精品解析：2024年河北省邯郸市峰峰矿区初中毕业生升学文化课摸底考试数学试题

2024年初中毕业生升学文化课摸底考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页， 总分120分， 考试时间 120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效． 答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 卷Ⅰ (选择题， 共 38 分) 一、选择题 (本大题有16个小题，共38分．1~6小题各3分， 7~16 小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 将直角三角形按图所示的方式折叠，使点与点重合，展开后得到折痕，则折㢃是的（　　） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 中位线 2. 如图，若博物馆在点南偏东方向上，则表示博物馆的点可能是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3. 把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该加上（　　） A. 4 B. 7 C. 21 D. 28 4. 如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 若，则表示实数的点会落在数轴的（　　） A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 6. 若自行车的车轮形如正方形，使车轮能平稳行驶，则地面形状大致为（　　） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将点向右水平移动个单位得到点，若双曲线经过线段上一点，则的值可能是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 由个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，现拿走一个小立方体，得到几何体的主视图与左视图均没有变化，则拿走的小立方体是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 9. 若用科学记数法表示为，则的值是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ） ∵， ∴， 又∵（ ）， ∴四边形是平行四边形． A. B. C. D. 11. 如图，小亮在运动场上晨练，一段时间内沿着一扇形的轮廓（如图中箭号所示）匀速小跑，能近似刻画小亮离出发点的距离与时间之间关系的函数图象是（　　） A. B. C. D. 12. 已知，如图1，．画一个，图2、图3分别是甲、乙两同学的画图过程．下列说法错误的是（ ） A. 甲同学作图判定的依据是 B. 甲同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C. 乙同学作图判定的依据是 D. 乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 13. 如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将9个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 14. 图是一个铁夹子的侧面示意图，点是连接夹面的轴上一点，于点．这个侧面图是轴对称图形，直线是它的对称轴．若，，，则点A与点之间的距离为（　　） A. B. C. D. 15. 如图，测量队为了测量某地区山顶的海拔高度，选点作为观测点，从点测量山顶的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角）为，在比例尺为的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为厘米，则山顶的海拔高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 16. 题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点．点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．” 对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：． 则下列说法正确的是（　　） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、丙答案合在一起才完整 卷Ⅱ (非选择题， 共82分) 二、填空题 (本大题共3个小题， 共 10分． 其中17小题2 分， 18、 19 每小题两个空，每个空2分) 17. 计算__________． 18. 如图，不透明的金子中装有3个红球，2个黑球，每个球除颜色外其余均相同，任意摸出一个球，摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性__________（填“大”或“小”）．要保证摸出两个同色的球，至少一次摸出__________个球． 19. 如图1，将三个边长均为2的正方形卡片并排放在同一条直线上，现两侧卡片保持不动，把中间一张卡片抽出后，并按图2重新摆放．已知． （1）__________°． （2）中间正方形卡片的中心到直线的距离是__________． 三、解答题 (本大题有7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20. 老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分． （1）若污染的是一个多项式，求这个多项式； （2）若污染的是常数，求的值． 21. 嘉淇连续记录了他家私家车6天中每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 路程（km） 10 （1）求这六天一共行驶多少千米？ （2）已知行驶100km需用汽油8升，该私家车24升汽油在上述连续行驶6天后，第七天最多还能行驶多少千米？ 