线段与线段交于H， ∵线段的垂直平分线交于点E，交于点F， ∴， ∵的角平分线交于点D， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴线段与线段的关系为互相垂直平分． 18．如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是通过辅助线构造全等三角形． 由线段垂直平分线的性质得到，由补角的性质推出，由证明，得到，，又，推出，得到，求出，即可得到． 【详解】解：过作交延长线于，连接， 于点，且， ， ，， ， 于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 三、解答题 19．如图，设三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故作出的垂直平分线相交于点P，则点P是所求的点． 本题主要考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【详解】解：如图，点P就是学校的位置． 20．如图，在四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且． 求证：点一定在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查垂直平分线的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的判定和性质是解题关键． 连接，根据垂直平分线的性质得出，再由等量代换得出，即可证明． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴点一定在的垂直平分线上． 21．已知：如图，，，是上的一点． 求证：（利用“线段垂直平分线定理及其逆定理”证明） 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线定理及其逆定理，熟练掌握线段垂直平分线定理及其逆定理是解题的关键，证点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，得垂直平分，从而． 【详解】解：∵，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 22．如图，，，的垂直平分线交于点，交于点，求的周长． 【答案】19 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，从而得出，即可得解． 【详解】解∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴， ∴的周长． 23．为了落实“爱国卫生运动”，某市计划在村、村之间建一个洗手台，两村坐落在两相交的笔直公路，内（如图所示），洗手台点必须满足下列条件：①点到两公路距离相等，②点到两村的距离也相等．请你通过作图确定点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点，点即为所求． 本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图，点即为所求． 24．如图，已知，求作点，使点同时满足以下两个条件： ①点到两点的距离相等； ②点到两边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查尺规作图，涉及作垂直平分线和角平分线，由①要求知作线段的垂直平分线，由②可知作的角平分线，上述二者的交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 25．如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找一点D，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，等腰三角形的判定及性质，等角的余角相等． （1）由可得点D在的垂直平分线，运用尺规作图——作垂直平分线的方法作出的垂直平分线，与的交点D即为所求； （2）由（1）可得，从而，根据等角的余角相等得到，从而，根据即可解答． 【详解】（1）解：如图，点D为所求． （2）解： 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 26．已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，角平分线，三角形全等的判定与性质． （1）根据点D到边的距离相等，即点D在的角平分线上，又根据，即点D在线段的垂直平分线上，所以，点D为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此作图即可； （2）过点点D作交于点E，过点D作交于点F，由（1）知，证明，再证，推出，再根据即可求出的长 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：如图，过点作交于点E，过点D作交于点F， 由（1）知， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，即， ， ，， ． 故答案为：3． 学科网（北京）股份有限公司 $$