22. 某公司为了了解员工对各项制度的满意程度，提升员工幸福指数，对公司1000名员工进行了线上问卷调查，并将整体评价的调查结果绘制成完整的条形统计图． （1）若将整体评价中的“满意”“一般”“不满意”分别赋分为5分，3分，1分，求该公司此次调查中关于整体评价的中位数和平均数； （2）从评价“一般”和“不满意”的员工中共抽取20名进行深入了解，员工人数比保持不变，随机抽取一名员工，求评价为“一般”的概率． 23. 如图所示，直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点． （1）请说明经过点； （2）时，点是直线上一点，若，求点的坐标； （3）若点在第三象限，求的取值范围． 24. 如图，已知四边形是菱形，延长到，使，连接． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 25. 某街心公园设置灌溉喷枪为绿色观叶植物进行浇水，喷枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分，喷枪可通过调节喷水杆的高度改变水柱落地点的位置，喷头上下移动时，抛物线型水流随之竖直上下平移，以地面为轴，喷水口所在竖直方向为轴建立直角坐标系，设水流路径上的某一位置与喷水口的水平距离为，距地面的高度为，与的部分对应数值汇总如下表． … 1 2 3 4 5 … … 1.875 2 1.875 1.5 0.875 … （1）求这股水流的路径所在抛物线的解析式，并求出其最大射程； （2）在图1的平面直角坐标系中，根据已知数据画出该函数在网格中的图象（包括边界）； （3）如图2，在地面上距离喷水杆处有一段斜坡长，坡角为，若要使喷出的水正好落在处，那么须将处的喷水口向上竖直提高多少？ 26. 如图1，在矩形中，，，是的中点，以点为圆心，以3为半径在的上方作半圆，分别交于点、点，把连带半圆绕点顺时针旋转（）得到半圆，如图2，其直径为． （1）连接、，求证：； （2）设半圆交于点、点，若，求半圆落在矩形内的弧长； （3）设是半圆上一点，当落在上时，求的最小值； （4）当半圆与矩形的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中毕业生升学文化课摸底考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页， 总分120分， 考试时间 120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效． 答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 卷Ⅰ (选择题， 共 38 分) 一、选择题 (本大题有16个小题，共38分．1~6小题各3分， 7~16 小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 将直角三角形按图所示的方式折叠，使点与点重合，展开后得到折痕，则折㢃是的（　　） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 中位线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，三角形中位线的定义．根据折叠的性质得到点是的中点，点E是的中点，即可得出结论． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 点是的中点，点E是的中点， 是的中位线， 故选：D． 2. 如图，若博物馆在点南偏东方向上，则表示博物馆的点可能是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的意义是解答本题的关键．在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角．根据方向角的定义求解即可． 【详解】解：∵点D在南偏东方向上， ∴表示博物馆的点可能是D点． 故选D． 3. 把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该加上（　　） A. 4 B. 7 C. 21 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式基本性质是解题的关键．分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘上或除以相同的数 (0除外)，分式的大小不变；分式的分母乘上4，要使分式的大小不变，分子也要乘上4，然后即可算出分子应该加上几． 【详解】解：， ， 故选：C． 4. 如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接（或或），根据中心对称的性质逐一判断即得． 【详解】解：连接，发现经过点M，且被点M平分， 故对称中心为M点． 故选：A． 5. 若，则表示实数的点会落在数轴的（　　） A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a范围，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：，即， ， ， ，即， 故实数的点会落在数轴的段②上， 故选：B． 6. 若自行车的车轮形如正方形，使车轮能平稳行驶，则地面形状大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转定义解答即可． 【详解】解：使车轮能平稳行驶，需使正方形的中心都在一个平面内，才能使自行车平稳行驶． 如图所示，弧为正方形车轮的轴心移动的部分轨迹， 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，将点向右水平移动个单位得到点，若双曲线经过线段上一点，则的值可能是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，反比例函数的性质，首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：依题意，将点向右水平移动个单位得到点， ∵双曲线经过线段上一点， ∴，解得：， 故选：D． 8. 由个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，现拿走一个小立方体，得到几何体的主视图与左视图均没有变化，则拿走的小立方体是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据主视图和左视图的特点，即可得出结果． 【详解】解：根据主视图的特点，拿走③不会变化， 根据左视图的特点，拿走①③④都不会变化， 综合来看，拿走③得到几何体的主视图与左视图均没有变化， 故选：C． 9. 若用科学记数法表示为，则的值是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法及负整数幂的逆运算，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．先将原数转化为幂的形式，再根据科学记数法的表示解答即可． 【详解】解：， 用科学记数法表示为， ， ， 故选：B． 10. 如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ） ∵， ∴， 又∵（ ）， ∴四边形是平行四边形． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； 添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； 添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； 添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 11. 如图，小亮在运动场上晨练，一段时间内沿着一扇形的轮廓（如图中箭号所示）匀速小跑，能近似刻画小亮离出发点的距离与时间之间关系的函数图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据扇形的特点可知，小亮到达扇形的弧形上时直至离开弧形离出发点的距离保持不变，在扇形半径上运动时，一个过程离A越来越远，一个过程离A越来越近，据此可得答案． 【详解】解：由扇形的特点可知，一开始时，小亮离出发点的距离越来越远，当小亮到达扇形的弧形上时直至离开弧形离出发点的距离保持不变，而后离出发点的距离越来越近， ∴四个选项中，只有C选项符合题意， 故选：C． 12. 已知，如图1，．画一个，图2、图3分别是甲、乙两同学的画图过程．下列说法错误的是（ ） A. 甲同学作图判定的依据是 B. 甲同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C. 乙同学作图判定的依据是 D. 乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，根据作图痕迹判定相等的线段再结合全等三角形的判定方法可得结论，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：甲同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，用圆规截取的长度是线段的长，甲同学作图判定的依据是，则选项A，B正确不符合题意； 乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，用圆规截取的长度是线段的长，乙同学作图判定的依据是，则选项C正确，不符合题意，D不正确；符合题意； 故选：D． 13. 如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将9个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探究，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先分别求出将2、3、4个这样的圆环一个接一个环套地连成条锁链拉直后的长度，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：根据题意可知，1个圆环的最长长度是（厘米； 2个圆环套成的链条拉直后的长度是厘米； 3个圆环套成的链条拉直后的长度是厘米； 4个圆环套成的链条拉直后的长度是厘米； …； 9个圆环套成的链条拉直后的长度是厘米． 故选：A． 14. 图是一个铁夹子的侧面示意图，点是连接夹面的轴上一点，于点．这个侧面图是轴对称图形，直线是它的对称轴．若，，，则点A与点之间的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称图形的性质等知识．连接交直线于点E，先求出，．再根据轴对称图形的性质得到，证明，求出，即可求出，问题得解． 【详解】解：如图，连接交直线于点E． ∵， ∴在中，． ∵，， ∴． ∵铁夹子的侧面示意图是一个轴对称图形，直线是它的对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即点A与点之间的距离为． 故选：B 15. 如图，测量队为了测量某地区山顶的海拔高度，选点作为观测点，从点测量山顶的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角）为，在比例尺为的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为厘米，则山顶的海拔高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据地形图上的等高线的比例尺和图上距离求得两点间的实际距离，再利用解直角三角形的知识求得山顶的海拔高度即可． 【详解】解：∵两点的图上距离为6厘米，例尺为1：50000， ∴两点间的实际距离为：6÷=3000米， ∵从M点测量山顶P的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角）为30°， ∴MP=3000×tan30°=3000×=1732米， ∵点M的海拔为250米， ∴山顶P的海拔高度为=1732+250=1982米． 故选B． 【点睛】本题考查了仰俯角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形． 16. 题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点．点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．” 对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：． 则下列说法正确的是（　　） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、丙答案合在一起才完整 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，分类求解确定位置是解题的关键．当点M在线段上时，当点M在点B的左侧时，当点M在点A的右侧时，分类求解确定的位置，进而求解． 【详解】解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 将点A的坐标代入直线表达式得：，解得， 抛物线的解析式为，直线的解析式为， 当点M在线段上时，线段与抛物线只有一个公共点， 的距离为3，而A，B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即， 当点M在点A的右侧时，当时，抛物线和交于抛物线的顶点， 即时，线段与抛物线只有一个公共点， 综上所述，或，即甲、乙答案合在一起才完整， 故选：C． 卷Ⅱ (非选择题， 共82分) 二、填空题 (本大题共3个小题， 共 10分． 其中17小题2 分， 18、 19 每小题两个空，每个空2分) 17. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂及负整数幂的计算，根据运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 18. 如图，不透明的金子中装有3个红球，2个黑球，每个球除颜色外其余均相同，任意摸出一个球，摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性__________（填“大”或“小”）．要保证摸出两个同色的球，至少一次摸出__________个球． 【答案】 ①. 大 ②. 【解析】 【分析】根据题意，得摸到红球的概率为，摸到黑球的概率为，解答即可；画树状图计算，同色的可能性，本题考查了概率计算，画树状图计算概率，熟练掌握树状图计算是解题的关键． 【详解】根据题意，得摸到红球的概率为，摸到黑球的概率为， ∵， ∴摸到红球的概率大， 故答案为：大； 画树状图如下： 摸到同色球的概率为，故至少要摸出3个球， 故答案为：3． 19. 如图1，将三个边长均为2的正方形卡片并排放在同一条直线上，现两侧卡片保持不动，把中间一张卡片抽出后，并按图2重新摆放．已知． （1）__________°． （2）中间正方形卡片的中心到直线的距离是__________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据正方形的性质，得到，依次计算可得． （2）连接，过点作于点B，根据正方形的性质，得，继而得到，结合， 得到，结合，得到四边形正方形，得到，，过点作于点F，交于点E， 则，计算即可． 本题考查了正方形的性质，特殊角的三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键． 【小问1详解】 连接，根据正方形的性质，得到， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 连接，过点作于点B， 根据正方形的性质，得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形正方形， ∴，， 过点作于点F，交于点E， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 (本大题有7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20. 老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分． （1）若污染的是一个多项式，求这个多项式； （2）若污染的是常数，求的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，解一元二次方程． （1）根据整式加减运算法则计算即可求解； （2）将代入，整理后，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：这个多项式 ； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得，， 即， 或， 解得，，． 21. 嘉淇连续记录了他家私家车6天中每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 路程（km） 10 （1）求这六天一共行驶多少千米？ （2）已知行驶100km需用汽油8升，该私家车24升汽油在上述连续行驶6天后，第七天最多还能行驶多少千米？ 【答案】（1）这六天一共行驶282千米 （2）第七天最多还能行驶18千米 【解析】 【分析】本题考查有理数的应用，一元一次不等式的应用： （1）根据有理数的加法，可得超出或不足部分的路程数，再加上即可得答案； （2）设第七天能行驶千米，依题意得，，解不等式即可得答案． 【小问1详解】 解： （千米）， 答：这六天一共行驶282千米； 【小问2详解】 设第七天能行驶千米，依题意得， ， 解之得， 答：第七天最多还能行驶18千米． 22. 某公司为了了解员工对各项制度的满意程度，提升员工幸福指数，对公司1000名员工进行了线上问卷调查，并将整体评价的调查结果绘制成完整的条形统计图． （1）若将整体评价中的“满意”“一般”“不满意”分别赋分为5分，3分，1分，求该公司此次调查中关于整体评价的中位数和平均数； （2）从评价“一般”和“不满意”的员工中共抽取20名进行深入了解，员工人数比保持不变，随机抽取一名员工，求评价为“一般”的概率． 【答案】（1）中位数为5，平均数为4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和平均数的概念求解即可； （2）首先求出抽取的20名员工中评价为“一般”的人数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 ∴公司此次调查中关于整体评价的平均数为4； ∵对公司1000名员工进行了线上问卷调查， ∴中位数为第500名和第501名分数的平均数 ∴， ∴该公司此次调查中关于整体评价的中位数为5； 【小问2详解】 ， ∴抽取的20名员工中评价为“一般”的有15名， ∴评价为“一般”的概率为． 【点睛】此题考查了平均数，中位数，概率，熟练掌握各自的求法是解本题的关键． 23. 如图所示，直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点． （1）请说明经过点； （2）时，点是直线上一点，若，求点的坐标； （3）若点在第三象限，求的取值范围． 【答案】（1） 当时， ∴点在直线上． （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，是一次函数的综合题，利用数形结合进行分析是解题的关键． （1）把代入函数关系求出y的值即可； （2）先求出A，B的坐标，进而求出的值，再设点D的坐标为，根根据，列出方程求解即可； （3）分别求出当直线经过点A，B时k的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵直线与轴相交于点，与轴相交于点 ∴，， ∴， 设的坐标为， ∵， ∴=， ∴或 ∴或． 【小问3详解】 解：当直线经过点时，， 解之得， 当直线经过点时，有， 解之得， ∴若点在第三象限，则． 24. 如图，已知四边形是菱形，延长到，使，连接． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得，从而，再证明得，然后利用三角形内角和定理即可证明； （2）过作于，连接，由求出，，进而求出，然后证明四边形是平行四边形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，连接， ∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵，且 ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数的定义，勾股定理，以及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 25. 某街心公园设置灌溉喷枪为绿色观叶植物进行浇水，喷枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分，喷枪可通过调节喷水杆的高度改变水柱落地点的位置，喷头上下移动时，抛物线型水流随之竖直上下平移，以地面为轴，喷水口所在竖直方向为轴建立直角坐标系，设水流路径上的某一位置与喷水口的水平距离为，距地面的高度为，与的部分对应数值汇总如下表． … 1 2 3 4 5 … … 1.875 2 1.875 1.5 0.875 … （1）求这股水流的路径所在抛物线的解析式，并求出其最大射程； （2）在图1的平面直角坐标系中，根据已知数据画出该函数在网格中的图象（包括边界）； （3）如图2，在地面上距离喷水杆处有一段斜坡长，坡角为，若要使喷出的水正好落在处，那么须将处的喷水口向上竖直提高多少？ 【答案】（1） （2） 该函数在网格中的图象如图所示： （3）m 【解析】 【分析】（1）由表格中的数据可得：这股水流的路径所在抛物线的顶点为，故设抛物线的解析式为，再把点代入求出a即可； （2）先求出x的范围，再画出函数图象即可； （3）作轴于A，先解直角三角形，求出，m，进而可得点，然后设竖直向上平移后的抛物线为，再把点N坐标代入求出k即可． 【小问1详解】 解：由表格中的数据可得：这股水流的路径所在抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴这股水流的路径所在抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ：当时，， 当时，， 解得：或（舍去）； ∴， 【小问3详解】 解：作轴于A，如图，则，， ∴，m， ∵， ∴， ∴点， 由题意可设竖直向上平移后的抛物线为， 当点N在抛物线上时，，解得， ∴须将处的喷水口向上竖直提高m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用和解直角三角形的应用，正确理解题意、熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 26. 如图1，在矩形中，，，是的中点，以点为圆心，以3为半径在的上方作半圆，分别交于点、点，把连带半圆绕点顺时针旋转（）得到半圆，如图2，其直径为． （1）连接、，求证：； （2）设半圆交于点、点，若，求半圆落在矩形内的弧长； （3）设是半圆上一点，当落在上时，求的最小值； （4）当半圆与矩形的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴． ∵， ∴， ， ∴； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质，证明即可得出结论； （2）证明是等边三角形，得到，即可求解结果； （3）证明，得到，，连接交半圆于点，此时最小，即可求解； （4）分别求出当点在上时，当半圆与相切于点时，的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如解图①，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∴半圆落在矩形内的弧长为； 【小问3详解】 解：如解图②，连接，过点作于点，延长交于点， 易得四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， 连接交半圆于点，此时最小， ∴， ∴的最小值为； 【小问4详解】 解：当时， 如解图③，当点在上时，，此时圆与有两个交点， 如解图④，当半圆与相切于点，连接并反向延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴时，圆与与矩形的边有两个交点． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握垂径定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及切线的性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $